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文档简介
第10讲向量的概念和线性运算
知识梳理
1.向量的有关概念
名称定义备注
既有大小又有方向的量;向量的大小叫
向量平面向量是自由向量
做向量的长度(或称模)
零向量长度为零的向量;其方向是任意的记作d
非零向量a的单位向量为土旦
单位向量长度等于1个单位的向量
问
平行向量方向相同或相反的非零向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线6与任一向量平行或共线
共线向量
向量
两向量只有相等或不等,不能比较大
相等向量长度相等且方向相同的向量
小
相反向量长度相等且方向相反的向量6的相反向量为6
2.向量的几何运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
⑴交换律:a+b^b+a
a
结合律:
加法求两个向量和的运算三角形法则(2)
(〃+B)+c=a+0+c).
a
平行四边形法则
求3与6的相反向量一b
—►—►―►―►
减法a—b=a+b)
的和的运算叫做;与石的a
差三角形法则
(1)Ma=Ma;—>—►
⑵当2>0时,儿二的方
—►—►
求实数X与向量7的积的向与二的方向相同;当A(4+〃)
数乘
—►
运算〈0时,儿二的方向与「的a;
方向相反;当才=0时,
几a=0
3.共线向量定理
向量a(aWO)与6共线的充要条件是存在唯一一个实数3使得6=Aa.
例题解析
1、向量的概念
思考1向量与数量有什么联系和区别?向量有哪几种表示?
答联系是向量与数量都是有大小的量;区别是向量有方向且不能比较大小,数量无方向且
能比较大小.向量可以用有向线段表示,也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的
长度表示向量能的大小,也就是向量诵的长度(或称模).记作I诵I有向线段■头表示向量
诵的方向.
思考2向量与有向线段有什么区别?
答向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相
同的向量;有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管
大小和方向相同,也是不同的有向线段.
思考3满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?
答长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与6相等,记作a=6.单位向量不
一定是相等向量.
思考4如果非零向量瀛与杳是共线向量,那么点/、B、a,是否一定共线?
答点4B、a〃不一定共线.
思考5若向量[与了平行(或共线),则向量二与了相等吗?反之,若向量7与花相等,则
向量二与了平行(或共线)吗?向量平行具备传递性吗?
答向量;与了平行(或共线),则向量;与了不一定相等;向量;与了相等,则向量7与工
平行(或共线).
向量的平行不具备传递性,即若a//b,b//c,则未必有a//c,这是因为,当6=0时,
a、c可以是任意向量,但若6W0,必有a〃6,b//a//c.
例1.(2021•浙江高一单元测试)下列说法正确的是()
A.向量通与向量丽是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量点百有£=石,a>B,q<6三种关系
C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D.若两个向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合
例2.(2021•全国高一课时练习)下列命题:(1)零向量没有方向;(2)单位向量都相
等;(3)向量就是有向线段;(4)两向量相等,若起点相同,终点也相同;(5)若四边形
ABCD为平行四边形,则赤=反,前=属.其中正确命题的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
aA
例3.(2021•全国高一课时练习)设B都是非零向量.下列四个条件中,使==b
\a\\b\
成立的条件是()
A.a=—bB.allb
C.a=2bD.)〃%且R=W
例4.(2021•全国高一课时练习)下列关于向量的结论:
(1)若Ia1=1BI,则a=6或a=—b;
(2)向量[与B平行,则[与B的方向相同或相反;
(3)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;
(4)若向量[与B同向,且则
其中正确的序号为()
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)
例5.(2021•全国高一课时练习)下面几个命题:
①若Z=则口=|“;
②若[a|=O,则。=0;
③若a=",则a=6;
④若向量海满足[I,则£=
allb
其中正确命题的是
例6.(2021•江苏高一课时练习)已知四边形ABCD中,AB=-DC,且
2
|A5|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.
例7.(2020•全国高一课时练习)给出下列几种说法:①若非零向量方与5共线,则
d=②若向量值与5同向,且|初>|6|,则万〉B;③若两向量有相同的基线,则两向
量相等;④若1//B,bllc^则7//1其中错误说法的序号是_.
例8.(2020•湖北武汉市♦高一期中)下列命题中正确的有.(填序号)
①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若同=怀则]=在;
③若荏=反,则AB,C,。四点构成平行四边形;
④在口极力中,一定有血=反;
⑤若&=B,b=c'则
⑥若allb,bHe,则allc;
例9.判断下列命题是否正确,并说明理由.
①若aWb,则a一定不与b共线;
②若'崩=&,则/、B、a,四点是平行四边形的四个顶点;
③在平行四边形力6徵中,一定有荔=元;
④若向量a与任一向量6平行,则a=0;
⑤若a=b,b=c,则a=(?;
⑥若a//b,b//c,则2〃。.
例10.如图所示,△/回的三边均不相等,E、F、2分别是4aAB、%的中点.
