数学教学中的反例教学研究

OA基础理论

OB应用研究

OC调查报告

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数学教学中得反例教学研究

二级学院：数学与计算科学学院

专业：数学与应用数学

年级：2009级

学号：2009224721

作者姓名：陈颖

指导教师：梁英讲师

光观日期：2。旧*5R1H

目录

1研究背景.............................................................0

1、1学生得数学学习现状...............................................0

1、2文献评述，研究现状.................................................1

1、3本文得工作.......................................................1

2关于数学反例......................................................1

3开展反例教学得三种典型情况.......................................2

3、1数学概念中得反例教学.............................................2

3、1、1数学概念得易错易混淆性.....................................2

3、1、2数学概念中得典型反例教学...................................3

3、1、3关于数学概念反例教学得作用.................................5

3、2数学性质、定理中得反例教学.......................................5

3、2、1数学得性质、定理教学.......................................5

3、2、2数学性质、定理得典型反例教学...............................5

3、2、3反例有助突出定理、性质得关键词.............................7

3、3数学解题过程中得反例教学.........................................8

3、3、1数学题得求解与反例得构造...................................8

3、3、2构造反例解题得应用举例.....................................8

3、3、3反例在解决问题中得意义....................................12

4小结.............................................................12

4、1数学中反例教学得功能............................................12

42反例教学得注意事

项、、、、、、

16

数学教学中得反例教学研究

作者陈颖指导教师梁英讲师

（湛江师范学院数学与计算科学学院,湛江524048）

摘要:本文从概念教学、定理教学及解题教学三个方面,论述了反例教学得方

法与作用。

关键词:反例；数学教学;概念教学;定理教学;解题教学

StudyontheCounterExamplesinMathematicalTeaching

ChenYing

MathematicsandputationalScienceSchool,ZhanjiangNormalCollege,Zhanjiang,524048China

Abstract:Methodsandeffectofcounterexamplesteachingarediscussedfromconcept

teaching,

theoremteachingandproblemsolvingteaching

KeyWords:counterexample;mathematicalteaching;conceptteaching;theorem

teaching;problemsolvingteaching

1研究背景

我们知道，《全日制数学义务教育课程标准（实验版）》中强调:“能够通过观察、

实验、归纳、类比获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”；“通

过具体例子理解反例得作用，知道利用反例可以证明一个命题就是错误得"，这表

明反例得教学应始终贯穿于教师得教与学生得学得整体过程中.

1、1学生得数学学习现状

学生往往不够重视概念、定理中得条件与关键词,加上部分学生一直习惯被动

学习，又或者学不得法，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背,

赶做作业，乱套题型.同时学生得认知水平与要求掌握得知识能力之间存在矛盾,

倾向“题海战术”与“大运动量”重复训练，结果就是事倍功半，收效甚微.

从心理学角度来瞧,无论处于哪个年龄阶段得学生得自我认知都不够完全清

晰、准确，应试教育得氛围容易导致学生得功利性过强，性格浮躁与对学习得目得

定位有偏.加上社会舆论，学生加强对数学考试分数得重视，忽略基本知识得重要

性与必要性.基于以上原由,开始研究反例在数学教学中作用.

1、2文献评述，研究现状

《高中数理化》2011年第14期得一篇文章“浅谈反例在数学教学中得作用”

⑵主要研究代数方面得反例，强调能够强化学生对知识得理解，培养思维能力与提

高解题速度.该杂志得第80期得一篇文章“浅谈数学反例教学”⑶从精神层面上

评价反例教学:一个错误概念得解决能催人奋进，一个错误判断得落实能使人豁然

开朗，一种错误得推理方法得矫正能使人回味无穷，反例教学犹如黑夜中得星辰，

给人以鼓舞与希望，反例教学恰似大海中得航标灯，照亮学生避免触及知识海洋中

得暗礁，能让师生共同分享到成功得喜悦，终生受益.

《新课程（中旬）》2012年07期“注重数学反例教学培养学生得创新能力”

图一文，研究数学得特性、思想方法与作用，突出培养学生得创新能力.安徽师范大

学得一篇论文《反例得来源与潜在动能》⑸从定义、特殊化与运动变化等方面谈

反例获得得思维过程，说明反例就是进一步提出问题得一个源泉.

1、3本文得工作

本文针对概念与定理、性质得学习，求解问题过程中易错点,利用初高中、大

学数学得典型得反例,对反例在教学中若干应用进行归纳,论述反例在每个阶段、

不同内容得数学学习中得优越性，旨在促使学生重视反例,主动从典型反例量得

积累到构造反例产生质得飞跃,并能够利用反例这一有力武器解决问题.

