复习清单07 相似（原卷版）

清单07相似（11个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】知识点一、图形的相似的概念形状相同的图形叫做相似图形。1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。【例1】（2022·辽宁铁岭·九年级期末）下列各组图形中，一定相似的是（

）A．两个正方形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个平行四边形知识点二、成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。4）比例的重要性质：基本性质：若，则；反之，也成立。和比性质：若，则；更比性质：若，则；反比性质：若，则；等比性质：若，则。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。eq\o\ac(○,2)把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。【例2】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（

）A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cmC．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm知识点三、平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝5，则DF＝（）A．5 B．10 C．15 D．2.5【变式】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（

）A．： B．： C．： D．：知识点四、相似多边形的性质与判定（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。【例4】（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，四边形四边形，，，，则∠D的度数为（

）A．100° B．110° C．120° D．130°【变式】（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2【变式2】（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．【变式3】（2022·江西吉安·九年级期末）如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2．(1)求点F的坐标；(2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．知识点五、相似三角形的相关概念1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。三角形相似具有传递性。2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。【例5】下列说法一定正确的是（ ）（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似（B）对应角相等的两个三角形不一定相似（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似知识点六、相似三角形的判定判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。【例6】（2022·河南·测试·编辑教研五九年级期末）如图，若，，与交于点，且，，则等于（

）A． B． C． D．【变式】如图，四边形中，，，E为的中点．(1)求证：．(2)若，，连结DE交AC于点F，求的值．知识点七、相似三角形的性质1、对应角相等，对应边的比相等；2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。）【例7】（2022·广西百色·九年级期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(

)A． B．C． D．【变式1】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，，求的长．【变式2】如图，在的方格纸中，每个小正方形边长都是，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．(1)在图1中画格点，使与相似，相似比为．(2)在图2中画格点，使与相似，面积比为．（注：图、图在答题纸上．）知识点八、利用相似三角形测高1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。【例8】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．知识点九、位似的概念及性质1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。联系：位似图形是特殊的相似图形。3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。【例9】（2022·浙江·诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图，与位似，点O为位似中心．已知，则与的面积比为（

）A． B． C． D．知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。【例10】如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得.(1)在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）(2)计算的面积．【变式1】（2022·山西朔州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（

）．A． B． C． D．【变式2】（2022·山西晋中·九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．(1)在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；(2)若以点O为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2：1（只画一种类型）．知识点十一、图形的变换与坐标1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。3）、以原点为位似中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。【例11】已知点，，以原点O为位似中心，把线段缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（

）A． B． C．或 D．或【变式】已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；(3)四边形AA2C2C的面积是平方单位．【核心素养提升】数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题1．（2022·江西吉安·九年级期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为_____．2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理2．（2022·福建三明·九年级期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）3.分类讨论思想3．（2022·河南南阳·九年级期末）在中，，过点B作射线．动点D从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作交射线于F，G是中点，连接．设点D运动的时间为t，当与相似且点D位于点E左侧时，t的值为_____________．4.方程的思想4．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当POQ与AOB相似时t的值．5．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【中考热点聚焦】热点1.相似三角形的性质1．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为，点A2023的坐标为．热点2.相似三角形的判定和性质的综合应用3．（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．104．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2 B．4 C．6 D．85．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.26．（2023•东营）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③7．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（）A． B． C．2 D．38．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1 B． C．2 D．39．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）证明：△ABC∽△DEB．（2）求线段BD的长．10．（2023•云南）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA•AC＝DC•AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．11．（2023•苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的长．热点3.应用相似三角形知识解决实际问题12．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m13．（2023•镇江）如图，用一个卡钳（AD＝BC，＝＝）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于cm．14．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．15．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永