(1)写出与旗共线的向量;
(2)写出与赤的模大小相等的向量;
⑶写出与而相等的向量.
例11.如图,在平行四边形/四中,。是两对角线/G初的交点,设点集S={4B,C,
D,。},向量集合7={而四NRS,且弘及不重合},试求集合7中元素的个数.
【巩固训练】
1.判断下列命题是否正确,并说明理由.
①若向量a与6同向,且则a>Z);
②若向量国=|引,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
③对于任意㈤=|引,且a与6的方向相同,则a=6;
④向量a与向量6平行,则向量a与6方向相同或相反.
2.如图,设。是正六边形似婀的中心,分别写出图中所示向量与应、0B.应相等的向量.
3.以下命题:①㈤与㈤是否相等与a,6的方向无关;②两个具有公共终点的向量,一定
是共线向量;③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;④单位向量都是共线向
量.其中,正确命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
4.如图,在四边形/成力中,AB=DC,N、〃分别是力久加上的点,且鬲荡.
求证:DN=m.
2、向量的几何运算
思考6向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?
答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别:①三角形法则中强调“首尾相连”,
平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而
平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系:当两个向量不共线时,向量加法的三角
形法则和平行四边形法则是统一的.
思考7|a+b\与1和|引之间的大小关系如何?
答当a与6同向共线时,a+b与a,6同向,且|己+引=|a|+|引.
当a与b反向共线时,若|印〉|引,则a+b与石的方向相同,且|a+引=Ia|—|引;若
\a\<\b\,则a+6与6的方向相同,且|a+引=|引一|a|.
思考8向量减法的三角形法则是什么?
答当把两个向量a,6的始点移到同一点时,它们的差向量a—6可以通过下面的作法得
到:
①连接两个向量(a与加的终点;②差向量a—6的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a—6的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点,连接两终点,
方向指被减”.
思考9一般地,我们规定:实数乂与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记
作,1a,该向量的长度与方向与向量a有什么关系?
答Aa仍然是一个向量.
(1)|^a\=\||a|;(2)儿〉0时,Aa与a方向相同;才〈0时,4a与a方向相反;才=0
时,2a=0.方向任意.
思考10向量等式的证明依据是相等向量的定义,既要证明等式两边的模相等,又要证明
方向相同.你能根据这两条证明X(〃a)=(A〃)a这条运算律吗?
答如果4=0或〃=0或a=0,则①式显然成立;
如果aWO,则由向量数乘的定义有
X(〃a)\=\A\\na\=\^\\n\\a\,
I(X〃)a|=|X〃|||a|,
故"(“a)|=|(X〃)a].
如果4、〃同号,则①式两边向量的方向都与a同向;如果从〃异号,则①式两边向量的
方向都与a反向.
因此,向量/(〃a)与(久〃)a有相等的模和相同的方向,所以4(〃a)=(才〃)a.
思考11如图所示,8,会是两个不共线的向量,试用台,在表示向量诵,CD,EF,GH,~HG,
答通过观察,可得:/夕=2ei+3ez,CD=—ei+4e^EF=4:ei—4e^
GH=-2a~\~3ei,HG=2e「3a,a=~2e\.
思考12在等边三角形/阿中,试写出下面向量的夹角?
a.AB、ACb.AB>CAc.BA、CAd.AB、BA
答a.诵与位的夹角为60°;b.诵与应的夹角为120°;
c.前与方的夹角为60°;d.诵与前的夹角为180°.
例1.如图,在平行四边形/四中,。是〃'和劭的交点.
⑴茄+崩=;⑵五斗而十屈;
&)AB+AD+~CD=;⑷元+应+而=.
例2.在正六边形ABCDEF中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=.
例3.如图所示,在正五边形/况定中,AB^m,BC=n,CD=p,DE^q,EA=r,求作向
量m—p+n—q—r.
口U
例4.已知任意两个非零向量H,b,作物=a+6,OB=a+2b,OC=a+36.试判断2、B、C三
点之间的位置关系,并说明理由.
例5.设ei,a是两个不共线的向量,AB—2e\-\~kez,6s=&+3出CD=2e「色,若4B,D
三点共线,求A的值.
例6.设砺、砺不平行,点尸在AB上o存在实数九〃使得0P=X0A+〃08
且2+〃=1(2,〃eR)
例7.如图,已知△/8C中,,为区的中点,E,广为国的三等分点,若诵=a,AC=b,G是
△/回的重心,⑴用a、b表示蠢、毒、崩、AG.CG.(2)证明ZS+旃+西=0
例8.已知。是线段A3外一点,若砺=£,OB=b.
(1)设点A、&是线段A3的三等分点,△。姐、△。44及的重心依次为
GpG2>G3,试用向量£、B表示*+如+灰£;
(2)如果在线段A5上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.
