《直线和圆的位置关系（3）》名师教案

1/124.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）切线长定理和三角形内切圆（卢念）一、教学目标（一）学习目标1.了解切线长定义，切线长定理，并进行有关计算。2.会作三角形内切圆并理解作图原理。3.掌握三角形内切圆、内心的概念及性质，利用性质进行推理论证、计算。（二）学习重点1.切线长定理及其应用。2.尺规作图作三角形内切圆。3.三角形内心性质。（三）学习难点1.运用切线长定理进行有关计算。2.尺规作图作三角形内切圆。3.运用三角形内心性质进行有关计算、证明。二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点间的线段叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：过圆外一点有两条圆的切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。（3）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。2.预习自测（1）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A.4B.8C.D.【知识点】圆的切线长定理；等边三角形判定与性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA，PB是圆O的两条切线∴PA=PB∵∠APB=60°∴△PAB是等边三角形∵PA=8∴AB=PA=8故选B【思路点拨】由圆的切线长定理得PA=PB，又∠APB=60°，所以△PAB是等边三角形。【答案】B2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°，则∠AOP=度．【知识点】切线长定理、直角三角形两锐角互余【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°∴∠APO=∠APB=25°，∠OAP=90°∴∠AOP=90°﹣25°=65°【思路点拨】根据切线长定理、切线的性质定理得到∠OAP=900，再根据直角三角形的两个锐角互余进行求解。【答案】65°3、如图：AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．【知识点】切线长定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，∴AC=AP，BP=BD，∵AB=5，AC=3AB=AP+PB∴PB=AB﹣AP=5﹣3=2．∴BD=2【思路点拨】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【答案】24、如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=度．【知识点】三角形内心性质、三角形内角和定理【数学思想】数形结合【解题过程】∵P是△ABC的内心∴∠PBC=∠ABC，∠PCA=∠BCA，∠PAB=∠CAB∵∠ABC+∠BCA+∠CAB=1800∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=(∠ABC+∠BCA+∠CAB)=900【思路点拨】掌握三角形内心是三角形三个角角平分线交点是解题的关键【答案】900(二)课堂设计1.知识回顾（1）切线的判定定理：过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.（3）角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.问题探究探究一：切线长定义●活动①（以旧引新）抢答：议一议老师问：当点P在⊙O内时，过点P能否画出⊙O的切线？学生答：不能。老师问：当点P在⊙O上时，过点P能否画出O的切线？有几条？学生答：能、有且仅有1条老师问：当点P在⊙O外时，过点P能否画出⊙O的切线？有几条？请你尝试着画一画。学生答：能，两条老师：如图：过⊙O外一点P能画出PA，PB两条切线，点A、B为切点;我们把圆外这个点P和切点A、B之间的线段PA、PB的长，叫做点P到⊙O切线长【设计意图】通过动手操作，让学生从直观上了解点在圆上和点在圆外两种情况下圆的切线的存在性和数量，引出切线长定义。知识点归纳过圆外一点，作圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫做这个点到圆的切线长。注意：（1）切线和切线长的区别：切线是一条直线，切线长是线段的长切线的条数：过一点做一个圆的切线，①点在圆上，有且只有一条经过该点的切线；②点在圆外：有两条切线。探究二：线长定理★▲●活动①大胆操作，探究新知老师问：如图：PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B,在半透明的纸上画出这个图形，并沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？学生答：对折后完全重合PA=PB，∠APO=∠BPO老师问：我们能否通过严密的推理论证来证明这个结论是正确的呢？【设计意图】先通过翻折直观上让学生再次体会圆的对称性，感知切线长定理中存在的数量关系●活动②集思广益，证明新知如图：已知PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B求证：（1）PA=PB，（2）∠APO=∠BPO证明：（抢答：学生口述）连接OA、OB∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B∴OA⊥PA,OB⊥PB∴∠OAP=∠OBP=900又OA=OB,OP=OP∴Rt△OAP≌Rt△OBP∴PA=PB,∠APO=∠BPO【设计意图】，让学生自主探索，归纳经验的基础上获得，教学中应展现的思维形成过程。证明猜想，形成定理．知识点归纳切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。