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文档简介

偏微分方程

米修分方弄足个G常「泛的谀里,它也台分析的的Z方iff内容.此我小畏A的加似水平来说.

收丁又了/小少一为京国.从IA世纪如开始.人,】秋开监站合物四、力学外鹿来用亢偏愀分分杆.

JttY研汽ZJ几个方H是把如•功万也.科心■方氏及调停方配,R部分理论,经或忖松池明汽心而且

近?丸部.止它打称为归餐分为出的古典理论.

tAtttnin*在在抵介质力学单壮亢娥体时上功收谆.江节逆近体的砧性时.报建过曲说里的方

IV体为Na、F-SU*c〃"小(tnI:计泡体的拈行"I.林为I泡er〃憎组.介此时助,描述井性体超

功觇拉的力养他为咏1gl/rffiflcJITUL..I•世纪.人们发现了“述山破坨运动觇出的

Mm诩方鲤扭.场速It碗子玷动的除的Sctmxfcnm方"及Dime方桎#b广义枪对怆中喻企引力

华的•本方程Eimwin方区以及第木粒子螺id场理诙的希木方取Yhtf-Milb力&在源分几内中场充

收小出面曾收小用向方限等0.泡t!科学理说殳古0条.所登出的取总分方相就近*而H更加变化卜

嫡.可健心1如0偏依分方整用力程出差51之多是山I正跳的-

投打的n的超介为现代姆微分方程理论中用到的a技巧和方法.众所周知.•本帕做分方程的

HRfiHlM□“的M本村N的小部分.因此我fU必犯的四日择,如内时舞不足立足丁生林M(AI•的.

这冷的卜:@性是粕当明&的.

就㈡分方理的内咨是研片偏笫分方秘X的各种性垢.汤常?电以下何心

LN隼T方程吃方牌.巨配以右样的就值条杆与小色条》快之具H杆.区足解的存在性向咫.

在研克鹏的春在性N.姜明依以存在的函数类.

2.wm忤虑九更有几个解•要明确使解为唯•的函数类.

3.WWifttHiJLiftth是??为占4*,修悌还是!S斡?解其有几阶可牯H?

4.初的法城依俄什,名为阐跑公什么中M、什么他救支双的.遇推考出的是鲜为于切.过蚣唳火

于方程京致.或在方衽为妖摄时关于口由以的比埃他敕住.

5.定的区统二骷啊区噫.

6.WB3H»«.激枝雄和波波曲.

7.陵伍岸理.

8."它住联。

«?.懈W何迓近?如何计谊?4属于毡分方程>计。触学的边峰分支.

偏a分方理看竞的笊点是跳的衣在唯一性和王则在,江站最携本的内容.

乂偏微分方程为发展家书.MN7人用用硒咒芾徵分方出的黛方沫来硒咒偏急力方出-他单

的篇•微分方程怂能通过枳分来求给遇事.仪朵怎的常微分万锻质”不能舒助地求得通解.他通杆怂

生*在的.*fFwflW.边值条件的岩解,可把条忤代入通解中,决定由心解中任更需收面得到.I-

逐力".修汗WWIHMW介的求第过H同学的儡fit分力以求汨通郦.<11«„一"“■()的珊・

>jp-AU*yKG(.c-v).F.G为任0曲散用M”的血肺来定出漏足可、也他呆什的将解感是比

心便于田用的.粉佑曾分力仁能启用常个分力忖来通帆川定心收:的万泣.纹件一阶方材川铸布线航

r?..9畿件一所方界用。SF杪的人以及IUn»hor>力孔ffiW•阶tfiitt分力片内解M.而留小母

也分力科的商防*W开始也是拉通X的典法研化.代表忤的戌/是Cm5yK<nWGU”定即,

就二M方程

u„-F(x.y.».M,.w,t«..«„)

■U(A..V,)=^(X)

“/工1)=例(工)

来说^累叁।当匕.,6均为的物的我用.电十问safi蚱折时.这尼一个夷氯j均价的制,并果是

I分般的.网用处不大.

以解发K罚分中修龙.锐力1:耍介用兵少的.阶方丹.即场而、“曲.独物中线方醉.这方面的

研尤星版谭人的,可供说是已方秋本世怛了,设flG*为4与..X,(M>2).人知论H为

”=璃卬上,,(),璃关T”的040分力H的般影式出

日不..V,.M.Du.

