2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算（讲义）学生版

第10讲向量的概念和线性运算

知识梳理

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量；向量的大小叫

向量平面向量是自由向量

做向量的长度（或称模）

零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作d

非零向量a的单位向量为土旦

单位向量长度等于1个单位的向量

问

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线6与任一向量平行或共线

共线向量

向量

两向量只有相等或不等，不能比较大

相等向量长度相等且方向相同的向量

小

相反向量长度相等且方向相反的向量6的相反向量为6

2.向量的几何运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

⑴交换律：a+b^b+a

a

结合律：

加法求两个向量和的运算三角形法则(2)

(〃+B)+c=a+0+c).

a

平行四边形法则

求3与6的相反向量一b

—►—►―►―►

减法a—b=a+b)

的和的运算叫做;与石的a

差三角形法则

（1）Ma=Ma；—>—►

⑵当2>0时，儿二的方

—►—►

求实数X与向量7的积的向与二的方向相同；当A(4+〃)

数乘

—►

运算〈0时，儿二的方向与「的a；

方向相反；当才=0时，

几a=0

3.共线向量定理

向量a（aWO）与6共线的充要条件是存在唯一一个实数3使得6=Aa.

例题解析

1、向量的概念

思考1向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示?

答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且

能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的

长度表示向量能的大小，也就是向量诵的长度（或称模）.记作I诵I有向线段■头表示向量

诵的方向.

思考2向量与有向线段有什么区别？

答向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相

同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管

大小和方向相同，也是不同的有向线段.

思考3满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

答长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与6相等，记作a=6.单位向量不

一定是相等向量.

思考4如果非零向量瀛与杳是共线向量，那么点/、B、a，是否一定共线？

答点4B、a〃不一定共线.

思考5若向量［与了平行（或共线），则向量二与了相等吗？反之，若向量7与花相等，则

向量二与了平行（或共线）吗？向量平行具备传递性吗？

答向量;与了平行（或共线），则向量;与了不一定相等；向量;与了相等，则向量7与工

平行（或共线）.

向量的平行不具备传递性，即若a//b,b//c,则未必有a//c,这是因为，当6=0时,

a、c可以是任意向量，但若6W0,必有a〃6,b//a//c.

例1.（2021•浙江高一单元测试）下列说法正确的是（）

A.向量通与向量丽是相等向量

B.与实数类似，对于两个向量点百有£=石，a>B，q<6三种关系

C.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行

D.若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合

例2.（2021•全国高一课时练习）下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相

等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形

ABCD为平行四边形，则赤=反，前=属.其中正确命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

aA

例3.（2021•全国高一课时练习）设B都是非零向量.下列四个条件中，使==b

\a\\b\

成立的条件是（）

A.a=—bB.allb

C.a=2bD.）〃%且R=W

例4.（2021•全国高一课时练习）下列关于向量的结论：

（1）若Ia1=1BI,则a=6或a=—b；

（2）向量［与B平行，则［与B的方向相同或相反；

（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

（4）若向量［与B同向，且则

其中正确的序号为（）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.（4）D.（3）

例5.（2021•全国高一课时练习）下面几个命题：

①若Z=则口=|“；

②若［a|=O,则。=0;

③若a=",则a=6；

④若向量海满足［I,则£=

allb

其中正确命题的是

例6.（2021•江苏高一课时练习）已知四边形ABCD中，AB=-DC,且

2

|A5|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.

例7.（2020•全国高一课时练习）给出下列几种说法：①若非零向量方与5共线，则

d=②若向量值与5同向，且|初＞|6|,则万〉B；③若两向量有相同的基线，则两向

量相等；④若1//B，bllc^则7//1其中错误说法的序号是_.

例8.（2020•湖北武汉市♦高一期中）下列命题中正确的有.（填序号）

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若同=怀则］=在；

③若荏=反，则AB,C,。四点构成平行四边形；

④在口极力中，一定有血=反；

⑤若&=B,b=c'则

⑥若allb，bHe，则allc；

例9.判断下列命题是否正确，并说明理由.

①若aWb,则a一定不与b共线；

②若'崩=&,则/、B、a，四点是平行四边形的四个顶点；

③在平行四边形力6徵中，一定有荔=元；

④若向量a与任一向量6平行，则a=0；

⑤若a=b,b=c,则a=（?；

⑥若a//b,b//c,则2〃。.

例10.如图所示，△/回的三边均不相等，E、F、2分别是4aAB、%的中点.

（1）写出与旗共线的向量；

（2）写出与赤的模大小相等的向量；

⑶写出与而相等的向量.