例9.如图所示,设弘“为内的两点,S.AM=-AB+-AC,AN=-AB+-AC,则△力胡的
面积与的面积之比为
例10.如图所示,。为△回的外心,〃为垂心,求证:OH=OA+OB+~dc.
例n.如图所示,在△力回中,点〃为血的中点,5.AN=^NC,AV与。/相交于点2,设葩
=a,AC=b,试以a,6为基底表示
【巩固训练】
1.设£是平行四边形/的外一点,如图所示,化简下列各式:
⑴庞+为=(2)BE+AB+EA=;
(3)DE+CB+EC=⑷或+无+诙+AE=.
2.在边长为1的正三角形/阿中,|逾一瓦1的值为()
A.1B.2C.坐D.乖
3.a,Z;为非零向量,且|a+b|=|a|+|引,则()
A.a〃b,且a与6方向相同B.a,6是共线向量且方向相反
C.a=bD.a,,无论什么关系均可
4.若。是AABC所在平面内一点,且满足|砺—反卜阿+反—2词,则AABC的形
状为
5.为不共线的向量,设条件“工工([2);条件N:对一切xeR,不等式
a-xb>a-b恒成立.则M是N的条件.
6.设向量以=2a—36,n=4a~2b,p=3a+2b,若用血A表示0,则p=.
7.如图,平面内有三个向量而、血赤其中应与血勺夹角为120。,应与加夹角为30°,
且|应|=|丽=1,|宓=2镜,若宓=4应+“而32GR),则儿+”的值为.
8.已知两个非零向量①和自不共线,如果诵=23+3&,诙=6&+23&,而=4以一8&,求
证:A,B、,三点共线.
9.在平行四边形45cZ?中,AB=a,AD=b,
(1)如图1,如果£,尸分别是比;%的中点,试用a,6分别表示能,DE.
⑵如图2,如果。是/C与物的交点,G是〃。的中点,试用a,6表示4G.
10.如图所示,在平行四边形/四中,点〃是"的中点,点N在物上,且W*ft
求证:M、N、。三点共线.
10.(1)在AQ钻中,点尸、Q分别在Q4、08上,线段尸。过三角形ABO的重心G,
设西=G,OB=b,OP=ma,OQ=nb,试求‘土乌的值.
mn
(2)在AABC中,点“是A3的中点,点N是AC上一点,且网=,,BN与CM相
AC3
交于点E,设方=1,AC=b,试用大B表示通.
11.如图所示,已知D是面积为1的4ABC的边AB上任一点,E是边AC上任一点,连接DE,
F是线段DE上一点,连接BF,设陋=4筋,AE=%AC,DF=&DE,且
2+2-2=—
‘''2,记△BDF的面积为S=■/■(4,22,4),则s的最大值是()
j_]_j_1
A、2B、3C、4D、8
M为BC上不同于3、C的任意一点,点N满足
AN=2NM,
若AN=xA5+yAC,则Y+9y2的最小值为
3、向量的坐标运算
思考14
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如图,向量入J是两个互
相垂直的单位向量,向量a与/的夹角是30°,且㈤=4,以向量八J,为基底,向量a如
何表示?
答a=2y/3i+2J.
思考15已知点/(X1,yi),B(X2,乃),那么向量诵的坐标是什么?一般地,一个任意向量
的坐标如何计算?点的坐标与向量的坐标有何区别?
答筋=此一如%—%).任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减
去始点坐标.
(1)向量a=(x,力中间用等号连接,而点的坐标/(x,y)中间没有等号.
(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时,向量的坐标才与向量终点的坐标相同.
(3)在平面直角坐标系中,符号(x,只可表示一个点,也可表示一个向量,叙述中应指明点
(x,为或向量向,y).
思考16当脐=4属,点户的坐标是什么?
答:原—南+河*南+儿旗=南+4(旗一曲=南+八旗一4加,
.才南+才旗12(11>,(AA\
••°P=i+1=7^7(荀,»)十^7(*2,%)=(^7为,7^7小1+(1^7兹,7^7刁
(X\+^X2Ji+4⑶・/X1+AX2%+
=11+),1+A\]+x,1+A/
例1.若丽=(2,4),AC=(1,3),则与前共线的单位向量为.
例2.已知a=(—2,3),6=(3,1),c—(10,—4),试用a,力表示c.
八一A
例3.向量4b,。在正方形网格中的位置如图所不,若。〃£R),求下的
值.
例4.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,-2),求第四个顶点的坐
标.
例5.已知00=(85仇51!16),OQ=(l+sinai+cos6)(Owe<;r),求,0的取值范
围.并指出。为何值时,|用|取得最大值.
例6.已知三点2(1,2),6(2,4),<7(3,而共线,试求"的值.
例7.设向量OA=(l,—2),O6=(a,—l),OC=(—〃,0),其中
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