2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算(讲义)学生版_第1页
2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算(讲义)学生版_第2页
2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算(讲义)学生版_第3页
2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算(讲义)学生版_第4页
2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算(讲义)学生版_第5页
已阅读5页,还剩10页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第10讲向量的概念和线性运算

知识梳理

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的大小叫

向量平面向量是自由向量

做向量的长度(或称模)

零向量长度为零的向量;其方向是任意的记作d

非零向量a的单位向量为土旦

单位向量长度等于1个单位的向量

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线6与任一向量平行或共线

共线向量

向量

两向量只有相等或不等,不能比较大

相等向量长度相等且方向相同的向量

相反向量长度相等且方向相反的向量6的相反向量为6

2.向量的几何运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

⑴交换律:a+b^b+a

a

结合律:

加法求两个向量和的运算三角形法则(2)

(〃+B)+c=a+0+c).

a

平行四边形法则

求3与6的相反向量一b

—►—►―►―►

减法a—b=a+b)

的和的运算叫做;与石的a

差三角形法则

(1)Ma=Ma;—>—►

⑵当2>0时,儿二的方

—►—►

求实数X与向量7的积的向与二的方向相同;当A(4+〃)

数乘

—►

运算〈0时,儿二的方向与「的a;

方向相反;当才=0时,

几a=0

3.共线向量定理

向量a(aWO)与6共线的充要条件是存在唯一一个实数3使得6=Aa.

例题解析

1、向量的概念

思考1向量与数量有什么联系和区别?向量有哪几种表示?

答联系是向量与数量都是有大小的量;区别是向量有方向且不能比较大小,数量无方向且

能比较大小.向量可以用有向线段表示,也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的

长度表示向量能的大小,也就是向量诵的长度(或称模).记作I诵I有向线段■头表示向量

诵的方向.

思考2向量与有向线段有什么区别?

答向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相

同的向量;有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管

大小和方向相同,也是不同的有向线段.

思考3满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?

答长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与6相等,记作a=6.单位向量不

一定是相等向量.

思考4如果非零向量瀛与杳是共线向量,那么点/、B、a,是否一定共线?

答点4B、a〃不一定共线.

思考5若向量[与了平行(或共线),则向量二与了相等吗?反之,若向量7与花相等,则

向量二与了平行(或共线)吗?向量平行具备传递性吗?

答向量;与了平行(或共线),则向量;与了不一定相等;向量;与了相等,则向量7与工

平行(或共线).

向量的平行不具备传递性,即若a//b,b//c,则未必有a//c,这是因为,当6=0时,

a、c可以是任意向量,但若6W0,必有a〃6,b//a//c.

例1.(2021•浙江高一单元测试)下列说法正确的是()

A.向量通与向量丽是相等向量

B.与实数类似,对于两个向量点百有£=石,a>B,q<6三种关系

C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行

D.若两个向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合

例2.(2021•全国高一课时练习)下列命题:(1)零向量没有方向;(2)单位向量都相

等;(3)向量就是有向线段;(4)两向量相等,若起点相同,终点也相同;(5)若四边形

ABCD为平行四边形,则赤=反,前=属.其中正确命题的个数是()

A.1B.2

C.3D.4

aA

例3.(2021•全国高一课时练习)设B都是非零向量.下列四个条件中,使==b

\a\\b\

成立的条件是()

A.a=—bB.allb

C.a=2bD.)〃%且R=W

例4.(2021•全国高一课时练习)下列关于向量的结论:

(1)若Ia1=1BI,则a=6或a=—b;

(2)向量[与B平行,则[与B的方向相同或相反;

(3)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;

(4)若向量[与B同向,且则

其中正确的序号为()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)

例5.(2021•全国高一课时练习)下面几个命题:

①若Z=则口=|“;

②若[a|=O,则。=0;

③若a=",则a=6;

④若向量海满足[I,则£=

allb

其中正确命题的是

例6.(2021•江苏高一课时练习)已知四边形ABCD中,AB=-DC,且

2

|A5|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.

例7.(2020•全国高一课时练习)给出下列几种说法:①若非零向量方与5共线,则

d=②若向量值与5同向,且|初>|6|,则万〉B;③若两向量有相同的基线,则两向

量相等;④若1//B,bllc^则7//1其中错误说法的序号是_.

例8.(2020•湖北武汉市♦高一期中)下列命题中正确的有.(填序号)

①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;

②若同=怀则]=在;

③若荏=反,则AB,C,。四点构成平行四边形;

④在口极力中,一定有血=反;

⑤若&=B,b=c'则

⑥若allb,bHe,则allc;

例9.判断下列命题是否正确,并说明理由.

①若aWb,则a一定不与b共线;

②若'崩=&,则/、B、a,四点是平行四边形的四个顶点;

③在平行四边形力6徵中,一定有荔=元;

④若向量a与任一向量6平行,则a=0;

⑤若a=b,b=c,则a=(?;

⑥若a//b,b//c,则2〃。.