例11.如图，在平行四边形/四中，。是两对角线/G初的交点，设点集S=｛4B,C,

D,。｝,向量集合7=｛而四NRS,且弘及不重合｝,试求集合7中元素的个数.

【巩固训练】

1.判断下列命题是否正确，并说明理由.

①若向量a与6同向，且则a>Z）；

②若向量国=|引，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

③对于任意㈤=|引，且a与6的方向相同，则a=6；

④向量a与向量6平行，则向量a与6方向相同或相反.

2.如图，设。是正六边形似婀的中心，分别写出图中所示向量与应、0B.应相等的向量.

3.以下命题：①㈤与㈤是否相等与a,6的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定

是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向

量.其中，正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.如图，在四边形/成力中，AB=DC,N、〃分别是力久加上的点，且鬲荡.

求证：DN=m.

2、向量的几何运算

思考6向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?

答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，

平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而

平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角

形法则和平行四边形法则是统一的.

思考7|a+b\与1和|引之间的大小关系如何？

答当a与6同向共线时，a+b与a,6同向，且|己+引=|a|+|引.

当a与b反向共线时，若|印〉|引，则a+b与石的方向相同，且|a+引=Ia|—|引；若

\a\<\b\,则a+6与6的方向相同，且|a+引=|引一|a|.

思考8向量减法的三角形法则是什么？

答当把两个向量a,6的始点移到同一点时，它们的差向量a—6可以通过下面的作法得

到：

①连接两个向量(a与加的终点；②差向量a—6的方向是指向被减向量的终点.

这种求差向量a—6的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，

方向指被减”.

思考9一般地，我们规定：实数乂与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记

作，1a,该向量的长度与方向与向量a有什么关系？

答Aa仍然是一个向量.

(1)|^a\=\||a|；(2)儿〉0时，Aa与a方向相同；才〈0时，4a与a方向相反；才=0

时，2a=0.方向任意.

思考10向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明

方向相同.你能根据这两条证明X(〃a)=(A〃)a这条运算律吗？

答如果4=0或〃=0或a=0,则①式显然成立；

如果aWO,则由向量数乘的定义有

X(〃a)\=\A\\na\=\^\\n\\a\,

I(X〃)a|=|X〃|||a|,

故"(“a)|=|(X〃)a].

如果4、〃同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果从〃异号，则①式两边向量的

方向都与a反向.

因此，向量/(〃a)与(久〃)a有相等的模和相同的方向，所以4(〃a)=(才〃)a.

思考11如图所示，8,会是两个不共线的向量，试用台,在表示向量诵，CD,EF,GH,~HG,

答通过观察，可得：/夕=2ei+3ez,CD=—ei+4e^EF=4：ei—4e^

GH=-2a~\~3ei,HG=2e「3a,a=~2e\.

思考12在等边三角形/阿中，试写出下面向量的夹角？

a.AB、ACb.AB>CAc.BA、CAd.AB、BA

答a.诵与位的夹角为60°；b.诵与应的夹角为120°；

c.前与方的夹角为60°；d.诵与前的夹角为180°.

例1.如图，在平行四边形/四中，。是〃'和劭的交点.

⑴茄+崩=；⑵五斗而十屈；

&)AB+AD+~CD=；⑷元+应+而=.

例2.在正六边形ABCDEF中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=.

例3.如图所示，在正五边形/况定中，AB^m,BC=n,CD=p,DE^q,EA=r,求作向

量m—p+n—q—r.

口U

例4.已知任意两个非零向量H,b,作物=a+6,OB=a+2b,OC=a+36.试判断2、B、C三

点之间的位置关系，并说明理由.

例5.设ei,a是两个不共线的向量，AB—2e\-\~kez,6s=&+3出CD=2e「色,若4B,D

三点共线，求A的值.

例6.设砺、砺不平行，点尸在AB上o存在实数九〃使得0P=X0A+〃08

且2+〃=1(2,〃eR)

例7.如图，已知△/8C中，，为区的中点，E,广为国的三等分点，若诵=a,AC=b,G是

△/回的重心，⑴用a、b表示蠢、毒、崩、AG.CG.(2)证明ZS+旃+西=0

例8.已知。是线段A3外一点，若砺=£,OB=b.

(1)设点A、&是线段A3的三等分点，△。姐、△。44及的重心依次为

GpG2>G3,试用向量£、B表示*+如+灰£；

(2)如果在线段A5上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.

