第二十四章-章末复习与小结

章末复习与小结第二十四章圆专题选讲知识网络重难突破课后习题知识网络圆圆有关的性质圆的对称性弧、弦、圆心角之间的关系同弧上的圆周角和圆心角的关系点、直线和圆的位置关系点和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆切线三角形的内接圆正多边形和圆等分圆周弧长和扇形面积弧长扇形面积圆锥的侧面积和全面积方法专题10

与圆的性质有关的计算P80方法专题11切线证明的常用方法P88本章专题索引专题选讲方法专题12

利用切线的性质进行计算与证明P89方法专题13求阴影部分的面积P96专题选讲——

与圆的性质有关的计算类型一求角度例如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A.70°B.80°C.110°D.140°C专题选讲——

与圆的性质有关的计算类型一求角度练一练：如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，若∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A.44°B.54°C.72°D.53°B专题选讲——

与圆的性质有关的计算类型二求长度例如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A.4B.C.D.D专题选讲——

与圆的性质有关的计算类型二求长度练一练：如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于点D，连接BE，若AB=，CD=1，则BE的长是（）A.5B.6C.7D.8B专题选讲——

切线证明的常用方法切线证明的常用方法有切点，连半径，证垂直无切点，作垂直，证半径类型一利用角度转换证垂直类型二利用勾股定理的逆定理证垂直类型三利用全等证垂直类型四利用垂径定理的推论证垂直专题选讲——

切线证明的常用方法类型一利用角度转换证垂直例如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC.求证：DE与⊙O相切.证明：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°.∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A.∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切.∴OD⊥DE，专题选讲——

切线证明的常用方法类型一利用角度转换证垂直专题选讲——

切线证明的常用方法类型二利用勾股定理的逆定理证垂直例如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=.求证：BC是⊙O的切线.∴BC是⊙O的切线.专题选讲——

切线证明的常用方法类型二利用勾股定理的逆定理证垂直证明：∵ME=1，AM=2，AE=，∴ME2+AE2=AM2，∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°.又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC.又∵OB是⊙O的半径，专题选讲——

切线证明的常用方法类型三利用全等证垂直例如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O的切线.专题选讲——

切线证明的常用方法类型三利用全等证垂直∴CD⊥OD，证明：连接OD.∵AD∥OC，∴∠COB=∠A,∠DOC=∠ODA.∵AO=DO,∴∠A=∠ADO，∴∠DOC=∠BOC.在△CDO与△CBO中，∴△CDO≌△CBO,∴∠CDO=∠CBO=90°，∴CD是⊙O的切线.OD=OB，∠DOC=∠BOC，OC=OC，专题选讲——

切线证明的常用方法类型四利用垂径定理的推论证垂直例如图，AB是⊙O的直径，CD经过⊙O上一点D，且CD⊥AC于点C，ED=DB.求证：CD是⊙O的切线.））专题选讲——

切线证明的常用方法类型四利用垂径定理的推论证垂直∴CD是⊙O的切线.证明：连接OD，OE，BE，OD与BE交于点H.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°.∵ED=DB，））∴∠EOD=∠BOD.又∵OE=OB，∴OD⊥BE.∵AC⊥CD,∴四边形ECDH是矩形，∴OD⊥CD，H专题选讲——

切线证明的常用方法类型五无切点，作垂直，证半径例如图，在△ABC中，∠ABC=90°.（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，并说明理由.专题选讲——

切线证明的常用方法类型五无切点，作垂直，证半径即d=r,解：（1）如图所示.（2）AC与⊙O相切.理由如下：过点O作OD⊥AC于点D.∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，∴AC与⊙O相切.O专题选讲——

切线证明的常用方法

证明切线的两种方法：（1）“有点连半径证垂直”，证明垂直时可利用垂直证垂直，利用勾股定理的逆定理证垂直等；（2）“无点作垂直，证半径”，往往题目中有角平分线背景，或等腰三角形三线合一背景，过点O作已知直线的垂线段，再利用角平分线上的点到角两边距离相等证明d=r.方法指导专题选讲——

利用切线的性质进行计算与证明类型一利用切线的性质进行计算例如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O的半径.专题选讲——

利用切线的性质进行计算与证明类型一利用切线的性质进行计算∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.解：（1）连接OA.∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°.∵AE=AE,∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，））专题选讲——

利用切线的性质进行计算与证明类型一利用切线的性质进行计算∴⊙O的半径为2.解：（2）∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，设⊙O的半径为r.∵CE=2，解得r=2，）∵AE=AE，）∴OA=OC.21∴r=（r+2），21专题选讲——

利用切线的性质进行计算与证明类型二利用切线的性质进行证明例如图，CA，CD是⊙O的两条切线，切点分别为A，D，AB是⊙O的直径，AB=AC，过点A作AF⊥CD于点F，交⊙O于点E.（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，求AE的长.专题选讲——

利用切线的性质进行计算与证明类型二利用切线的性质进行证明∴△ABE≌△CAF，证明：（1）连接BE，则∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°.∵AC是⊙O的切线，∴∠CAB=90°，即∠CAF+∠FAB=90°，∴∠CAF=∠EBA.∵AF⊥CD，∴∠CFA=90°=∠AEB.在△ABE和△CAF中，∴AE=CF.∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠FAC，AB=CA，即x2+(4-2x)2=22，专题选讲——

利用切线的性质进行计算与证明类型二利用切线的性质进行证明解：（2）连接OD，交BE于点G.由（1）可知△ABE≌△CAF，∴BE=AF.∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.又∵AF⊥CD，∴AE∥OD，∴OD⊥BE，∴DF=EG，EG=BG，∴BE=2DF.∵CA，CD是⊙O的切线，AB=AC，AB=2，设AE=CF=x.∴CD=CA=AB=2，∴DF=2-x，∴BE=4-2x.在△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴x1=,x2=2（舍去），∴AE=.5

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6G专题选讲——

求阴影部分的面积类型一直接利用规则图形的和差求面积例如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是__________________.（结果保留π）6-π专题选讲——

求阴影部分的面积类型一直接利用规则图形的和差求面积练一练：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_________.（结果保留π）4π专题选讲——

求阴影部分的面积类型二割补法例如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（）A.4π-2B.2π-2C.4π-4D.2π-4D练一练：如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积为（）A.π-1B.2π-1C.2π-2D.π-2专题选讲——

求阴影部分的面积类型二割补法A专题选讲——

求阴影部分的面积类型三等积法例1

如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（）A.4π-4B.2π-4C.4πD.2πD专题选讲——

求阴影部分的面积类型三等积法例2

如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为____________.π32专题选讲——

求阴影部分的面积类型四折叠问题中求面积例如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是_________.（注：若直角三角形的斜边长是短直角边长的2倍，则短直角边所对的角为30°）

求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件.方法指导专题选讲——

求阴影部分的面积重难突破垂径定理及其推论1例1

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A.B.C.D.C重难突破垂径定理及其推论1【变式训练】如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为_________.20重难突破圆心角与圆周角2例2

如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A.100°B.110°C.120°D.130°B重难突破圆心角与圆周角2【变式训练】如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.（1）求证：∠E=∠C；（2）若∠E=58°，求∠BDF的度数.重难突破圆心角与圆周角2证明：（1）连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C.又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C.∴∠BDF=∠C+∠CFD=116°.解：（2）∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°-∠E.又∵∠CFD=180°-∠AFD，∴∠CFD=∠E=58°.又∵∠C=∠E=58°，重难突破圆