专题2.1直线方程

知识点一直线的倾斜角与斜率知识点一直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角的范围为．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时,,.②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．、斜率k之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点二知识点二直线的方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.知识点知识点三两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1)对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.考点01直线的倾斜角与斜率【典例1】（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知直线经过，两点，则直线的斜率为（

）A．3 B． C．1 D．【答案】D【分析】直接代入直线斜率公式即可.【详解】因为直线经过，两点，所以直线的斜率为，故选：D．【典例2】（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线过，两点，且倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由斜率公式直接列方程求解即可.【详解】因为直线过，两点，且倾斜角为，所以，解得，故选：C.【典例3】（2023春·河南南阳·高二统考期末）直线，，的斜率分别为2，1，，倾斜角分别为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，由正切函数的图像性质可得倾斜角，，的大小关系.【详解】由于，由正切函数的图像性质可知，当时，为增函数，且，由，可知；当时，为增函数，且，，所以；所以，选项B正确.故选：B【典例4】（2022秋·广西百色·高二统考期末）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为．【答案】【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析.【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接，如图当直线恰好经过时为临界情况，又，当直线从位置顺时针转动到位置时，由倾斜角和斜率的关系可知，.故答案为：【总结提升】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2.k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．考点02求直线的方程【典例5】【多选题】（2022秋·福建·高二校联考期中）下列说法正确的有（

）．A．直线过定点B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为【答案】AB【分析】求出直线过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答.【详解】对于A，直线恒过定点，A正确；对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为，当该直线不过原点时，方程为，D错误.故选：AB【典例6】（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为.【答案】或.【分析】设直线方程的截距式为，将代入解方程即可得求出的值，进而求出直线l的方程.【详解】设直线方程的截距式为.则，解得或，则直线方程是或，即或.故答案为：或.【典例7】（2023·江苏·高二假期作业）如图，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，过点作直线AB分别与OA，OB交于点A、B，当AB的中点为P时，求直线AB的方程.【答案】【分析】设，根据的中点为，联立方程组，求得的值，求得，进而求得的方程.【详解】由题意得，射线所在直线的方程为，射线所在直线的方程为，设，因为的中点为，所以，解得，所以，即直线的方程为.【典例8】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程.【答案】【分析】由题意可得，求出过点和点的直线的方程代入化简即可得出答案.【详解】把坐标代入直线和直线，得,，∴，过点和点的直线的方程是：，∴，则，∵，∴，∴所求直线方程为．【规律方法】求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．【易错提醒】涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.考点03两条直线平行与垂直【典例9】（2023·江苏·高二假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（

）A．－8 B．0 C．2 D．10【答案】A【分析】由两点的斜率公式表示出直线的斜率，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.【详解】由题意可知，，解得．故选：A【典例10】（2023·江苏·高二假期作业）直线与(不同时为0)的位置关系是（

）A．平行 B．垂直C．斜交 D．与的值有关【答案】B【分析】分与都不为零和与中有一个为零讨论即可.【详解】与不能同时为0，①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为，故两条直线垂直；②当与中有一个为零时，若时，则两直线分别为与，两直线垂直，若时，则两直线分别为与，两直线垂直，故两条直线垂直．故选：B【典例11】【多选题】（2022秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知直线，则（

）A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或C．若，则 D．若不经过第二象限，则【答案】ACD【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率，直线的斜率，则有，即，解得或，当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；对C，若，当时，显然不合题意，则，则，即，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；故选：ACD.【典例12】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，，求满足下列条件的的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可；解法二：将直线方程化为斜截式，根据两直线平行的充要条件，列式求解即可；（2）解法一：利用两条直线垂直的充要条件，列式求解即可．解法二：将直线方程化为斜截式，根据两条直线垂直的充要条件，列式求解即可．【详解】（1）法一：因为直线，，且，则，解得；法二：直线，当时，与不平行；当时，直线，∵，∴且，解得．（2）法一：因为直线，，且，则，解得．法二：直线，当时，与不垂直；当时，直线，∵，∴，解得.【规律方法】1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）.1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）【答案】D【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D2．（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D.3.（2004·北京·高考真题）直线（a为常实数）的倾斜角的大小是．【答案】/【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可得出倾斜角.【详解】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为，则，所以.故答案为：.一、单选题1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，的倾斜角分别为，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用斜率与倾斜角的关系判定即可.【详解】由题意得，，所以为钝角，为锐角，所以．故选：A．2．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.【详解】直线l：经过定点，，．又直线l：与线段相交，所以或，故选：C．二、多选题3．（2023·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC4．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）如图，虚线是某印刷厂的收支差额y关于印刷量x的图象，现有一单位需印制一批证书，为此印刷厂员工给出了以下两种方案，方案一：收取制版费和印刷费，其中印刷费用按原价的八折收取；方案二：不收取制版费，印刷量达到一定数量后，超出部分按原价的六折收取，则符合两种方案描述的图象（实线部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】CD【分析】结合图像，对两个方案进行分析即可.【详解】依题意，设每张证书印刷费为元，每张证书印刷损耗为元，其余固定损耗为元，制版费为元，显然，则结合图像可知该印刷厂的收支差额y关于印刷量x的关系式为，方案一：由于收取制版费和印刷费，印刷费按原价的八折收取，所以该印刷厂的收支差额y关于印刷量x的关系式为，显然该直线斜率会比原来的小，截距会比原来的大，故C选项的图像满足；方案二：由于不收取制版费，印刷量达到一定数量后，超出部分按原价的六折收取，所以一开始的图像与原来的一样，当印刷量达到一定数量后，收入减少，故收支差额变小，所以D选项的图像满足.故选：CD.三、填空题5．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）若过两点的直线的倾斜角是，则=.【答案】【分析】先由倾斜角可得直线的斜率，再由两点连线的斜率公式即可求解.【详解】因为过两点的直线的倾斜角是，则直线的斜率，解得.故答案为：6．（2023春·上海宝山·高二统考期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为.【答案】【分析】依题意可得直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线过点，且与向量垂直，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.故答案为：7．（2023春·江苏镇江·高二校考期中）已知直线过点和点，直线，直线.若，，则.【答案】【分析】根据直线垂直和平行满足的斜率关系即可求解.【详解】由于直线的斜率为，且，直线的斜率为，解得.由于，的斜率为，直线的斜率为，，∴，解得，∴.故答案为：8．（2022秋·高二课时练习）已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1，1)，B(5，1)，∠A=，∠B=，则直线AC的一般式方程为，BC的一般式方程为.【答案】【分析】根据条件求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程即可得到答案.【详解】由题意知，直线AC的倾斜角为∠A=，所以.又直线AC过点A(1，1)，所以直线AC的方程为，整理得同理可知，直线BC的倾斜角为，所以又直线BC过点B(5，1)，所以直线BC的方程为整理得故答案为：①；②四、解答题9．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边所在直线的点斜式方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得直线与轴平行，且过点，可得直线的方程；（2）由题意可得直线的倾斜角为，可得斜率，根据点斜式方程求解即可．【详解】（1）如图所示，直线过点，，可得直线与轴平行，故边所在直线的方程为（2）由可得直线的倾斜角为，故斜率，故所在直线的方程为．10．（2023·江苏·