例10.如图所示,△/回的三边均不相等,E、F、2分别是4aAB、%的中点.

(1)写出与旗共线的向量;

(2)写出与赤的模大小相等的向量;

⑶写出与而相等的向量.

例11.如图,在平行四边形/四中,。是两对角线/G初的交点,设点集S={4B,C,

D,。},向量集合7={而四NRS,且弘及不重合},试求集合7中元素的个数.

【巩固训练】

1.判断下列命题是否正确,并说明理由.

①若向量a与6同向,且则a>Z);

②若向量国=|引,则a与b的长度相等且方向相同或相反;

③对于任意㈤=|引,且a与6的方向相同,则a=6;

④向量a与向量6平行,则向量a与6方向相同或相反.

2.如图,设。是正六边形似婀的中心,分别写出图中所示向量与应、0B.应相等的向量.

3.以下命题:①㈤与㈤是否相等与a,6的方向无关;②两个具有公共终点的向量,一定

是共线向量;③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;④单位向量都是共线向

量.其中,正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

4.如图,在四边形/成力中,AB=DC,N、〃分别是力久加上的点,且鬲荡.

求证:DN=m.

2、向量的几何运算

思考6向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?

答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别:①三角形法则中强调“首尾相连”,

平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而

平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系:当两个向量不共线时,向量加法的三角

形法则和平行四边形法则是统一的.

思考7|a+b\与1和|引之间的大小关系如何?

答当a与6同向共线时,a+b与a,6同向,且|己+引=|a|+|引.

当a与b反向共线时,若|印〉|引,则a+b与石的方向相同,且|a+引=Ia|—|引;若

\a\<\b\,则a+6与6的方向相同,且|a+引=|引一|a|.

思考8向量减法的三角形法则是什么?

答当把两个向量a,6的始点移到同一点时,它们的差向量a—6可以通过下面的作法得

到:

①连接两个向量(a与加的终点;②差向量a—6的方向是指向被减向量的终点.

这种求差向量a—6的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点,连接两终点,

方向指被减”.

思考9一般地,我们规定:实数乂与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记

作,1a,该向量的长度与方向与向量a有什么关系?

答Aa仍然是一个向量.

(1)|^a\=\||a|;(2)儿〉0时,Aa与a方向相同;才〈0时,4a与a方向相反;才=0

时,2a=0.方向任意.

思考10向量等式的证明依据是相等向量的定义,既要证明等式两边的模相等,又要证明

方向相同.你能根据这两条证明X(〃a)=(A〃)a这条运算律吗?

答如果4=0或〃=0或a=0,则①式显然成立;

如果aWO,则由向量数乘的定义有

X(〃a)\=\A\\na\=\^\\n\\a\,

I(X〃)a|=|X〃|||a|,

故"(“a)|=|(X〃)a].

如果4、〃同号,则①式两边向量的方向都与a同向;如果从〃异号,则①式两边向量的

方向都与a反向.

因此,向量/(〃a)与(久〃)a有相等的模和相同的方向,所以4(〃a)=(才〃)a.

思考11如图所示,8,会是两个不共线的向量,试用台,在表示向量诵,CD,EF,GH,~HG,

答通过观察,可得:/夕=2ei+3ez,CD=—ei+4e^EF=4:ei—4e^

GH=-2a~\~3ei,HG=2e「3a,a=~2e\.

思考12在等边三角形/阿中,试写出下面向量的夹角?

a.AB、ACb.AB>CAc.BA、CAd.AB、BA

答a.诵与位的夹角为60°;b.诵与应的夹角为120°;

c.前与方的夹角为60°;d.诵与前的夹角为180°.

例1.如图,在平行四边形/四中,。是〃'和劭的交点.

⑴茄+崩=;⑵五斗而十屈;

&)AB+AD+~CD=;⑷元+应+而=.

例2.在正六边形ABCDEF中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=.

例3.如图所示,在正五边形/况定中,AB^m,BC=n,CD=p,DE^q,EA=r,求作向

量m—p+n—q—r.

口U

例4.已知任意两个非零向量H,b,作物=a+6,OB=a+2b,OC=a+36.试判断2、B、C三

点之间的位置关系,并说明理由.

例5.设ei,a是两个不共线的向量,AB—2e\-\~kez,6s=&+3出CD=2e「色,若4B,D

三点共线,求A的值.

例6.设砺、砺不平行,点尸在AB上o存在实数九〃使得0P=X0A+〃08

且2+〃=1(2,〃eR)

例7.如图,已知△/8C中,,为区的中点,E,广为国的三等分点,若诵=a,AC=b,G是

△/回的重心,⑴用a、b表示蠢、毒、崩、AG.CG.(2)证明ZS+旃+西=0

例8.已知。是线段A3外一点,若砺=£,OB=b.

(1)设点A、&是线段A3的三等分点,△。姐、△。44及的重心依次为

GpG2>G3,试用向量£、B表示*+如+灰£;

(2)如果在线段A5上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.