几何语言：∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B∴PA=PB∠APO=∠BPO探究三：三角形内切圆与内心的性质★▲●活动发散思维重新认识思考：一块三角形的铁皮，如何在上面截一块圆形的用料，并且使接下来的圆与三角形的三边都相切？老师问：我们假设符合条件的圆已经做出来，那么这个圆的圆心到三条边的距离都等于半径，如何找到这个圆心呢？学生答：三角形三条角平分线交于同一点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，找到三角形任意两个角的角平分线交点就是圆心。如图所示：分别作出∠CAB以及∠CBA的角平分线，得到交点O，O到AC的距离OE即为半径，所以⊙O即为所求作的△ABC的内切圆。老师：图中⊙O与三角形各边都相切，所以圆O叫△ABC的内切圆，圆心O是△ABC三条角平分线的交点，叫△ABC的内心。知识点归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。探究四切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用活动①基础型例题例1．如图：PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点（1）若OA=5，PO=13，则PB=____（2）连接OA、OB，若∠APB=400，则∠AOP=____【知识点】切线长定理、切线性质、勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OA∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B∴OA⊥PAPA=PB∠APO=∠APB=200,在Rt△PAO中,OA=5，PO=13∴PA=12∠AOP=900-∠APO=700【思路点拨】（1）连接OA得Rt△PBO中，在运用勾股定理、切线长定理、三角形全等求解。【答案】(1)12(2)700练习：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2，那么∠AOB等于（）A．90° B．100° C．110° D．120°【知识点】切线性质、切线长定理、直角三角形性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，OP=4，PA=2，∴OA⊥PA,∠AOP=∠BOP∴Rt△OAP中,OA==2∵OA=OP∴∠APO=30°,∠AOP=60°又∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOB=2∠AOP=120°故选D【思路点拨】根据切线性质、勾股定理可求出Rt△OAP中OA=2,进一步得到∠APO=300,∠AOP=600,再根据切线长定理求角度。【答案】D【设计意图】考察学生对切线长定理的掌握及简单应用例2．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130° B．100° C．50° D．65°【知识点】内心性质、三角形内角和定理、角平分线性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣80°）=50°∴∠BOC=180°-50°=130°故选A．【思路点拨】根据三角形内角和性质可得∠ABC+∠ACB=1000，再由角平分线性质得(∠ABC+∠ACB)=500从而求得∠BOC度数【答案】A练习：如图：⊙O是△ABC的内切圆，若∠A=60°，则∠DOC=________【知识点】三角形内切圆与内心性质、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵⊙O是△ABC的内切圆∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠DOC=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣60°）=60°【思路点拨】根据三角形内角和性质可得∠ABC+∠ACB=1200，再由角平分线性质得(∠ABC+∠ACB)=600从而求得∠DOC度数【答案】60°【设计意图】内切圆和内心性质的简单应用活动②提升型例题例3：如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．4【知识点】切线长定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴PA=PB，∵DE是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12，∴PA=6．故选B．【思路点拨】根据切线长定理得线段间等量关系，再根据等式性质求解【答案】B练习题：如图：以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．【知识点】切线长定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：根据切线长定理，AD=AE，BC=BE，∴梯形的周长是5×2+4=14，【思路点拨】根据切线长定理得线段间等量关系，再根据等式性质求解【答案】14．【设计意图】考察学生对切线长定理的灵活运用。活动③探究型例题例4：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，它内切圆⊙O与AB、BC、AC分别切于点D、E、F，若BC=a，AC=b，AB=c，内切圆⊙O半径为r.求证：【知识点】三角形的内切圆与内心、切线长定理、正方形判定定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵内切圆⊙O与AB、BC、AC分别切于点D、E、F∴AD=AFBD=BECE=CF∴∠B=∠BDO=∠BEO=900OD=OE∴四边形BEOD为正方形∴BD=BE=r∴AD=AF=c-r,CE=CF=a-r又AF+CF=b∴c-r+a-r=b∴【思路点拨】根据内切圆性质可得四边形BEOD是边长等于内切圆半径的正方形，根据切线长定理可知AD=AF=c-r,CE=CF=a-r,再利用AF+CF=b建立等量关系求证。结论：任意直角三角形内切圆的半径=两直角边之和与斜边之差的一半。