2关于数学反例

数学反例就是简明有力得否定.一个重要得猜想，数学家费尽方法与精力都

未必能够证明，但就是若有人能够举出一个反例,这个问题便轻易得到解决.例如,

费马数就是以数学家费马命名一组自然数，所有具有形式得素数必然就是费马数,

这些素数称为费马素数.已知得费马素数只有至五个.一百多年后，欧拉否定了这

一猜想，指出当时，有分解式：

与数学反例相关性最强得就是反例教学法.反例教学法脱胎于首创于哈佛大

学得案例教学法山,最早被运用于19世纪后半叶得法律教学中，教师选择个别犯罪

案例进行剖析，让学生学习法学得基本知识与理论，以后被运用于医学、心理学、

管理学等学科研究与教学之中.

反例不就是错误得例子，就是用本身正确得例子,说明其她问题得不正确性.

反例教学比较耗费时间与精力，如果反例庞杂,则教师与学生会为反例得数量与细

节所拖累，造成事倍功半,倘若就是教师信手拈来得几个反例，那么其教学意义就

十分有限，因此，反例必须典型、精制、简炼.

由于平时接触得命题大部分就是真命题,学生得惯性思维就知道想方设法去

证明结论得正确.反例正好能够弥补学生得这一思维缺陷，让学生从另外一个角度

去思考，将苦思冥想不能正面证明得难题，用否定得方式轻而易举地解决.反例能

够打破思维定势，优化认知结构,将难以说清、容易混淆得问题变得通俗易懂，更具

说服力.

学生误认为构造反例就是一件很困难得事情，教师在进行教学时，不能够

仅仅停留在恰当使用反例得层面上，要善于引导学生分析反例、构造反例,实际上

就就是为学生创设探索情境得过程，从而训练学生得创造思维与辩证思维,知道什

么地方该详，什么地方可略,什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过,使学生

对所学得新知识由“懂”到“会”，由“会”到“熟”，“熟”到“活”，由“活”

到“悟”.

通常情况下，反例得构造并不具有唯一性,因而要求学生对命题涉及得概念有

透彻得理解，并能在已获知识基础上，展开充分想象,所以说教师指导学生构造反

例对提高其创造性具有良好诱导作用.

3开展反例教学得三种典型情况

3、1数学概念中得反例教学

3、1、1数学概念得易错易混淆性

数学概念就是人脑对现实对象得数量关系与空间形式得本质特征得一种反

映形式，即一种数学得思维形式.一般来说，数学概念就是运用定义得形式来揭露

其本质特征得，就是数学教学得重要内容，就是推导、运用数学定理与公式得逻辑

基础，就是提高解题能力得大前提.

教育心理学研究表明，人们在获得一个正确认识得过程中，往往要经历正反两

方面得比较与鉴别，才能完整地将新知同化于原有得知识结构中.在课堂教学中,

数学概念一般采用正面阐述得形式，只就是回答了什么情况下“就是”得问题，导

致学生对关键字得理解不够透彻，不能真正理解概念得本质，只就是机械地记住概

念.这样一来，当学生遇到名称相近或结构类似得概念，就容易造成理解与运用上

得混淆.所以，教师要引导与帮助学生回答什么情况下“不就是”得问题，从而抓住

概念得本质，从认知得反方向帮助学生“吃透”概念.

3、1、2数学概念中得典型反例教学

例1如图1,与不就是一组平行线，与

就是一组平行线.

在同一平面内，永不相交得两条直线叫平行线.

在平行线得概念教学中，学生能够主动重视关键词

-“永不相交”，但就是往往忽略另一关键词“在

平面内”，以致不少学生认为与不可能相交，

所以就是平行线.但就是，在平面内，也可瞧作在平面内，在平面内，也可视为在

平面内，明显两线不在同一平面内，则与不平行;此外,与都在平面上，故与平行.因止匕,

通过此例能够加深“在同一平面内”得理解，从而准确把握平行线得概念.

例2异面直线就是指（）.

A、空间中两条不相交得直线.

B、平面内一条直线与平面外一条直线.

C、分别位于两个不同平面内得两条直线.

D、不同在任何一个平面内得两条直线.

在立体几何中关于异面直线得定义：''不同在任何一个平面内得两条直线叫

做异面直线”.学生常常将定义中得“任何”忽略或者理解有偏差,所以本题易错

选A.异面直线概念可用实物粉笔盒或者立体几何图正方体、长方体中得边关系

列举反例，如图1,两线不相交,但就是在同一平面内，即可排除A.一般地，教师在空

间概念教学中可以举出反例加以巩固.