例9.如图所示，设弘“为内的两点，S.AM=-AB+-AC,AN=-AB+-AC,则△力胡的

面积与的面积之比为

例10.如图所示，。为△回的外心，〃为垂心，求证：OH=OA+OB+~dc.

例n.如图所示，在△力回中，点〃为血的中点，5.AN=^NC,AV与。/相交于点2,设葩

=a,AC=b,试以a,6为基底表示

【巩固训练】

1.设£是平行四边形/的外一点，如图所示，化简下列各式:

⑴庞+为=(2)BE+AB+EA=；

(3)DE+CB+EC=⑷或+无+诙+AE=.

2.在边长为1的正三角形/阿中，|逾一瓦1的值为（）

A.1B.2C.坐D.乖

3.a,Z;为非零向量，且|a+b|=|a|+|引，则（）

A.a〃b,且a与6方向相同B.a,6是共线向量且方向相反

C.a=bD.a,，无论什么关系均可

4.若。是AABC所在平面内一点，且满足|砺—反卜阿+反—2词，则AABC的形

状为

5.为不共线的向量,设条件“工工([2)；条件N：对一切xeR,不等式

a-xb>a-b恒成立.则M是N的条件.

6.设向量以=2a—36,n=4a~2b,p=3a+2b,若用血A表示0,则p=.

7.如图，平面内有三个向量而、血赤其中应与血勺夹角为120。，应与加夹角为30°,

且|应|=|丽=1,|宓=2镜，若宓=4应+“而32GR),则儿+”的值为.

8.已知两个非零向量①和自不共线，如果诵=23+3&,诙=6&+23&,而=4以一8&,求

证：A,B、，三点共线.

9.在平行四边形45cZ?中，AB=a,AD=b,

(1)如图1,如果£,尸分别是比；%的中点，试用a,6分别表示能，DE.

⑵如图2,如果。是/C与物的交点，G是〃。的中点，试用a,6表示4G.

10.如图所示，在平行四边形/四中，点〃是"的中点，点N在物上，且W*ft

求证：M、N、。三点共线.

10.(1)在AQ钻中，点尸、Q分别在Q4、08上，线段尸。过三角形ABO的重心G,

设西=G,OB=b,OP=ma,OQ=nb,试求‘土乌的值.

mn

(2)在AABC中，点“是A3的中点，点N是AC上一点，且网=,，BN与CM相

AC3

交于点E,设方=1,AC=b,试用大B表示通.

11.如图所示，已知D是面积为1的4ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连接DE,

F是线段DE上一点，连接BF,设陋=4筋，AE=%AC,DF=&DE,且

2+2-2=—

‘''2,记△BDF的面积为S=■/■(4,22,4),则s的最大值是()

j_]_j_1

A、2B、3C、4D、8

M为BC上不同于3、C的任意一点，点N满足

AN=2NM,

若AN=xA5+yAC,则Y+9y2的最小值为

3、向量的坐标运算

思考14

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量入J是两个互

相垂直的单位向量，向量a与/的夹角是30°,且㈤=4,以向量八J,为基底，向量a如

何表示？

答a=2y/3i+2J.

思考15已知点/(X1,yi),B(X2,乃)，那么向量诵的坐标是什么？一般地，一个任意向量

的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？

答筋=此一如%—%).任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减

去始点坐标.

(1)向量a=(x,力中间用等号连接，而点的坐标/(x,y)中间没有等号.

(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.

(3)在平面直角坐标系中，符号(x,只可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点

(x,为或向量向,y).

思考16当脐=4属，点户的坐标是什么？

答：原—南+河*南+儿旗=南+4(旗一曲=南+八旗一4加，

.才南+才旗12(11>,(AA\

••°P=i+1=7^7(荀，»)十^7(*2，％)=(^7为，7^7小1+(1^7兹,7^7刁

(X\+^X2Ji+4⑶・/X1+AX2%+

=11+)，1+A\]+x，1+A/

例1.若丽=(2,4),AC=(1,3)，则与前共线的单位向量为.

例2.已知a=(—2,3),6=(3,1),c—(10,—4),试用a,力表示c.

八一A

例3.向量4b,。在正方形网格中的位置如图所不，若。〃£R),求下的

值.

例4.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,-2),求第四个顶点的坐

标.

例5.已知00=(85仇51!16),OQ=(l+sinai+cos6)(Owe<;r),求,0的取值范

围.并指出。为何值时，|用|取得最大值.

例6.已知三点2(1,2),6(2,4),<7(3,而共线，试求"的值.

例7.设向量OA=(l,—2),O6=(a,—l),OC=(—〃,0),其中