六年级下册奥数试题-牛吃草问题（含答案）人教版

1

牛吃草

§3季目混

1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.

2,初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，

牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题

“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间.难点在于随着时间的增长，草也在按

不变的速度均匀生长，所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.

解“牛吃草”问题的主要依据：

①草的每天生长量不变；

②每头牛每天的食草量不变；

③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值

④新生的草量=每天生长量x天数.

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

（2）草的生长速度=（对应牛的头数x较多天数-对应牛的头数x较少天数）十（较多天数-较少天数）；

（3）原来的草量=对应牛的头数x吃的天数-草的生长速度x吃的天数；

（4）吃的天数=原来的草量+（牛的头数-草的生长速度）：

（5）牛的头数=原来的草量+吃的天数+草的生长速度.

，，牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本

质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题.

板块一、一块地的“牛吃草问题”

【例1】青青一牧场，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改养廿三只，九周走他方；

若养二十一，可作几周粮？

（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。

若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了27x6=162份；23头牛吃9周共吃了

23x9=207份.第二种吃法比第一种吃法多吃了207-162=45份草，这45份草是牧场的草

9一6=3周生长出来的，所以每周生长的草量为45+3=15,那么原有草量为：162-6x15=72.

供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72+6=12（周）可将原有牧草吃

―3个星嬴—

<-------------•21头牛？个星期•----------»

【巩固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.供

25头牛可吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了10x20=200份；15头牛吃10天共吃了

15x10=150份.第一种吃法比第二种吃法多吃了200-150=5C份草，这50份草是牧场的草

20-10=10天生长出来的，所以每天生长的草量为50+10=5,那么原有草量为：

200-5x20=100.

供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100+20=5（天）可将原有牧草吃

完，即它可供25头牛吃5天.

【巩固】仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，

如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有

的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？

【解析】设1辆汽车1天运货为"1"，进货速度为（9x4-5x6）+（9-6）=2,原有存货为（4-2）x9=18,仓

库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18+1=18（天）

【例2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头

牛吃18周？

【解析】设1头牛1周的吃草量为"1"，草的生长速度为（23x9-27x6）X9-6）=15,原有草量为

（27-15）x6=72,可供72+18+15=19（头）牛吃18周

【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天.那么它可供几头牛吃

20天?

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么25-10=15天生长的草量为12x25-24x10=60,所以每天

生长的草量为60+15=4;原有草量为：（24-4）x10=200.

20天里，草场共提供草200+4x20=280,可以让280+20=14头牛吃20天.

【巩固】（湖北省“创新杯”）

牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则

头牛96天可以把草吃完.

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为（30x60-70x24）+（60-24）=^,牧

场原有草量为‘0-51x60=1600,要吃96天，需要1600+96+曰=20（头）牛.

【巩固】一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完.假定草的生长量每日相等，每头

牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完？

【解析】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：（50x9-58*7）+（9-7）=22,原有草

量为：50x9-22x9=252,（252+22x6）+6=64（头）

【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果

要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）

【解析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是（21x12-23x9）X12-9）=15,原有的野

果为（23-15）x9=72,如果要4周吃光野果，则需有72+4+15=33只猴子一起吃

【巩固】一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连

续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

【解析】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？20x5=100（台）.

水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？6x15=90（台）.

每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？

（100-90）4-（20-15）=2（台）.

原有的水可供多少台抽水机抽1天？

100-20x2=60（台）.

若6天抽完，共需抽水机多少台？

60+6+2=12（台）.

【例3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的

草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天.照此计算，可以供多少头牛吃10天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：（20x5-15x6）+（6-5）=10,原有

草量为：（20+10）x5=150;10天吃完需要牛的头数是：150+10—10=5（头）.

【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草

可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？

【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少（25x4-16x6）+（6-4）=2;

原来牧场有草（25+2）x4=108,

12天吃完需要牛的头数是：108+12—2=7（头）或（108-12x2）+12=7（头）。

【例4】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算，牧场上的草可供20头牛吃5

天，或可供16头牛吃6天.那么，可供11头牛吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，6书1=天自然减少的草量为20x5—16x6=4,原有草量为：

（20+4）x5=120.

