新教材高中数学必修第一册5 .2 .2 同角三角函数的基本关系

5.2.2同角三角函数的基本关系

课标要求素养要求

1.理解同角三角函数的基本关系式.通过同角三角函数式的应用，重点提升

2.会用同角三角函数的基本关系式进行学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算

三角函数式的求值、化简和证明.素养.

课前预习■..............

教材知识探究

A情境引入

气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只

蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就

是理论界闻名的''蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会

引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南

美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不

相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系

的观点.

问题既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数

一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？

蝴蝶效应

提示sin2ct+cos2ct=l,tan左GZ).

A新知梳理

1.同角三角函数的基本关系注意角的范围

苗述方式

基本关系式语言描述

基本

同一个角a的正弦、余弦的

平方关系sin2.+cos2n=1

平方和等于1

sina..।匹7「同一个角a的正弦、余弦的

商数关系tnnck—(zaWkn十.，kGZ)

cosaz

商等于角a的正切

2.同角三角函数基本关系式的变形公式的熟练程度决定解题的速度

(l)sin2a+cos2a=1的变形公式：sin2a=1"cos2<z；cos2a=1-sin26x.

小、sm。小疗八3sma

(2)tana=----的父7形1V公式：sma=coscctana；cos«=：;

cosalana

教材拓展补遗

［微判断］

l.sin2a+cos2y5=l.(X)

提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即si/a+cos2a

=1.

2.sin2^+cos2^=1.(V)

3.对任意的角a,都有tana=：R:成立.(X)

jr

提示当a=］+E,左©Z时就不成立.

4.若sina=g,贝Icosa=^.(X)

ZJxCOSCt=±"^-.

［微训练］

1.下列四个结论中可能成立的是()

A.sina=1_@Lcosa=］

B.sina=0J@Lcosa~~-1

C.tana=1且,cosa=1

sina

D”是第二象限角时，tana

cosa

解析根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当a=7i时，sina=O且cos

a——1,故B成立，而A,C,D都不成立.

答案B

2.若2I且sinacos贝Usina+cosa

2449(71

解析(sina+cosa)2=l+2sina-cos0=1+天=天，又sinct>0,

7

cosa>0,/.sina+cos

7

答案5

#2sina-3cosa…

3,右4sina—9cosa=T'川tana

解析原式可化为而R=T•则tana=2.

答案2

［微思考］

同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗?

7T

提示平方关系对任意角都成立，商数关系只有当时成立.

■■■I课堂互动M题型剖析

题型一同角三角函数的基本关系及简单应用

8

【例1】已知cosa=一万，求sina,tana的值.

8

解*.*cosa=——F<0，

二.a是第二或第三象限角，

(1)当a是第二象限角时，则

sina=1—cos%-

15

sina1715

tana

cosa88-

17

(2)当a是第三象限角时，则

规律方法(1)已知sin。(或cos。)求tan。常用以下方式求解

(2)若没有给出角a是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出

a的终边可能在的象限，再分类求解.

4

【训练1】已知tana=§,且a是第三象限角，求sina,cosa的值.

44

sma--

解由tan33

cosa

又sin2a+cos2a=1,②

169

由①②得gCOs2Q+cOS2a=1,即COS*2«=25.

又a是第三象限角,

.3.44

..cosa=一5,sma=gcosa=一亍

题型二三角函数式的化简

【例2】化简：注意弦切互化，尽量减少函数名称

sinasina

1+sin«1—sina

dl+2sin100cos10。

(2)

cos10°+^/l—cos210°

2

'(37)sinatana+~tana+2sinacosa.

smasma

解

(I)-1+sina1—sina

sina(l—sina)-sina(1+sina)

(1+sin«)(1—sina)

-2sin2a—2sin2a

2tan2oc.

1—sin2a-cos2a

Nl+2sin100cos10。N(cos100+sin)2

(2)

cos10°+^1—cos210°cos100+sin10°

|cosl(r+sin10。|

cos100+sin10°

.?sma.cosa.八.

(3)原式=smQ・----十cos9---十2smotcosa

—cosasina

sin%+cos%+Zsi/acos2a

sinacosa

(sin2a+cos2a)?______]

sinacosasinotcosa

规律方法三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化

繁为简的目的.

⑵对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化

简的目的.

⑶对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2a+cos2a=

1,以降低函数次数，达到化简的目的.

2cos^<z-1

【训练2]化简[_0.2+(l+tan2a)cos2a.

izsin.ot

田22COS2<Z—(sin2a+cos2a),,sin*i2吟

斛原式=sin%+cos2a—2sin%力1十---2-cos9a

cosaJ

2222

cosa—sinacosa+sina9

--COS«

cos2a—s^ma+cosa

=1+1=2.