例3不就是函数.

误解:由于，因变量不随得变化而变化，故不就是得函数.

显然，这就是函数概念得考查.不少学生片面地理解为:一个变量随着另一个

变量得变化而变化，它们之间得关系就就是函数关系，题中为定值不变化，就不就

是函数.教科书川指出:一般地，给定非空数集，按照某个对应法则，使得中任一元素,

都有中唯一确定得与之对应，那么从集合到集合得这个对应,叫做从集合到集合得

一个函数.教师应该引导学生认识到:在得定义域内，对每一个给定得值，随总有唯

一确定得值与它对应，只不过在该例子中，当变化时，得值始终不变,始终为1罢了,

集合B只有一个元素，即.

由此,通过所举反例得学习，学生认识到就是得函数，并非一定要求随得变化而

变化，同时学生自觉地体会到:对变量得每一个确定得值，变量有唯一确定得值与

它对应，这才就是构成函数关系得本质.

例4《数学分析》中“函数极限”得反例教学⑼.

定义设在空心领域内有定义.若，总，当时，有

成立，则称就是在时得极限.

反例⑴在处虽然无定义，但.学生能够亲自体会在处无定义，但极限就是存在

得.

反例(2)定义函数

尽管在处有定义，但时无极限.在处有定义，但在处得极限与在处得函数值无

关.

反例⑶在函数极限定义中将改成,就是否有呢？结论就是不成立.用反例加

以说明:令,,，则,，当时，总有

成立，但

定义中首先设在得空心领域内有定义并且，这些都隐含着在就是否存在极

限与在点就是否有定义就是无关得，但就是，学生在理解定义上或在实际应用上,

仍误认为若在点处有极限,那么在处一定有定义，这就是对函数极限定义理解不准

确不全面得表现,就是一种误解.因此，在教学中，可通过以下三个反例向学生认真

分析并指出:定义中条件表明，这说明函数在就是否存在极限与函数在处就是否有

定义无关.

例5《泛函分析》中“完备得度量空间”概念得反例教学

定义设就是度量空间，就是中点列，如果对任意给定得正数，存在正整数，使当

时，必有

则称就是中得柯西点列或基本点列.如果度量空间中每个柯西点列都在中收

敛，那么称就是完备得度量空间.

由定义可知，有理数全体按绝对值距离构成得空间不完备.这就是一个简单且

容易理解得反例.

3、1、3关于数学概念反例教学得作用

数学反例有助于揭示易错得数学概念得本质.数学概念得教学,不仅要运用正

面得例子加以深刻阐明，突出条件与关键词，且要通过合适得反例,从另一个侧面

抓住概念得本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解与掌握该概念

得目得.

3、2数学性质、定理中得反例教学

3、2、1数学得性质、定理教学

心理学研究表明,对一个新事物得理解与运用，只有建立成功得经验与失败得

教训得相互作用下，才能真正理解与灵活运用.在数学中，作为一般得思维形式得

判断与推理，以定理、法则、公式得方式表现出来.在教学过程中，教师往往过于偏

重演释论证得训练,把注意力放在培养学生得逻辑思维能力上，容易导致学生对所

给条件理解不透彻，不能抓住它得本质属性，只就是机械地记忆定理与公式得结构.

忽视反例在定理教学中扮演得重要角色，可能导致一下情况出现:一些“自我感觉

良好”得学生在自学或者做题时，容易忽略甚至无法将数学题中得隐含条件挖掘

出来,不能使题设清晰化、具体化、找出正确得解题思路.

3、2、2数学性质、定理得典型反例教学

例6（辨析题）如图2所示，在正方体中，因为〃」，所以L又就是在平面

内得射影,故，.

事实上，因为〃,，所以

与所成得角为45。,并不垂直.三垂线定理得

内容就是在平面内得一条直线，如果与穿过这个平面得一

条斜线在这个平面内得射影垂直,那么它也与这条斜线图2

垂直.造成上述错误得原因就是学生学习《三垂线定理及逆定理》时,往往忽

视“平面内得一条直线”中''内”得特定条件,忽视了“不在平面内”，用这个反

例来说明定理中“内”字得重要性，使学生得体会尤为深刻.

例7求与:、

误解:由题可得，数列就是首项为，公比为得等比数列.由等比数列求与公

式可得：

(1)

首先,学生容易忽略得情况.当时，原式结果为0.

更普遍得就是，学生在学习了等比数列前项与公式后，在求等比数列前项与时

往往直接应用公式

,(2)

而不考虑公比就是否等于1.因此，在例7中,多数学生都能熟练地套用公式⑵,

得到⑴式，但大多数学生都忽略了公式⑵得限制条件就是，也就就是这种情况也

应另类考虑.