若有11头牛来吃草，每天草减少11+4=15;所以可供11头牛吃120+15=8（天）.

【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草

可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？

【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少（25x4-16x6）+（6-4）=2

原来牧场有草（25+2）*4=108

可供10头牛吃的天数是：108+（10+2）=9（天）。

[例5]一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等

于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊

吃12天相当于20头牛吃12天.那么每天生长的草量为(16x20-20x12)+(20-12)=10,原有

草量为：(16-10)x20=120.

10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去

吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120+15=8天可以把原有草量吃完，即这块草地可供

10头牛和75只羊一起吃8天.

【巩固】(希望杯六年级二试试题)

有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完

(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？

【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1,那么14

头牛30天吃了14x4x30=1680单位草量，而70只羊16天吃了16x70=1120单位草量，所以草

场在每天内增加了(1680—1120)+(30—16)=40草量，原来的草量为1120—40*16=480草量，所

以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过480+(88-40)=10天，可将草吃完。

【巩固】一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。

如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22

头牛的吃草量，所以草的生长速度为(1%24301-2)£24=,原有草量为

(20-1仅)b2,12头牛与88只羊一起吃可以吃120+(12+22-10)=5(天)

【巩固】一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100

只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可

以吃多少天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

16头牛15天16X15=240：原有草量+15天生长的草量

100只羊(25头牛)6天25X6=150:原有草量+6天生长的草量

从上易发现：1天生长的草量=10;那么原有草量：150—10X6=90;

8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有

草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

【例6】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖

掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？

【解析】设1头牛I天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为(17x30-19x24)+(30-24)=9,原有草

量为：(17-9)x30=240.

现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，

那么原有草量需增加4x2=；才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为

(24Q)8+&%(头).

【巩固】一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛

一起吃，还可以再吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为"1"，那么每天生长的草量为（4x40-5x30）+（40-30）=1,原有草量

为：（5-1）x30=120.如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，

此时原有草量还剩120-90=30,而牛的头数变为6,现在就相当于：“原有草量30,每天生长草

量1,那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：30+（6-1）=6（天）.

【例7]一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽;

如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽.已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量.现在

让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？

【解析】设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：

15天马和牛吃草量=原有草量+15天新生长草量……（1）

20天马和羊吃草量=原有草量+20天新生长草量……（2）

30天牛和羊（等于马）吃草量=原有草量+30天新生长草量……⑶

由（1）x2-⑶可得：30天牛吃草量=原有草量，所以：牛每天吃草量=原有草量+30:

由⑶可知，30天羊吃草量=30天新生长草量，所以：羊每天吃草量=每天新生长草量；设马每天

吃的草为3份

将上述结果带入⑵得：原有草量=60,所以牛每天吃草量=2.

这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：

60*2+3）=12（天）.

【巩固】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，

于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，

需多少时间？

【解析】牛、马45天吃了原有445天新长的草①

T•牛、马90天吃了2原有+90天新长的草⑤

马、羊60天吃了原有+60天新长的草②

牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③

马90天吃了原有+90天新长的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长

的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草.

所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草.

现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.

所需时间为1+（，+,）=36天.

9060

所以，牛、羊、马一起吃，需36天.

板块二、多块地的“牛吃草问题”

【例8】东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18

头牛吃16天，或者供27头牛吃8天.在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少

头牛吃6天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上16-8=8天生长的草量为

18x16-27x8=72,即每天生长的草量为72+8=9.那么2000平方米的牧场上原有草量为：

(18-9)x16=144.

则6000平方米的牧场每天生长的草量为9x（6000-2000）=27：原有草量为：

144x（6000-2000）=432.6天里，该牧场共提供牧草432+27x6=594,可以让594+6=99（头）

牛吃6天.