乂中户011女儿的己数.,)“尚记”的

D”=廖,昌.

而-皎性=z./v>他汜”的氏死例不敢

"“々(4”…,A+A.++尢=Jt.q.也之()力婴皎)

«V«<,

在集僮分方椁中所含人加质数“就偏号皎的破诉的Bb样为偏微分方程的阶,如果仔.•个偏向[分方程

iai)中.银行*JK知由敛&”切偏都星税件他出现的.则蟒这个偏微分力"(»L)为找性儡

向分万粽<Mi,分!U称为非线性*SQ分方用(»).如果所考酸的■#■及性偏充分力杵iftt)时上如曲

匕的一5故国的假守政丛修件的.见称箕为撤线行依微分方T;<81).而干机绞性方稗(«1).其t"

未如谓敌的一切部育防保导圆的部分・即F郃.除「可俺侬处于fl变盘外.4可能依赖丁-未如消数及

其找研的偏导致.特别.若这些系数乂是门变改的曲改.而1未知由数及其蜩导致无关.愿称此儡

而分方好<itU为半线性旭倒处方"|也).月二阶线任儡微分方程

玷蠡+X喏…/

其中%也(ij=l..”1,<•及/是n维中间(%.0.凡)的KM域口中的函数♦4伍/=1,,而不

同时为等.且不失一般性可收“,=a..引入一次型

I./-I

TON。中的/),二次毕QGO为iE比璃色正,明件力F"t.p点为MLWP:1;—次

VQU)〃P点为退化,IllTtftPflBiq一个为室,而尺余特注/。X-符号,则林方"在p点为抛

构Th若二次里54)在,忒不出化,义不为正定或力定,二有”-1个将社徽从百时符廿.时林力

限在P0为双曲M.坯“Hfe出呢型戈杂的用说.次H0U)在0点出不退化.乂小正定演他定.山

11..女特“俏的力敏£小11个.乜时方代称为a夕点内则双曲tb次中Q")a/,,上退化.的斤

r'Jv.何其余MIIHC他同号,这时方麴在,,,',力加依捌假.口火匕察<iH>ai,就“:

«1>元在Q中的标一点,方程和是双向型,好方段在区域C中为双期a.<2)心存C中的每•点.

力W是I•栩K,亚林方出在区J«C中为拈物足⑶行仕c中的M哨方也部是扁网通敕裤在Q

中万件NRW空,11ncn中的部分M境方内为双B中.在%那分IX式上方程为林|川梨./FIX

微的分界线匕方程为荒冽中,达律类型的方程弥为翘门型方程,例如

护"26'“,、,..

-r-a--r-0(«>(»

mSx

^--</'7-v=0《">3

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c2u83tt八

方“亨=°

在雪囱卜设。上分别为双ia?r兄不田、怖网5?方程.而Tnci.1力伴

等+乳。

al./¥『iy〉O为HPi,愿在下午十面>・<。为戢曲书,面4y=。为抛物型,立在©个平而卜.就是

千泣介注方界,分察M究任你0分方件竭兄上般进I,步.

嘀九碗做分疔株的力注是心方的.例如

I.也势论

2.枳力力移法

3.更分法

4-空分法

5.网店敢法

6.h.下第的方法

7.连块短幅法

X.臣杀力法

我,不可作介绍所育的方法.只悭倒抬尸上&上认为比1:的部分.

在He力方陞》生研究&发现,无肝方也,在用供分方捏的基础理叱I.乂的进/-W.保他力

方"的时,足序求为,假长硼以米・甘丹美同帝方为用决心「书解是片小川e的,Wilt.在世时硼

vAriffim.修了用于无点义urn况.如“:+“;+1・。丸实好外,每一伯・分力忖4|:&“某不通

“改的.卦M被制仿一触坨件力启

Z=/<.<)

M9

A«t>/r-------------,|。卜4++a„.a^(a,.a„,aj.启G大类M.OIK.ff室井共0

讨试

此.附加

I田*二八审,。八八02'.IcxfK-l),r>(x

设面+万♦"*八萨+(记-五%"或°’<n

Vt1tVI

次历任“实解•4;仪戊有古九邮.也没何任何强解和划好•隼见,

ILH>riTUf)drr.LtntdtPjnialChflamUddOpemeoc.Springer-Veiiii^.1963.