例9.如图所示,设弘“为内的两点,S.AM=-AB+-AC,AN=-AB+-AC,则△力胡的

面积与的面积之比为

例10.如图所示,。为△回的外心,〃为垂心,求证:OH=OA+OB+~dc.

例n.如图所示,在△力回中,点〃为血的中点,5.AN=^NC,AV与。/相交于点2,设葩

=a,AC=b,试以a,6为基底表示

【巩固训练】

1.设£是平行四边形/的外一点,如图所示,化简下列各式:

⑴庞+为=(2)BE+AB+EA=;

(3)DE+CB+EC=⑷或+无+诙+AE=.

2.在边长为1的正三角形/阿中,|逾一瓦1的值为()

A.1B.2C.坐D.乖

3.a,Z;为非零向量,且|a+b|=|a|+|引,则()

A.a〃b,且a与6方向相同B.a,6是共线向量且方向相反

C.a=bD.a,,无论什么关系均可

4.若。是AABC所在平面内一点,且满足|砺—反卜阿+反—2词,则AABC的形

状为

5.为不共线的向量,设条件“工工([2);条件N:对一切xeR,不等式

a-xb>a-b恒成立.则M是N的条件.

6.设向量以=2a—36,n=4a~2b,p=3a+2b,若用血A表示0,则p=.

7.如图,平面内有三个向量而、血赤其中应与血勺夹角为120。,应与加夹角为30°,

且|应|=|丽=1,|宓=2镜,若宓=4应+“而32GR),则儿+”的值为.

8.已知两个非零向量①和自不共线,如果诵=23+3&,诙=6&+23&,而=4以一8&,求

证:A,B、,三点共线.

9.在平行四边形45cZ?中,AB=a,AD=b,

(1)如图1,如果£,尸分别是比;%的中点,试用a,6分别表示能,DE.

⑵如图2,如果。是/C与物的交点,G是〃。的中点,试用a,6表示4G.

10.如图所示,在平行四边形/四中,点〃是"的中点,点N在物上,且W*ft

求证:M、N、。三点共线.

10.(1)在AQ钻中,点尸、Q分别在Q4、08上,线段尸。过三角形ABO的重心G,

设西=G,OB=b,OP=ma,OQ=nb,试求‘土乌的值.

mn

(2)在AABC中,点“是A3的中点,点N是AC上一点,且网=,,BN与CM相

AC3

交于点E,设方=1,AC=b,试用大B表示通.

11.如图所示,已知D是面积为1的4ABC的边AB上任一点,E是边AC上任一点,连接DE,

F是线段DE上一点,连接BF,设陋=4筋,AE=%AC,DF=&DE,且

2+2-2=—

‘''2,记△BDF的面积为S=■/■(4,22,4),则s的最大值是()

j_]_j_1

A、2B、3C、4D、8

M为BC上不同于3、C的任意一点,点N满足

AN=2NM,

若AN=xA5+yAC,则Y+9y2的最小值为

3、向量的坐标运算

思考14

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如图,向量入J是两个互

相垂直的单位向量,向量a与/的夹角是30°,且㈤=4,以向量八J,为基底,向量a如

何表示?

答a=2y/3i+2J.

思考15已知点/(X1,yi),B(X2,乃),那么向量诵的坐标是什么?一般地,一个任意向量

的坐标如何计算?点的坐标与向量的坐标有何区别?

答筋=此一如%—%).任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减

去始点坐标.

(1)向量a=(x,力中间用等号连接,而点的坐标/(x,y)中间没有等号.

(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时,向量的坐标才与向量终点的坐标相同.

(3)在平面直角坐标系中,符号(x,只可表示一个点,也可表示一个向量,叙述中应指明点

(x,为或向量向,y).

思考16当脐=4属,点户的坐标是什么?

答:原—南+河*南+儿旗=南+4(旗一曲=南+八旗一4加,

.才南+才旗12(11>,(AA\

••°P=i+1=7^7(荀,»)十^7(*2,%)=(^7为,7^7小1+(1^7兹,7^7刁

(X\+^X2Ji+4⑶・/X1+AX2%+

=11+),1+A\]+x,1+A/

例1.若丽=(2,4),AC=(1,3),则与前共线的单位向量为.

例2.已知a=(—2,3),6=(3,1),c—(10,—4),试用a,力表示c.

八一A

例3.向量4b,。在正方形网格中的位置如图所不,若。〃£R),求下的

值.

例4.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,-2),求第四个顶点的坐

标.

例5.已知00=(85仇51!16),OQ=(l+sinai+cos6)(Owe<;r),求,0的取值范

围.并指出。为何值时,|用|取得最大值.

例6.已知三点2(1,2),6(2,4),<7(3,而共线,试求"的值.

例7.设向量OA=(l,—2),O6=(a,—l),OC=(—〃,0),其中

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论