福建华安一中、长泰一中等四校2025届高一下数学期末学业水平测试试题含解析

福建华安一中、长泰一中等四校2025届高一下数学期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）A． B．C． D．2．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．43．若，，则等于()A． B． C． D．4．如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（）A．B．C．D．5．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A． B．C． D．6．在中，角所对的边分别为，若，则此三角形（）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定7．一个多面体的三视图如图所示．设在其直观图中，M为AB的中点，则几何体的体积为（）A． B． C． D．8．已知等差数列中，若，则取最小值时的（）A．9 B．8 C．7 D．69．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|≥﹣1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，2] C．（0，1） D．（0，2）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．向量满足，，则向量的夹角的余弦值为_____．12．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则______.13．已知过两点，的直线的倾斜角是，则______．14．设为内一点，且满足关系式，则________.15．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.16．已知x、y满足约束条件，则的最小值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组80.16第2组▆第3组200.40第4组▆0.08第5组2合计▆▆（1）求的值；（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.18．随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各自随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：（1）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数甲（精确到0.01）；（2）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值甲与乙及方差甲与乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的甲、甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.19．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=23π（Ⅰ）若a、b、（Ⅱ）若c=3，∠ABC=θ，试用θ表示ΔABC20．在等差数列中，，，等比数列中，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．21．已知向量.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．考点：三角函数的性质.2、B【解析】试题分析：由，当且仅当时，即等号成立，故选B．考点：基本不等式.3、C【解析】

直接用向量的坐标运算即可得到答案.【详解】由，.故选：C【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.4、B【解析】

从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，由此得到结论．【详解】∵样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，.故选B.5、B【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，故选B．考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．6、C【解析】

利用正弦定理求，与比较的大小，判断B能否取相应的锐角或钝角.【详解】由及正弦定理，得，，B可取锐角；当B为钝角时，，由正弦函数在递减，，可取.故选C.【点睛】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.7、D【解析】

利用棱柱的体积减去两个棱锥的体积，求解即可.【详解】由题意可知几何体C−MEF的体积：VADF−BCE−VF−AMCD−VE−MBC=.故选：D.【点睛】本题考查简单空间图形的三视图及体积计算，根据三视图求得几何体的棱长及关系，利用几何体体积公式即可求解，考查运算能力和空间想象能力，属于基础题.8、C【解析】

是等差数列，先根据已知求出首项和公差，再表示出，由的最小值确定n。【详解】由题得，，解得，那么，当n=7时，取到最小值-49.故选：C【点睛】本题考查等差数列前n项和，是基础题。9、C【解析】

根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.【详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,的中点是球心,如图:依题意设,则正四棱柱的体积为:,解得,所以外接球的直径,所以外接球的半径,则这个球的表面积是.故选C.【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.10、B【解析】

先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【详解】∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选B．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

通过向量的垂直关系，结合向量的数量积求解向量的夹角的余弦值．【详解】向量，满足，，可得：，，向量的夹角为，所以．故答案为．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的余弦函数值的求法．考查计算能力．属于基础题.12、【解析】

利用三角函数的定义可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得，故答案为.【点睛】本题考查利用三角函数的定义求余弦值，解题的关键就是三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.13、【解析】

由两点求斜率公式及斜率等于倾斜角的正切值列式求解．【详解】解：由已知可得：，即，则．故答案为．【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．14、【解析】

由题意将已知中的向量都用为起点来表示，从而得到32，分别取AB、AC的中点为D、E，可得2，利用平面知识可得S△AOB与S△AOC及S△BOC与S△ABC的关系，可得所求.【详解】∵，∴32，∴2，分别取AB、AC的中点为D、E，∴2，∴S△AOBS△ABFS△ABCS△ABC；S△AOCS△ACFS△ABCS△ABC；S△BOCS△ABC，∴故答案为：．【点睛】本题考查向量的加减法运算，体现了数形结合思想，解答本题的关键是利用向量关系画出助解图形．15、160【解析】

∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为280980∴此样本中男生人数为27故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题16、－3【解析】

作出可行域，目标函数过点时，取得最小值.【详解】作出可行域如图表示：目标函数，化为，当过点时，取得最大值，则取得最小值，由，解得，即，的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布表可得内的频数为,∴∴内的频率为∴∵内的频率为0.04∴（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.所以.∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.18、（1）；（2）甲乙，甲乙，甲=，甲=【解析】

（1）根据每组小矩形的面积确定中位数所在区间，即可求解；（2）根据直方图特征即可判定甲乙，甲乙，根据平均数和方差的公式分别计算求值.【详解】（1）由甲高中频率分布直方图可得：第一组频率0.1，第二组频率0.2，第三组频率0.3，所以中位数在第三组，甲；（2）根据两个频率分布直方图可得：甲乙，甲乙甲=甲=【点睛】此题考查频率分布直方图，根据两组直方图特征判断中位数和方差的大小关系，求中位数，平均数和方差，关键在于熟练掌握相关数据的求法，准确计算得解.19、（1）c=7或c=2.（1）=2sinθ+2【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得a=c-4、b=c-1．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c1-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=1sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为1，∴a=c-4、b=c-1．又因∠MCN=π，,可得,恒等变形得c1-9c+14=0，解得c=2，或c=1．又∵c＞4，∴c=2．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得.∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又,当,即时，f（θ）取得最大值.考点：1.余弦定理;1．正弦定理20、（1），（2）【解析】

（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可.

(2)由用错位相减法求和.【详解】（1）在等差数列中，设首项为，公差为.由，有，解得：所以又设的公比为，由，，得所以.(2)…………………①……………②由①－②得所以