题型三三角函数式的求值

方向1弦切互化求值

【例3—1】已知tana=2.

sina-3cosa

⑴求的值;

sina+cosa

(2)求2sin2a—sintzcosa+cos2a的值.

cinn

解(1)法一(代入法)•「tana=2,----=2,sina=2cosa.

cosa

.sina—3cosa2cosa-3cosaj_

'•sina+cosa2cosa+cosa3

法二(弦化切)・・・tana=2.

sm♦—3

sina—3cosacosatana-32-3j_

sinot+cosasina十1tana+12+13

cosa

2sin2a-sinacosa+cos2a

(2)2sin2a—sinacosa+cos2a=

sin2a+cos2a

Zta/a—tana+12义4-2+17

tan2«+14+15,

规律方法已知tana的值，求关于sina,cosa齐次式的值的方法

(1)对只含有sina,cosa的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以

某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.

一…asina+bcosaasin2ot+Z?sinacosa+cco^a、、、、一、「一，

对于形如一一或v…!•-------工。2的分式,分子、分母同时

(2)csma+Td3c——osaasmza+esmotcosa+jcosa

除以cosa,cos2(z,将正、余弦转化为正切，从而求值.

⑶对于形如asi/a+bsinacosa+ccos2a的式子，将其看成分母为1的分式，再

,、「、~.c小，，，~.asin2a+Z?sinacosa+aco^a„一八

招■分母1变形为sin2«+cos2«,转化为形如c■.1一2，xv-I-cc2=xv的式子求

值.

方向2sina±cosa型求值问题注意判断符号

【例3—2】已矢口sin6+cos。=；(0＜。＜兀)，求sinOcos0和sincos0的值.

角星因为sin8+cos。=3(0＜。＜兀)，

所以(sin8+cose)2=〃,

即si/e+Zsin0cos0+cos20=^,

3

所以­Q.

sinOcos0=o

由上知，。为第二象限的角,

所以sin8—cos3>0,所以sincos9=yj(sin^+cos0)2—4sin^cos^

规律方法已知sina±cosa,sinacosa求值问题，一般利用三角恒等式，采用

整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：

(l)(sin6+cos0)2=1+2sinOcos仇

(2)(sincos0)2=i—2sin<9cos8;

(3)(sin0+cos6)2+(sincos0)2=2;

(4)(sin0—cos9)2=(sin0+cos0)2—4sinOcos6.

上述三角恒等式告诉我们，已知sin6+cos0,sin0—cos0,sinOcos0中的任何

一个，则另两个式子的值均可求出.

7,

【训I练3](1)已知sina+cos。=百，。£(0,兀)，贝!Jtana=.

9

(2)已矢口2cos2a—3sinacos而，贝Utana=.

749

角星析(1)Vsina+cos百，**•(sina+cos«)2=y^,

120八

即2sinotcosa169<0,

又a£(0,兀)，则sina>0,cosa<0,AaE(-,兀),

iksina—cosa=(sina+cosa)2—4sinacosa=,

可得sina=1|,cosa=-^,tana=-y.

（2）由题中等式易知cosaWO,

G、0c.2cos2a_3sinacosa2—3tana9

贝U2cosa—3sinotcosa=~；?=..~=77i，

sina十cosa1十tan«1U

整理得9tan2«+30tana~11=0,

即(3tana—l)(3tana+11)=0,

解得tana=g或tana=一日.

答案（D—,（2）g或一甘

题型四三角恒等式的证明

方向1一般恒等式的证明

1+2sinacosatana+1

【例4—1]求证:

sin2a—cos2atana~l

-rnsin2a+cos2a+2sinacosa

证明法一左边:一si』c°s2a—

(sinot+cosa)2sinot+cosa

sma—cosasina—cosa

tana+1.、)

=;--------7=右边.

tana-l

所以等式成立.

sma—]

,cosasina+cosa

法二右边=-.....------------

sma]sma-cosa

cosa

(sina+cosa)?

(sin«—cosa)(sina+cosa)

l+2sin«cosa,.

sMa—cMa=左电

所以等式成立.

规律方法证明三角恒等式常用的方法

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形,以消除差异;

ncuC

(4)变更命题法，如要证明万=)，可证ad=Z?c,或证E=一等；

oa。a

左边

(5)比较法，即设法证明“左边一右边=0"或“干1=1”.

石边

方向2条件恒等式的证明

【例4—2]已知tan2a=2tan2^+L求证：sir?,=2sin2a—1.

证明因为tan2a=2tan2£+1,所以tan2a+l=2tan2^+2.

所以晔+1=2(吗+1),

cos'。'cos/7

12

通分可得后％=丛初，

即cos2s=2cos2a,所以1—sin2/=2(1—sin2a),

即sin2£=2sin2a—l.

规律方法含有条件的三角恒等式证明的常用方法

(1)直推法：从条件直推到结论；

(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；

(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数

即可完成证明.

狂八、4、丁tanasmatana+sina

【训练4】⑴求证：;-----:—=-----：----；

'tana—sin«tanasma

小、nA-£OSj4sin4A十cosjBsin4B

Q)已知n心药+而喑—1，求证菽而L

t,a2na—s•m2a

证明(I)'.•右边=

(tana-sina)tanasina

tan2a—ta/acos2a_________tan2a(1-COS2K)

(tana—sina)tanasina(tana—sintanasina

tarasin2a_______tanasina

=左边,

(tana—sina)tanasinatana—sina

...原等式成立.