【巩固】有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍.30头牛12天能吃完甲草地

上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草.问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分成面积相等

的3块，那么每块都与乙草地的面积相等.由于30头牛12天能吃完甲草地上的草，相当于每块

上的草由10头牛12天吃完.那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草，20头牛4天

也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为（10x12-20x4）+（12-4）=5,乙草地原有草

量为：（20-5）x4=6（:则甲、乙两块草地每天的新生长草量为5x4=20,原有草量为：

60x4=240.要10天同时吃完两块草地上的草，需要240+10+20=44（头）牛.

【巩固】有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，

或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一

块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

10头牛20天10X20=200：原有草量+20天生长的草量

15头牛10天15X10=150:原有草量+10天生长的草量

从上易发现：1200平方米牧场上20—10=10天生长草量=200—150=50,

即1天生长草量=50+10=5;

那么1200平方米牧场上原有草量：200—5义20=100或150—5X10=100。

则3600平方米的牧场1天生长草量=5X（36004-1200）=15;

原有草量：100X（36004-1200）=300.

75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300・60=5（天）可将原有草吃

完，即它可供75头牛吃5天。

【例9】一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场.三块牧场上的草长得一样密，而且长

得一样快.农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷

的牧场，牛15天可吃完草.问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃

几天？

【解析】（法1）设1头牛1天吃草量为“1”，可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决.

把2公顷牧场分割成2块，每块1公顷，每块可供4头牛吃5天；

把4公顷牧场分割成4块，每块1公顷，每块可供2头牛吃15天.

那么1公顷牧场每天新生长的草量为（2x15-4x，［15-5=,1公顷牧场原有草量为

（4-l）x5=H.那么6公顷牧场每天新生长的草量为1x6=6,原有草量为15x6=90.

8头牛里，若有6头牛去吃每天新生长的草，剩下2头牛需要90+2=45（天）可将原有草吃完，即

它可供8头牛吃45天.

（法2）题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来.

设1头牛1天吃草量为“1”.将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧

场可供48头牛吃5天；羽:8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可

供24头牛吃15天.所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：(24x15-48x5);(15—5)=12,12

公顷牧场原有草量为(48-12)x5=180.那么12公顷牧场可供16头牛吃180+(16—12)=45(天)，

板块三、“牛吃草问题”的变形

【例10】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘

水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

【解析】设1人1小时淘出的水量是“1”,淘水速度是(5x8-10*3)+(8—3)=2,原有水量(10—2)x3=24,

要求2小时淘完，要安排24+2+2=14人淘水

【巩固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；

6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？

【解析】设1人1分钟淘出的水量是“1”，06-3=分钟的进水量为3x40—6x16=24,所以每分钟的

进水量为24+24=1,那么原有水量为：(3-1)x40=80.5人淘水需要80+(5-1)=20(分钟)把

水淘完.

【例11】假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算,地球上的资源可供110亿人生活90年;

或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？

【解析】(90x210—110*90)+(210—90)=75亿人。

【例12】画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如

果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一

个观众到达的时间。

【解析】设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。8:30到9:00共30分钟3个入口共进入3x30=90。

8:30到8:45共15分钟5个人口共进入5x15=75,15分钟到来的人数90-75=15,每分钟到

来15+15=1。8：30以前原有人3x30-1x30=60。所以应排了60+1=60(分钟)，即第一个

来人在7：30

>画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3

个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.求第一个观众到

达的时间.

>如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”,

那么本题就是一个“牛吃草”问题.

♦设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为3x9—5x5=2,即1分钟来的

人为2+4=0.,原有的人为：(3-0.5)x9=226.这些人来到画展，所用时间为

22.5+0.5=45(分).所以第一个观众到达的时间为8点15分.

♦点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观

众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛

吃草”问题了.解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质.

>早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进

站.这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客.现

要求5分钟放完，需设立几个检票口？

>设1个检票口I分钟放进1个单位的旅客.

♦1分钟新来多少个单位的旅客

•（4x15-8*7）X15-7）」

2

♦检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，

•4X15-1X15=52-

22

♦5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客

•521+1x5=55

22

♦设立几个检票口

•55+5=11（个）

在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，

那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面.从站台

到地面有级台阶.