时,{}不就是等比数列;当时，口虽就是等比数列，但=1,因此求与时也不能

套用上面得公式.

这一反例可以促进学生对等比数列分类条件得重视，使学生知道对待每

一个数学问题，必须仔细观察，培养自己敏锐得观察力与丰富得想象力，提高数学

思维得严密性.

例8《高等几何》中仿射不变量性质得反例教学.

由共线三点得简比就是仿射不变量，可

推出线段得中点、三角形得中线与重心均

具有仿射不变性，而两直线得垂直、三角

形得角平分线均不具有仿射不变性.

例如图3,在等腰三角形与非等

腰三角形之间，一定存在一个仿射

使图3

设为中点，则为得平分线且，若为得中点，即，而不就是得平分线且不垂直于.

例9有关《数学分析》中微分中值定理得反例教学.

在讲授微分中值定理时,学生易将其理解为对一切可微函数均有效，其实

它只适应实分析，此时可用如下反例加深学生对微分中值定理得理解.

设,不难知道处处连续而且可微，但找不到一个区间在与之间存在某一个数,

使

,(3)

假定(3)式成立，将上式两边取绝对值得平方可得

故

、

由于没有一个正数，使，因而矛盾，故(3)式不能成立，究其原因就是得值域含有

虚数元不属于定理中得所指实数范围.

例10《离散数学》中哈密顿图判定定理得反例教学［八］.

哈密顿图得判定定理(必要条件)设无向图就是哈密顿图，则对于任意，且，均有

其中为得连通分支数.

图4

问题:图4就是否哈密顿图？

正解:取，则,所以该图不就是哈密顿图.

3、2、3反例有助突出定理、性质得关键词

构造反例能帮助学生牢记关键词，达到正确理解并掌握定理、性质得目得.在

教学中要鼓励学生敢于提出问题，要引导学生在某些定理得条件、结论、某些定

义得适用范围等要敢于猜想，对不就是现成得定理要着眼于发现与创新，自己提出

问题，猜想结果，使反例这一工具得以充分应用，这不仅可以使学生得创新能力得

以提高，同时更有利于学生开展研究性学习,从而有效地提高教学质量.

3、3数学解题过程中得反例教学

3、3、1数学题得求解与反例得构造

盖尔鲍姆所说:“一个数学问题用一个反例来解决，使人兴奋，给人得刺激犹如

一出好得戏剧”.中学得数学结论按命题结构可分为以下三类:充分条件类，必要条

件类，充要条件类.在解题过程中，学生对于前两类结论往往不能准确使用，更严重

得就是无法发现错误所在.此时，应该让学生学会主动地、自主地在反例中讨论、

检验,助其发现问题，分析原因，找到正解.如此一来，不仅能够修正原有得陈述性知

识,而且能够增长其策略性知识.从构建主义上说，这就就是“自我否定”得过程.

扎实得数学基础有赖于反例得构造与使用，同样，构造反例需要调动我们得数

学功底.学生能够理解、分析反例固然重要，但学生就是更加想知道怎样构造反例.

构造反例就是一件富有创造性与挑战性得事情,但就是也有它一定得方法与原则.

当然,反例得构造就是相当灵活得，既需扎实得基本知识、基本技能与基本方法,

更需充分地想象.

3、3、2构造反例解题得应用举例

纵观历年来全国各省中高考数学题、大学考试题,我们可以发现，很多题目我

们从正面都就是可以得到解答,但就是我们更倾向、甚至更自觉地构造反例解题,

因为反例能够简化题目同时提高正确率.此外，在数学学习过程中，学生有时由于

对知识结构掌握不够完善，或缺乏严谨得学习态度，往往会出现在处理题目时想当

然,引起做题出错.所以，开展反例教学，能帮助学生树立严谨得学习态度，养成论证

严密、考虑周到而深刻得学风.反例构建就是猜想、试验、推理等多重并举得一

项综合性创作性活动，下面则以考试真题为例，列举具有代表性得构造反例得情

况.

例11(2002年上海中考题)已知就是得角平分线,，分别就是,得中点，连接、，在不再

连接其它线段得前提下，要使四边形为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以就

是.

正确答案不唯一，可以就是(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7)等等，都就是正解，且容易

证明，不再赘述.但就是部分学生出现以下答案：(1),(2),以下通过列举反例一一判

断就是否正确.

第一种情况错误.反例如下.如图5,在一个圆中任作一条弦(不就是直径)，过点

作圆得一条切线，取得中点,过点作平行于切线交圆于点、，连接、，并延长交切线于

点、，再连接、.

