《直线和圆的位置关系（2）》名师教案

1/124.2.2直线和圆的位置关系（第二课时）切线的性质与判定（卢念）一．教学目标（一）学习目标1.理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．（二）学习重点切线的判定定理和性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．（三）学习难点切线的判定和性质及其运用．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务(1）切线判断定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2）切线的判定方法：①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②数量关系：⊙O的半径与圆心O到直线l的距离相等时，直线l和圆O相切．③切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2.预习自测（1）下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】因为与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，所以A选项错误；当圆心到直线l的距离等于圆半径时，直线和圆相切，所以B选项正确垂直于圆的半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，两个条件缺一不可，C选项中只满足垂直于半径这一个条件，所以C选项错误．D选项中只满足了过半径的外端这一个条件，但在位置关系上未满足直线和半径垂直，所以D选项错误．【答案】B（2）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=．【知识点】切线的性质、直角三角形性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°.【答案】50°【思路点拨】根据切线性质得∠ATB=90°，再根据直角三角形两锐角互余求解．（3）如图，PA为⊙O切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=3，OP=6，则∠OPA度数为_____度．【知识点】切线的性质，直角三角形的性质【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线的性质得OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=3，OP=6，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【解题过程】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°；∵在Rt△OAP中，OA=3，OP=6∴∠OPA=30°【答案】30°（4）如图，半径为3的⊙O与直线AC相切于点B，BC=cm，则OC=．【知识点】切线性质、勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线性质，连接OB得RtΔOBC，再根据勾股定理求OC长度．【解题过程】解：连接OB∵⊙O与直线AC相切于点B，∴∠CBO=90°，OB=3在△CBO中，∠CBO=90°,OB=3,BC=∴OC=【答案】2（二）课堂设计1.知识回顾直线与圆三种位置关系的判定和性质：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d1）直线l和圆O相离d>r2）直线l和圆O相切d＝r3）直线l和圆O相交d<r【数学思想】数形结合【设计意图】①通过简单作图回顾直线与圆的三种位置关系：②从公共点个数判断，得出切线概念；③从数量关系上体会圆的切线的判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切．2.问题探究探究一：切线的判定定理★▲●活动大胆操作，探究新知如何过⊙O上一点A作圆的切线？（请学生上黑板按要求尺规作图）老师问：在⊙O中，经过半径OA外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离与圆半径什么关系？学生答：相等.老师问：直线与⊙O是什么位置关系？学生答：相切.【设计意图】利用作图让学生体会切线的判定定理中①经过半径的外端，②垂直于半径这两个条件缺一不可；加深对判定的理解，为过渡到学习圆的切线性质做铺垫．知识点归纳：1.切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：经过半径外端点、垂直于半径这两个条件缺一不可．2.切线的判定方法：①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②数量关系：⊙O半径r等于圆心O到直线l的距离为d时，直线l和圆O相切．③切线判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．探究二：推理论证切线的性质定理★▲●活动集思广益，证明新知老师问：如图：在⊙O中，若作直线l是⊙O的切线，切点为A,那么直线l与半径OA是不是一定垂直？例：已知：OA是⊙O半径,直线l是⊙O的切线，求证：OA⊥直线l证明：（反证法）假设OA⊥直线l不成立，过点O作OP⊥直线l于点P∴OA为Rt△OPA的斜边．又∵OP⊥l于P,∴OP的长就是圆心O到切线l的距离，∴OP的长等于⊙O的半径，即OA=OP,这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾．所以假设OA与l不垂直不成立．【设计意图】用反证法证明切线的性质定理，从命题的题设与结论出发加深对切线性质定理的理解．知识点归纳切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．探究三：切线的判定定理和性质定理的应用★▲●活动①基础性例题例1.下列命题中，假命题是（）A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】根据切线的判定定理：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故A选项是假命题．【答案】A练习题：下列说法正确的是（）A.经过半径外端的直线是圆的切线B.若射线与圆有一个交点，则射线是圆的切线C.垂直于半径的直线是圆的切线D.圆的切线垂直于经过切点的半径【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】根据切线的判定定理：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故A选项是错误的；射线与圆有一个交点但不一定垂直于过该点的半径，所以B选项错误．垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故C选项错误．