本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：

♦“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈

一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地

面.问：从站台到地面有多少级台阶？”

♦采用牛吃草问题的方法，电梯20-15=5秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：

2x15-1x20=10阶，电梯的速度为10+5=2阶/秒，扶梯长度为20x（l+2）=60（阶）。

两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结

果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？

本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的

增长速度。并且上楼的速度要分成两部分：一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。

♦自动扶梯的速度=（女孩每秒走的梯级X女孩走的时间一男孩每秒走的梯级X男孩走的时

间）4-（女孩走的时间一男孩走的时间）=（2x300-3x100）4-（300-100）=1.5,自动扶梯的

梯级总数=女孩每秒走的梯级X女孩走的时间一自动扶梯的速度X女孩走的时间

♦=2x300-1.5x300-600-450=150（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。

自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒

向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯

共有多少级？

■该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：（50x1-60+3x2）+（60-50）=1。自动扶梯的梯

级总数：50x（1+1）=100（级）

小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3

小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，_

分钟能追上。

本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合.小明在3-1=2小时内走了15*3-35x1=10千米，

那么小明的速度为10+2=5（千米/时），追及距离为（15-5）x3=30（千米）.汽车去追的话需要：

304-（45-5）=-（小时）=45（分钟）.

快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往3地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别

用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人.已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的

速度是多少？

可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人

速度是：（600x14-800*7）+（14—7）=400（米/分），开始相差的路程为：（600-400）x14=2800（米），

所以中速车速度为：2800+8+400=750（米/分）.

有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果

甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，

问：几个小时后甲车追上乙车？

分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草

♦设甲车的速度为“1”，那么乙车5—3=2小时走的路程为2x5—3x3=l,所以乙的速度为

14-2=0.5,追及路程为：（2-0.5）x5=7.5.

♦如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.5+（1-0.5）=15（小时）.

甲、乙、丙三车同时从A地出发到8地去.甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米.有

一辆卡车同时从B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,

求丙车的速度.

相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。

所以卡车速度为：（60x6-48x7）+（7-6）=24（千米/时），全程：（60+24）x6=504（千米），丙车

速度为：504+8-24=39（千米/时）

小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去.小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分

钟16米.在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后

与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度.

■当小新和风间相遇时，正南落后小新6x（20-16）=24（米），依题意知正南和风间走这24米需要

7-6=1（分钟），正南和风间的速度和为：24+1=24（米/分），风间的速度为：24-16=8（米/

分），学校到公园的距离为：24x7=168（米）.所以妮妮的速度为：168+8-8=13（米/分）.

一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则

30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完.问：关

闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？

设一个排水阀1分钟排水量为"1"，那么进水阀1分钟进水量为（1x30-2x10）+（30-10）=0.5,水池

原有水量为（1-0.5）x30=15.关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要15+3=5（分钟）才能排完

水池的水.

一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时，如果打开9

个出水口，9小时可以把水排空.如果打开7个出水口，18小时可以把水排空.如果是一满池水，打

开全部出水口放水，那么经过时分水池刚好被排空.

本题是牛吃草问题的变形.

♦设每个出水口每小时的出水量为1,则进水口每小时的进水量为：（7X18-9X9）4-（18-9）=5,

半池水的量为：（9一5）*9=36,所以一池水的量为72.

♦如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72+（15-5）=72小时，即7小时12

分钟.

北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度

增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，

30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线.根据抗洪形

势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？

>此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1,则水库每小时增加的水量为

(1x30-2x10)4-(30-10)=0.5,原有的水量超过安全线的部分有(1-0.5)x30=15.

如果要用2个小时使水位降至安全线以下，至少需要开15+2+0.5=8个泄洪闸.

【巩固】(“希望杯”五年级二试)有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是

出水管.开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水.后来，想打开出水管，使池内的

水全部排光.如果同时打开8根出水管，贝U3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根出水管，则

需6小时才能排尽池内的水.若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水

管？

【解析】设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为(5x6-8x3)+(6-3)=2,池

内原有水量为(8—2)x3=18.要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时打开18+4.5+2=6根出水管.

【巩固】一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀

的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水

再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出

水管，则需要