(2)设sin2A=m(fi<m<1),sin2B=n(0<n<l),

则cos2A=1—机，cos2B=1—H.

,cos4Asin4A“(1—m)2机2

由菽石+而厉='得一；------+—=

即(加一")2=0..,."?=〃，

.cos4/jsin%(1—〃)尤__

COS2Asin2A-l-mm~nn~'

核心素养「“全面提升制

一、素养落地

1.通过对公式的正用、逆用、变形用提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算

素养.

2.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的

精髓在“同角”二字上，如sin22a+cos22a=1,型等=tan8a等都成立，理由

COSoOt

是式子中的角为“同角”.

3.在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧,

更要注意符号的选取.

二、素养训练

4

1.若cosa=一『且a是第二象限角，贝1Jtana的值等于()

A]_3

BR-4

_______3

解析由题意可得sina=3—cos2a=亍

.sina3

..tana=-c-o--s---a=—T4.

答案B

Q

2.已知cos(a—2兀)=一万，a为第二象限角，则sina=()

•1515

A•万B「F

15「8

c.土FD•士百

解析•.•cos(a—27i)=cos。=一万，又a为第二象限角，sincos2ot

答案A

3.若a£(0,日且sin3a=],贝!Jcos3a=()

A-空B空

A.3b.3

12

答案B

3兀71

4.已知sinacosa=R，且则cosa—sina的值是()

11

AiB-2

JC4-D--4

兀兀

解析V^<ot<2»*>•sina>cosa,cosa—sina<0.

/.cosa—sina=—yj1—2sinacosa—1—2)

答案B

,sina+cosa.,g—i石

5.已知--------=2,计算下列各式的值：

sma-cosa

3sina一cosa

(l)2sina+3cosa

(2)sin2«-2sinacosa+1.

cin/Y-I-COQn

解由^---------=2,化简，得sina=3cosa,所以tana=3.

sina—cosa

3tana—13X3—18

(1)原式=，2tana+3=2X3+3=9-

色「sin2a—2sinotcosa

⑵原式=si/a+cos2a1

tan2g—2tana32—2X313

tan2a+l132+l110,

I课后作业»i■iiiiiiiiii-J.I巩固提高

基础达标

一、选择题

1.化简4-sin2160。的结果是()

A.cos160°B.±|cos160|

C.icos160°D.—cos160°

解析sin2160°=^/cos2160°=|cos160°|

=—cos160°.

答案D

2.已知sincosa=—"贝！Jsina・cosa等于()

A览B—2

A.4B-16

C--32D32

、525

解析因为sin«—cosa=—平方可得l—2sinacosm，所以2sinacosa

99

=一元，即sinacosa=一方.

答案C

4

3.已知sina=§,且。为第二象限角，则tana=()

43

A「不B.-4

c3D4

43

解析Vsin«=^,a为第二象限角，.,.cosa=—g,

••tana-3.

答案A

2

4.已知a是三角形的一个内角，且sinct+cosa=q,那么这个三角形的形状为

()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

244

解析Vsina+cosa=g,/.(sinot+cosa)2=g,即l+2sinacosa=g,/.sina-cos

a-—得＜。，/.^2，兀).

答案B

5.化简sin2«+cos4«+sin2acos2ot的结果是()

11

A-4B2

3

C.lD，2

解析原式=sin2a+cos2a(cos2a+sin2。)=sin2a+cos2a=1.

答案c

二、填空题

6.化简(l+tan215)cos215°

解析(1+tan215°)cos215°=fl+^215°ocos215°+sin2150。

l-cos2915=一最市----COS9215=1.

答案1

，红

7.已知aG兀，y,tana=2,则cosa

解析..711a=2,sina=2cosa9又丁sir?。+cos2a=1,「・cos2a=g,又

371

Vote7：2~••cosa

5'

答案—竽

8・已知c°sa=—1，且tana＞。，则上监

4sinaccs%

解析由3/。-。知.是第三象限角，且5由广一孕故原式=口；7

sina(1—sin2ot),444

一—=sina(l+sina)=(—5)(匕)=一正

答案~25

三'解答题

9.已知tana=2,求下列代数式的值：

4sina—2cosa1.11

(1a+3sinI(2)4sin7ot+2sinacosa+/cos9a

4tan。一24X2-26

解（1）原式=

5+3tana5+3X2=IP

^si^a+l,sinacosa

2a

⑵原式=------sin^+cos^

a+T(><4+gx2+T

13

tan2a+l530-

2sinxcosx-ltan%—1

1°.求证：==嬴而■.

2sinxcos%—(sin2x+cos2x)

证明法一•・,左边=

cos2%—sm•2zx

—(sin2%—2sinxcosx+cos2x)(sinx—cosx)2

cos2%—sm•2xsm•?%—cos2x

(sincos%)2

(sin%—cosx)(sinx+cosx)

sincos%tanxT右、力

sinx+cosxtanx+1"

・•・原等式成立.

smx]

.cosxsin%—cosx

法二・・,右边=~-----=-----；

smx+]sinx+cosx

cosx

..1—2s