【答案】D【设计意图】考察对切线判定定理和性质定理的理解、记忆．●活动②提升型例题例2.AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20° B．25° C．30° D．40°【知识点】切线的性质、直角三角形性质、等腰三角形性质、三角形外角定理【数学思想】数形结合【思路点拨】由切线的性质得：切线垂直于过切点的半径∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA=50°，最后利用同圆的半径相等得等腰三角形进行计算．【解题过程】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°-40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，选B．【答案】B练习：如图，△ABC的边AC经过圆心O，且与⊙O相交于C，D两点，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（）A．28° B．33° C．34° D．56°【知识点】切线的性质、等腰三角形，直角三角形性质【数学思想】数形结合【思路点拨】运用切线的性质来进行计算或论证，常用辅助线：连接圆心和切点，得直角三角形，再根据直角相关性质求解．【解题过程】解：如图，连结OB，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°﹣∠A=90°﹣34°=56°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，∴∠C+∠OBC=56°，而OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠C=×56°=28°．故选A．【答案】A【设计意图】运用切线的性质来进行计算或论证●活动③探究型例题例3.如图：已知△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，AB与⊙O相切于点D，猜测AC与⊙O有怎样的位置关系？【知识点】切线的判定定理，切线的性质定理，等腰三角形性质，角平分线性质【思路点拨】切线判定方法的常规辅助线：未知切点，作垂线段，证垂线段与半径相等．【解题过程】解：AC是⊙O的切线，理由如下：证明：如图过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵AB=AC，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．练习：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．【知识点】切线的性质、等腰三角形性质【思路点拨】已知切点，连半径，运用等腰三角形性质证垂直．【解题过程】解：连接OC∵OA=OB，CA＝CB∴OC⊥AB∵直线AB经过⊙O上的点C∴直线AB是⊙O的切线【设计意图】通过两道证明题，掌握圆的切线证明方法中两种典型的辅助线做法．①切点未知，作垂线段，证垂线段与半径等；②切点已知，连半径，证垂直.3.课堂总结知识梳理：（1）切线的判定定理:经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）切线的判定方法：（归纳总结）①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②切线判断定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．③数量关系：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若d＝r，则直线l和圆O相切．（3）切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．重难点归纳总结：（1）已知切线时常常把切点与圆心相连，利用切线性质解题．（2）切线的判定常规辅助线：切点未知，作垂线段，证垂线段与半径等；切点已知，连半径，证垂直.（三）课后作业基础型自主突破1．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=．【知识点】切线的性质.勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】先根据切线的性质得OA⊥PA，再根据勾股定理求直角三角形边长．【解答过程】解：∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA，在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，∴PA==4．【答案】42.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=62°，则∠BOC的度数为（）A．60° B．62° C．31° D．70°【知识点】圆的切线的性质、四边形的内角和、平角定义【数学思想】数形结合【思路点拨】由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．【解题过程】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=62°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣62°=118°，又∵AC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°﹣118°=62°．故选B．【答案】B3.如图，OA是⊙B的直径，OA=4，CD是⊙B的切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C的坐标为．【知识点】切线的性质；直角三角形性质．三角形外角定理【数学思想】数形结合【思路点拨】连接BD得RtΔBDC，根据三角形外角定理可得∠DBC=60°，所以∠DCO=30°,CB=2BD=4即可求出C点坐标．【解题过程】解：连接BD，∵∠DOC=30°，∴∠DBC=60°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4，∴OC=OB+BC=6，∴点C的坐标为（6，0）．【答案】（6，0）4.如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，∠E=30°则线段DE的长为．【知识点】切线的性质，等边三角形的判定、三角形外角定理，等腰三角形判定【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线性质，连接OD得RtΔAOB中∠BOD=60°，又同圆中半径处处相等可证到△COD是等边三角形，DC=OD=3；再根据直角三角形性质求得DE=CE-CD=3【解题过程】解：连接OD，∵Rt△AOB的斜边AB切于点D，∠B=30°，∴OD⊥AB,OD=3，∠BDO=90°，∠BOD=60°∵OD=OC=3，∴△COD是等边三角形∴DC=OD=3∵Rt△EOC，∠E=30°∴CE=2OC=6∴DE=CE-CD=3【答案】35.