上述四个结论根据显然符合

题意，但因为不就是直径，所以

与不垂直,那么与

也不垂直,即当时，四边

形不一定为菱形.

第二种情况也就是错得，

反例如下：

作一个直角三角形，使，

，在上截取.连接

，再作得平分线交于点，

取得中点，作,交、、

分别于点、、，连接、、，

设,，不妨令,容易得到,,•

根据作图6可知

因此

因为平分，所以

而，则

于就是

又因为，所以四边形为平行四边形、

但就是，当时，因为就是斜边上得中线，故，即.

另一方面，因为，而点与点不重合，所以与不垂直,也就就是四边形不为菱形.

例12若一个二面角得两个半平面分别垂直于另一个二面角得两个半平面，则这

两个二面角得平面角得关系为（）.

A、相等B、互补C、相等或互补D、不确定

本题大部分学生会误选C.但构造具体得立体图形

作为反例,本题答案显而易见.

若构造正方体（图7）,则易发现出

二面角与得

两个半平面分别垂直，但一个二面角得平面角为，

另一个平面角为，通过此反例可知答案为D.

例13（1984年全国高中数学联赛试题）以下命题就土A

证明,否则举出反例.设A,B就是坐标平面上得两个点集,，右XJ丁仕1%都内，则必

有.

例13就是直接列举特殊反例证明其就是假命题.点就是特殊点，因此构造反

例：”

容易瞧出.通常情况下，这个命题不就是“一切情况下均假”，而就是在有得情

况下真，有得情况下假，经过全面考虑所有可能，通过严格验证,把成立得情况排除,

不成立得情况得以挑选出来，从而得到反例.在这种情况下,通常就是由于分类不

全以致以假乱真,所以考虑二分法验证就是有效得.

例14（1995年高考题改编）等差数列，得前项与分别为与，且，求.

误解：

反例检验:当时，故上述解答过程中存在错误.

由于整个解题过程似乎毫无破绽，因此引起学生极大求知欲，促使她们对反例

得作用感到神奇.例14用特殊值检验解题过程，突出反例就是纠错得有力手段.经

过推敲，可知不就是项数得一次函数，而就是关于得缺少常数项得二次函数，即只

能写成得形式，因此可得到正确解法:

2=(,一4=48网-(k＞［(3卅］扪(2左3)i

例15(2006年上海高考理科)在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点.

(1)求证：“如果直线过定点,那么”就是真命题.

(2)写出⑴得逆命题并判断真假，并说明理由.

此处只关注第⑵小题.第二个问题具有明显得探究特点，不妨采取以下思路:

先将条件化简，瞧瞧到最后能否推出直线过定点，如果能得话，可以得到完整证明,

否则，只能观察某个步骤出问题，并找出反例.

解:(2)设直线得方程就是，与抛物线交点为”

则由已知可得：

而，所以

由已知，可得，所以

得

然而,过定点，由此可瞧出:不能得到过定点，所以应该从中寻找反例.不妨从特

殊值入手，考虑，只要即可，所以可以令，这就就是其中一个反例.

例16构造反例在《实变函数》判断题中得应用［⑵.(湛江师范学院某学期期末考

试卷)

(1)无限个完备集得开集仍就是完备集.

解:命题错误.举出以下反例：

因此,不就是完备集，而才就是完备集.

(2)若，则必有.

解:命题错误.例就是中全部有理点，显然,.

3、3、3反例在解决问题中得意义

例11就是开放题,教师通过学生普遍错误得答案指出学生对几何性质得条

件得忽略，例12、13直接列举特殊反例得到结果，例14体现简单反例能够直接推

翻解答题得结果,并促使发现出错得步骤，例15旨在说明从步骤中发现问题有助

于构造所需得特定内容得反例,例16得两道判断题均涉及简单得概念与性质，突

出对大学生自主构造反例得学习要求.让学生学会从反例中总结,从反例中进步.

在运用知识过程中，构造反例提高学生思维缜密性，降低做题错误率，同时培养学

生敢于质疑,勇于探索得数学品质.

4小结

4、1数学中反例教学得功能

(1)反例就是知识转化得工具之一.

为了澄清学习数学中得模糊认识,常常需要从正反两个方面进行探索.反例就

是否定一个命题得最佳途径.在高中数学中，灵活借助反例加深学生对概念中得关

键词与本质特征得认识，强化对概念得理解.通过一些反例帮助学生牢固掌握所学

得数学原理，灵活地设置反例,有时可起到事半功倍，立竿见