2.MSchcchurr.M<xkvnMnkxKinl\«iidlDitfcrmli.ilMcgr.iu-Hill.1977.

3.隔出小.工"乩.酢炳阅基〃”¥。融町中/jfVfH.1991

4.IXCiilbarfandN.S.Trudm^cr.EllipticPaniolOtlcrcniMlLqgikMHolSevondOrder,

Spnnpcr-StrUg.IW5

第一章线性椭圆方程的Schauder理论

我打ij论Ihnchid可期

干行界区域CuAT

<(1.1>

“M=奴。

占自醉倒存住性,乩中工为收什精回耳下

1.U=4*)P,«+Z>(xjD/f♦dx2

这必先III下面的定理未引出戮做的士员事情.

定理I」(建技性力•法)或6MBah守门.丫比线惟出范空M.4卬L/。TV的有界找

11律子.对于;w[0.IL令

匐疑存在常数C使超时fJG[O川成立

M,,dMvP”8

恻人:夕fV为弭射的无Q条件是人:夕TV为谣酎

此明:只须比咧1"在市改,>0.便对任星sHO,l|.只要L,及滴射.蚓对

――底平冲间-(5J

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"⑷要…]

“用—夕•昨/叼3包=V1可

•为里J,Pf2H3“"均“I”114H率J»«?H魏SU”H4x>«»ra}

叱“信焉低小

V

|(r)ff|dns^M^叫可

叟4Y陈11Y3J

•fc^^l'SHWtCJHlWtfI网羊人讨,回七M)i•碘1,出“福

•人"*川<ri>WIM«a;*i.Q3'!,]ntffl•3孵&人一牛。由聚­£

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附”-2次i*rr

为liplue厅卡山=0的5本的,K中/是*.n>3.我小使然的体枳.

(2)我,从"舜可机匕,N1

«(x)=|r(x->>>/(»-></»

体为JiTjNwm位给.

力关厂的事实为

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,网.ur

毋「仙•专信・津)・“0

⑴ARx)=aXHO

定“t.2c1)右/在C内it纹.附]分);光.WMeC*ifliR

u,Cr)=jQT,(x-y)/(ykh,.»=l.2..n..re£2

若,(工)花心内是由心「皿的(据炊为a,则“(.OGC1,。)!!

"j(x"JJrJ"一刈">)~)Wy-/(*)J,“「、(k-4v..、,)必

这里4】分片)titt,v为Ml的外法理方向.

O)在<2)的条朴下皿外为足

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ul«l<l>Vp<«,积5jJ-JdrtZ故,”中。为包含早点的fj界区岷-这样/4八连柒时.

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J3□-#/《>»双口图.运行有

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(2)Utl*j.id。,"{>eC:|』一y。匕}・W

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/>6idv)=limDfft(r-y)/(y>A=rj.r)(1.3》

为「使<IJ)大酹火।艮》.从帆港叼总分r/N)时上是屈油里祗必的.财UxeauuC

「,..a-M/(>'>-/(x)k“ffa>JuJ.(r-yk"

■J。「”,(x・y)(,C)A〃x)U"・/<x)frr(x-v)wMv.y;>A

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也分r“足效收J&的.因为

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赳分工无由怪.⑶为xwCJ.ywMl.从由(1,3)式确实成正.dtt

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O)国内

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上K左曙某一项为零-为计用第二Ml中的图面枳分.注点

「、:CL*”;2-j.““「,(.♦>),冈小乂油

他能琳iMh

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所以

Aidx)=f(x]

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Nciun使笫.鸣“<!<?”<4),K

itfL.^a^i.ah/rvu*1/^)

证网:'只差证

I。网G-OM初"”⑷[曰1八/+I/LeI

左手三手则由定理1.2fl

Dvii(.o-z>M<r>^,r_.U-.VX/(A)-Ay>wy+f„,r.-,vX/(7)-/(>,)k/v

*f(«r.Jx-A-[H-"N/(rv»x-yM/(x)-/l.n>/v

-/[可.,(rf(i-y)-rr(x-y)Jan<”,岫+</<x)-/(.<))|JR-y)on|r,"岫

力,

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下修力对防计各个积分/,,A=L2.,6

।/向-爵小。皿*加

类fcUfg

I-

时f&.曲中(ft4叫.如布斤的左续卜Elifit

u-yii/Li.t-.vr

阳;|X-邛卓g-y|.rft

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Q八方'