如图：△ABO中，AO=BO，C是底边AB的中点，若AB=8，OA=5，以点O为圆心的⊙O的半径为3，求证：AB是⊙O的切线．【知识点】切线的判定定理，等腰三角形性质，勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】根据等腰三角形性质得OC⊥AB，再根据切线判定定理证明OC等于圆的半径．【解题过程】证明：如图：连结OC∵AO=BO，C是底边AB的中点∴OC⊥AB，，AC=AB=4在Rt△ACO中，，OA=5 ，AC=4∴OC=3∵⊙O的半径为3∴AB经过⊙O的半径OC的外端点且垂直于OC，∴AB是⊙O的切线．6、已知:在△ABD中，∠BAD=40°，∠B=10°，⊙O经过点A和点D，圆心O在AB上，⊙O交AB于点C，那么BD是⊙O切线吗？请证明你的结论.【知识点】切线的判定、等腰三角形性质、三角形外角定理、三角形内角和定理【数学思想】数形结合【思路点拨】已知切点，连半径，证垂直．【解题过程】解：BD是⊙O切线，证明如下：证明：连接OD∵OA=OD，∠BAD=40°∴∠ADO=∠BAD=40°∴∠DOB=∠ADO+∠BAD=80°∵∠B=10°∴△DOB中∠ODB=1800-800-100=900∴OD⊥DB∴直线DB是⊙O的切线能力型师生共研7.如图：AB是⊙O的直径，BC⊥AB，OC//弦AD，求证：CD是⊙O的切线【知识点】切线的判定，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形判定、【数学思想】数形结合【思路点拨】已知点、连半径、证垂直．首先连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．【解题过程】证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．8、已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求AF的长．【知识点】直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理【思路点拨】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，【解题过程】1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，【答案】（1）相切（2）9探究型多维突破9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AC上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．求证：AC是⊙O的切线；【知识点】切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）连接DO，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠1=∠3，证出DO∥BC，由平行线的性质得出∠ADO=90°，即可得出结论；【解题过程】证明：连接DO，如图1所示∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DO∥BC，∵∠C=90°，∴∠ADO=90°，即AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD的形状，并说明理由．【知识点】切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质．【数学思想】数形结合【思维点拨】（1）连接AC，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出∠OCE=90°，即可证得结论；（2）四边形AOCD为菱形．由，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【解题过程】解：（1）连接AC，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC∴∠OCE+∠E=180°，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）四边形AOCD为菱形．理由如下：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形．自助餐⊙O的半径2，圆心O到直线l的距离为2，则圆O与直线l的位置关系（）A.相离B.相切C.相交D.相切或相交【知识点】切线的判定【思路点拨】从数量关系上判定圆的切线【解题思路】∵⊙O的半径2，圆心O到直线l的距离为2∴半径与圆心O到直线l的距离相等∴⊙O与直线l相切2.PA为⊙O切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=4，OP=8，则AB=．【知识点】切线的性质直角三角形性质、等边三角形判定【数学思想】数形结合【分析】根据切线的性质可知，OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=4，OP=8，直角三角形中300的角所对的直角边等于斜边的一边，所以可得出∠OPA=300，∠POA=600，又因为OA=OB，所以为等边三角形即可求出AB长．【解题过程】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°；在Rt△OAP中，∵OA=4，OP=8∴∠OPA=30°，∴∠POA=90°﹣30°=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形∴AB=OA=4【答案】43.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，若AC=6cm，AO=cm，则圆O的半径为_________cm．【知识点】切线的性质，正方形判定定理、勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】连接OD、OE，根据已知条件证明四边形CDOE为正方形，得到OD=CD，设OD=x，在Rt△ODA中运用勾股定理建立方程求解．【解题过程】解：连接OD、OE，∵AC、CB为⊙O的切线，∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE又∠ACB=90°，∴四边形CDOE为矩形，又CD=CE，∴四边形CDOE为正方形，∴OD=CD，设OD=x=CD∵AC=6，∴AD=6-x在Rt△ADO中,∠ADO=90°，AO=，AD=6-x∴∴∴OD=2或4【答案】2或44.如图，⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是．【知识点】切线的性质；垂线段最短【数学思想】数形结合【思路点拨】本题确定PB最小时点P的位置是解题的关键．PB为切线故△OPB是直角三角形．又OB为定值，当OP最小时，PB就最小．根据垂线段最短得OP=4