练习题：已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则它的内切圆半径为_______.【知识点】三角形的内切圆与内心、切线长定理、正方形判定定理、解一元一次方程【数学思想】数形结合【解题过程】解：△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∴△ABC是直角三角形∠BAC=90°，∴=2【思路点拨】【答案】2【设计意图】探索直角三角形内切圆半径与边长的关系。3.课堂总结知识梳理：1．切线长定义：过外一点，作圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫做这个点到圆的切线长。注意：切线和切线长的区别：切线是一条直线，切线长是线段的长2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。几何语言：∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B∴PA=PB,∠APO=∠BPO3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。重、难点归纳1、在实际应用问题中切线长定理常用来求线段长度、角度。在有关的计算中需要进一步渗透方程思想，熟悉用代数的方法解决几何题。2、三角形内切圆与内心在实际应用中，抓往内心是角平分线的交点，做内心到边的距离构造直角三角形求解。课后作业基础型自主突破1.下列说法中，错误的是（）三角形的内心是三角形内切圆的圆心；B.任何三角形有且只有一个内切圆C.三角形的内心是三个角角平分线的交点；D.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等【知识点】三角形的内切圆与内心【解题过程】根据定义三角形的内心是三角形内切圆的圆心，所以A是正确的，三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个，所以B是对的；三角形的内心是三个内角平分线的交点，根据角平分线的性质可知D是错误的．故选D【思路点拨】三角形的内切圆与内心的性质【答案】D2、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=6，则△PCD的周长为（）A．6 B．8 C．12 D.15【知识点】切线的性质以及切线长定理【数学思想】数形结合【解题思路】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA=PB，同理CA=CE，DE=DB∵△PCD周长=PC+CE+ED+PD∴△PCD周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA∵PA=6∴△PCD的周长=12，故选C【思路点拨】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形周长．【答案】C3、如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=度．【知识点】切线的性质以及切线长定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB，又∠P=46°∴∠PAB=∠PBA==67°又PA是⊙O是切线，AO为半径∴OA⊥AP∴∠OAP=90° ∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=23°【思路点拨】由切线长定理可得PA=PB，即△APB使等腰三角形，已知顶角的度数，利用三角形内角和定理求出底角度数，再由AP为圆O的切线得到OA⊥AP，再由∠OAP﹣∠PAB即可求出∠BAC度数.【答案】234．如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD=OB，连接AD，如果∠DAC=78°，那么∠ADO=．【知识点】切线长定理、切线性质、中垂线性质、等腰三角形性质、直角三角形性质【数学思想】数形结合解：∵AB、AC为⊙O的切线，∴∠BAO=∠CAO，OB⊥AB，∵BD=OB，∴AO=DO∴△AOD为等腰三角形，∴∠BAO=∠BAD，∴∠CAO=∠BAO=∠BAD，∵∠DAC=∠BAD+∠BAO+∠CAO=78°，∴3∠BAD=78°∠BAD=26°，∴∠ADO=90°﹣∠BAD=90°﹣26°=64°．【思路点拨】抓住AB是OD的中垂线得到AB是等腰三角形DAO角平分线，再运用直角三角形两锐角互余求解。【答案】64°．5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=65°，求∠ABP和∠P的度数．【知识点】切线的性质、弦切角的性质以及三角形内角和定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=∠ACB=65°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA∠P=180°﹣2∠PBA=180°﹣130°=50°．【思路点拨】根据弦切角的性质即可求得∠ABP=65°，根据切线的性质求得PA=PB，进而求得∠PAB=∠PBA，然后根据三角形内角和定理就可求得∠P的度数．【答案】50°如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，求∠BIC的度数。【知识点】三角形的内切圆与内心、三角形的外接圆与外心．【数学思想】数形结合【解题过程】∵点O为△ABC的外心，∠BOC=140°，∴∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵点I为△ABC的内心，∴∠IBC+∠ICB=55°，∴∠BIC=125°．【思路点拨】根据外心的性质可计算出∠A=70°，进而得出利用内心的知识得出∠IBC+∠ICB=55°，即可得出答案．【答案】125°能力型师生共研7.P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠APB=70°，点C为⊙O上一点（不与A、B重合），则∠ACB的度数为．