村『(,"I分那帜分时捋

」「式彳-刈而”./「/-川制

而当与时.Wie^.ffl|7-.v|2ff^rec'B.fJT.Wxefl;.故|下一)0。,卜及

;e

I—击一但含]5“q/w

至fcl可收

对人,注2由中值定M,在*—7之间存在£使

|/5«/U-r-J|fjvrjx-y)|^

南与ywFH...ie阳1Hli•-FRH,速杆

l,M"九忌产“岩爪,右卬八._

发我1.4I窜魂的计)我国=%<』>K.可=与//)K4./㈤6(*(吊>.

Ovavl."0为/(幻的New*■僮知则”小片面J1

X-5几T

证阚。定理1.3相仿,酋4・iji+j<2〃时,由定睥I.NUre无门

DJ

,«<»=frTv<,i-y)(/<y)-/(j))</v-/(.i»J/r,(.i-y)cw(»;y^v

为此注通

」)匚山

JrI\a-Y)cai(rJ«=J*U-N)0oMv.K)

Jnrw(x-y)cos<v,yjMs"0Vik<n

仿定理13的“明.ifafA»lill[Z^«L,V*<j».发行.科冏方程AM-/和卜所所需的

I5“L的的计.便叫*计叫%“L

卜囱我“改推甘•*nrj5t依估计,M日阳惨MSchwJe,笛计.

I.CJ/靠U*支g的M:利川火,tai位力.

2.编内系软力IVHK女生的解;利用用中标耍携

3.可里京81力火「小发柴料:利川妣动力注

4-以至系e[方也筑,去g小支集HI划,引电内况苞破.

定HL5a“wC"UU满足&,=/t叱.则

1Mb&4ZR~LfJ+S.Q"E.a)

UL明,曲定J5M2.»an/H超“事他拓到人之外.由

0jr)-Mja--yw处,二9,r(y)M(i-ykA-|J(y)AMttyf<iy

"frr(y)/(x-yM>'-RJ--y)/(y)<A'

。由定电1.3便利求d.

定力1.6谀常条.划清足

眼*4?尉"I",v^er

其中第敢人22>。・有“6《”<a)淘足方程

£„«--/(x)<14>

W

u

|M|j,frS<X^(fl1Jl*|/|,nr>.t=dn.cr,A,>l)

3现:不妨段i°・0.今y・7i.7为曲定的常如曲,M<1.4)化为

4"=,其'=/于缘(16

0yM

典中与为包含吗的津,m=J-/?),a-«n«)./(v)-/(r_v).*零址出利瓦上,

而A=(纯J=7:AT.A=(4)时择询做却降T,使丁NT=/(单位6PH,则(IS)化为Rzn

H,,从而内定理I,将出“4,!!.:,%中。=,“.〃),骅同**飘使得求「

现任号虐一靓的找it方程

Lw=aJ.i)Q“+a(x>0“+«xK,fix)--。

假血乂原致满足如下现th

(E1)方也,足致所闷约,=ajx)=,%(x)ll存在常数九人>0住

川《1七勺(人m4人"1'.vxen.

(E2)g|a.(川+工也1口+|儿腔。cf€<0.1),品为已知常依

M/.KA13.

^iF?1.7nu.icC"^),下

'0-¥k

收."•0,=7•(》*»口=♦,4|rO)3T冷

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《•m1一(;轲)+'MW+rpq/x1fps'阿

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口柒4M•里*境W时附注为“110

n+Z>ff77*H)=7<»?P0=i/ib1f

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Vfl

朴•(“3)匕・9v/m•(,)%-勿*cbiQ>”亭cy餐士咖》i)siu\t>

、口”尸[.、广,,|.」“[,,1>

部YitzB..3?僮xc”(幻三斗.若ye8,(?)H,,

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半口件修刖.|17厂“防严皿

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『泮皿一.

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I叫“*即rM+力门吗

再从1)中叫“bJU“l多计■出[叫,代入匕必的”处齐,便祈求证.