【知识点】切线的性质定理，圆内接四边形的性质【数学思想】数形结合、分类讨论【解题过程】解：连接OA、OB．∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB；∴∠PAO=∠PBO=90°；又∵∠APB=70°，∴在四边形AOBP中，∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣70°=110°，∴∠ADB=×∠AOB=×110°=55°，即当C在D处时，∠ACB=55°．在四边形ADBC中，∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣55°=125°【思路点拨】连接OA、OB，根据切线的性质得出∠OAP的度数，∠OBP的度数；再根据四边形的内角和是360°，求出∠AOB的度数，有圆周角定理或圆内接四边形的性质，求出∠ACB的度数即可．【答案】55°或125°8.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交⊙O于D、E，交AB于C，则下面的结论正确的有（填番号）。①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③OP⊥AB；④；⑤∠PAB=∠PBA；⑥PO=2AO；⑦AC=BC．【知识点】切线长定理、切线性质、垂径定理、等腰三角形性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，所以①正确；∠APO=∠BPO，所以②正确；∴OP⊥AB，所以③正确；∴，所以④正确；∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，所以⑤正确；AC=BC，所以⑦正确；∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠PAO=90°，∴只有当∠APO=30°时，PO=2AO，所以⑥错误．【思路点拨】先根据切线长定理得到PA=PB，∠APO=∠BPO；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，∠PAB=∠PBA，AC=BC；接着根据垂径定理由OP⊥AB得，然后根据切线的性质得OA⊥PA，即∠PAO=90°，根据含30度的直角三角形三边的关系，只有当∠APO=30°时，PO=2AO，由此可判断⑥不正确．【答案】①②③④⑤⑦．探究型多维突破9.如图：△ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长。【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理；解一元一次方程【数学思想】数形结合【解题过程】解：设AE=AF=xcm，∴CD=CE=AC-AE=13-x∴BD=BF=AB-AF=9-x∵BD+CD=BC∴（13-x）+（9-x）=14解得：x=4∴AF=4cm、BD=5cm、CE=9cm【思路点拨】根据切线长定理，可设AE=AF=x再根据题意列方程求解．【答案】AF=4cm、BD=5cm、CE=9cm．10.如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．【知识点】圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理，利用勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∵OD=OB，OC=OC，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO=90°，∴ED2+OD2=OE2，∴32+R2=（R+1）2，解得R=4，∴⊙O的半径为4．【思路点拨】（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，则OE=R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．【答案】4自助餐基础型选择题1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（）A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点【知识点】内切圆与内心【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，则点O到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；故选：D【思路点拨】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．【答案】D2．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，则BE+CG的长等于（）A．10B．11 C．12 D．13【知识点】切线长定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10故选A【思路点拨】根据平行线的性质以及切线长定理可证∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求出BC长后结合切线长定理求解．【答案】A提升型填空题3．圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为_________.【知识点】三角形的内切圆与内心；形内角和【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵圆I是三角形ABC的内切圆，∴IF⊥AC，ID⊥AB∴∠IDA=∠IFA=90°，∴∠A+∠DIF=180°，∵∠DIF=2∠DEF=104°，∴∠A=180°﹣104°=76°．【思路点拨】本题的关键是求出∠DIF．根据切线的性质得∠IDA=∠IFA=90°，根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF=180°，再根据圆周角定理得到∠DIF=2∠DEF=104°，继而求得∠A的度数【答案】76°．4.如图，PA、PB、C