林;.B,帙电耳・B"")M&",用同1.8仍解成仁

比分1.9费力村5.1》瑞星”;I>,E”那么在>0.「>().检种与后目凡,£"<•得"(%)

懵足<LI>.4=/<K”>C:C.则

“儿儿+标―'叫4

K中K..C依Blf九a.九人加入..

证一履附飘动服・记

口-%(/回“=j

(=/《X)I怎(.1)-4(4))。、“一〃(K>0”-C(>W

由定区1。

见4~rm+m-JTI八♦"(.+©

其中c-cY”.a.人人),F曲拉j的表达大米仙计尤中的石4i.也引即1.7和i£"i«g|时.

I《%(.J)-“V(N”4“(X)L4K/</)-”,(x»LI2,“I.+||%("')一%(、川"1

M~/ri/“+7i4

s、仔1人“+£人“七网入+,"«£)&:|«|,

同:“+z

W<\J1+£1*dn,(t,i:)R|“1n

/?'I(«,(x*')-<«,(x))D,wI,SR"八”/T[“kW+c(几aw)R|“LJ

的㈤4“L4M矶-A/L0+cOr。"次l”l,♦,即也+<*'叫小)

SI“h”♦d”,a,¥W21“[J

斤“内〃“bsH”、[叫1K'A.%a.Q中"M

QL4%U4,+A„|Mt认“人++*vta,c)/e-|«U

k|Er"k%|“b

其中.取(SI.球介以上找的使相

代iAwN,r.aW1“]:.十足人。,小)氏‘""'I"L

声籍取凡满足。人.<,%。,&:*,便柑噌-

现在与电(I.I)的般解bpUC

力和HJB曲夫「卬XHIUI的储果.日然塞翁使M5斯囚f.取。4仅外41・

夕©MITHR⑷…三cr…'・令v・a・i0C"(品储运

T

/.V=仙♦«(4/^+AQ另+2asQg”f.

m^W19切与A4K时

【丸兄44KT九5+…,IVI,)

利用百为1.71I,K町得

U/La+d“匕鸟”匕冰,11^1)

从而只能行网

[“h.%Md*-|,卜氏d/U+d“La+«〉L・-'皿1)<i.6>

这破出现「麻事.西嘀・禹堂牛莅Hh.所ni《岷f啊.心/:/、小,I与咫iut,

«.用进内第薇轨

定义1.41内部他故),记Cv-HeC;而5"凡g)>修,令

同2月“>+E评用力段斤”【优矶小

|,。。=必心|八.)+加(正7|八必)

R0*4

M中尺东自定a19

界国百出,川川:“<不时.“I」-„;.1•<)[.'»乩所知/J」产8可,打至/本

月在CQ州1也可口无冰,所以用内宓血也只能利W内部估计.

定为LID收方£(“)洪是(臼>」口>・bi果“wC'ICj为II)之解,词

1“心5«—”2

u£KI:时yRw(0.《)・VyeC"由«1.6)用

心”“L•々⑴(-斤1〃小“+X"l/L+,*3间3”“+«中,U..)

$—<皿+*'”几皿+£『[02

+6"kkn"⑺1“匕〉

由此.由引理

1.x,*tV/tG«),^).Vyen?je.fl

sa/K・c4£I“b;qy£)IuLn)

wWfK.c"I"I::q+~C[Mg)

十足

l“lg+EwMN/Mjl;.+Zw2RH2NL,SM/Q+claJ♦(Wl“blJ<l7>

fj

为对V靛JUN,)亿请出(2/6lD*Lq“,号虑力,昨。偌,/么”M,k;时

炉..I空:"1^1')14川14.勺s7/J”+引“h:G+<V)I"kj»)

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而斗㈠-对之亍时

川pI":等)1“FE」H+£I«k;oYG|Khn)

勺之百

(2RyI5<11/c.t>*tf|«LnMl,n)EW(U«)(I.H>

这样例<1.7>和।IK)台

Im二q£Z,J+£I"I;q♦<!«)!«ko)

送"£住<•£<:.快尚求正.

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卜面进行至同SctundcrPii|.记/=乩(J)优.』eR'«纥*tiK.MIWI内肉[的胸

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向,.豆4。*“|/(下”/|.彳),C=C(»,tJ>

证阚,揖门仍然力里及仿定出13中曾方法,熨月逝转化为Nouon位外的MW.为此.先化“和

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