2023新高考圆锥曲线解答题6种常考题型训练（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

2023新高考圆锥曲线解答题6种常考题型专题训练

【题型目录】

题型一：圆锥曲线中的弦长面积问题

题型二：圆锥曲线直线圆过定点问题

题型三：圆锥曲线中定值问题

题型四：圆锥曲线中的定直线问题

题型五：圆锥曲线中的存在性问题

题型六：圆锥曲线中的非对称韦达定理问题

【题型总结】

题型一：圆锥曲线中的弦长面积问题

22

【例1】已知椭圆£*■+方=l(“>b>0),片,马分别为左右焦点，点田0,0)"

在椭圆E上.

(1)求椭圆E的离心率;

(2)过左焦点士且不垂直于坐标轴的直线/交椭圆E于A,3两点，若AB的中点为。为

\AB\

原点，直线QM交直线x=-3于点N,求局取最大值时直线/的方程.

W用

【答案】(I)型，(2)y=±(x+2)

【分析】(1)根据椭圆过点的坐标，求出椭圆方程，即可求出椭圆的离心率:

(2)设直线/方程为》=刈*+2)伏工0),3(孙丹)，联立直线与椭圆方程，消

元、列出韦达定理，即可得到AB的中点M的坐标，从而求出直线的方程，即可得到N

的坐标，表示出|AB|、|N耳即可得到瑞？，再根据函数的性质求出最大值;

021

2

(1)解：将［(0,0),P2代入椭圆方程，

223

=1

■J722

解得，一L，所以椭圆E的方程为土+乙=1，

b=>/262

又c=>la2-b1=2,所以e=£=—=--

aT63

(2)解：设直线/方程为［="(*+2)(心0),A&M，3(々，必)，

工+21=1

联立，62可得(3公+1产+12公x+12公—6=0；

y=攵(工+2)

则A=24(幺+1)>0,且为+%=_招，器3

3K十13K十x

设AB的…(")，则/詈=-/"％斗黑+2卜含

・•.M坐标为卜岛，就)，陷=加笔厚2no2+1)

3k2+\

因此直线。M的方程为y=-5x,从而点N为，3,：又耳(―2,0),防=卜/

|ABl224k2(k2+i)

所以扁r双中

令r=3炉+1>1，

。-1)«+2)=16(11169

则硒=8

3r322t2~316

因此当f=4,即％=±1时，〃(。最大值为3.

AB\,、

所以谒的最大值为G，此时，直线/的方程为丁=±(》+2).

【例2】已知椭圆距「+£=1(〃＞力＞0),由E的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为友

的正方形.

(1)求E的方程；

(2)过E的右焦点尸做相互垂直的两条直线4，4，分别和E交点A,B,C,D,若由点A,

B,C,力构成的四边形的面积是与，求4，的方程.

【答案】(1)《+丁=1

2

(2乂与4的方程分别为：x+y-l=0,x-y-\=o

【分析】(1)由题分析可确定〃=&，b=c=\,从而得椭圆的标准方程；

(2)讨论直线斜率是否存在，设直线方程，然后结合椭圆方程，确定交点坐标关系，从而

根据几何性质列式求解即可得直线方程

2

(1)解：由己知，a=yfl»b=c=\,所以E的方程为、■+)；=1・

(2)解:又题意中，尸(1,0),

①若4或4斜率不存在，易知氧边形M.=:|筋118|=；*夜*2&=2=募，不符合题意；

②若//斜率存在，设4：y=«（x-l）,和E的方程联立得:

(l+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,

'/x1+x-1+2公x1x-\+lk2

1

IAB|=J1+A[X]-x2|=Jl+kJ(X|+WJ-4X|W=J)，

设4：y=-：(x-i),同理可得|cr>|=2[0-J),

2a俨+1)2&(公+1)4伏2+1丫

所以加边…，=；加||8|=为16

1+2/-x--+2--2/+5公+2~9

解得公=],h±1,所以/，与右的方程分别为：x+y-l=0,x-y-1=0,

22（/?

【例3】如图，已知椭圆C:5+与=1（。>b>0）的左、右顶点分别是AB,且经过点l,-g

ab

直线/：尤="-1恒过定点尸且交椭圆于。E两点，F为04的中点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）记.①汨的面积为S,求S的最大值.

【答案】⑴“』，⑵乎

【分析】（1）由直线过定点坐标求得。，再由椭圆所过点的坐标求得b得椭圆方程;

（2）设6（与乂）,。（々,必），直线/方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得

2t3

计算弦长|。耳，再求得8到直线/的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值.

（1）由题意可得，直线/：x="-l恒过定点尸（-1,0）,因为/为OA的中点，所以|。4|=2,

即Q=2.

(日2

因为椭圆。经过点I2.2解得。=1,所以椭圆C的方程为

—+/=!.

4

(2)设/玉,x),。(々,%).由卜+*'-=4得(产+4卜2-2"-3=09>0恒成立，

x=ty-\

2t3

则rtlly+y=X%=-^—7，

2r+4r+4

则IED\=.J(y+y2)2-4y%=Vi77.=4y

3

又因为点8到直线/的距离"=

Vi+r

所以T叫弓哼尸6〃+3

t2+4

____6\lt2+3_6m_6

令m=\Jt2+3..x/3‘则/+4根2+11

m-\—

m

因为y=〃2+，"，加之百时，y=1--!>0,丁="2+'在〃2£[6,+00）上单调递增，

mnrm

所以当/«=6时，+=4,时,故Smax='叵.

\771/min32

即s的最大值为当.

【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较

大，属于难题.解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组

消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离,

从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值.

【题型专练】

1.已知椭圆C的左、右焦点分别为斗鸟，离心率为|,过点F?且与X轴垂直的直线与椭圆

C在第一象限交于点P,且死的面积为号.

（1）求椭圆的标准方程；

⑵过点43,0）的直线与y轴正半轴交于点S,与曲线C交于点E,31.X轴，过点S的另

一直线与曲线C交于M,N两点，若S„4=3S-,求MN所在的直线方程.

【答案】⑴土+工=1

95

（2）y=4犬+1或y=-^^x+l.

【分析】（1）根据题意，列方程求解即可;

⑵根据题意，作图可得SA。AEFX,得到点S（O,1）,利用（I，得到篇=|，结合

沁^=3,得到〔SMI=2|网,即SM=-2SN.再设知（玉，乂），N（马,%），则SM=（5,y-1），

,△SEN

SN=（々，必-1），然后联立方程，利用韦达定理进行消参求解即可得到答案

(1)由题意知0=£=1c—=—,

a3a3

又。2=/+。2,.・"2=5，C=2,

.♦•椭圆标准方程为兰+片=1.

95

（2）轴，—2,—

比=3

设5(0,%),则5一二，%=i,即S(O,1),

3

2||SM|.|SA|sinZMSA31sM

..£2.M35

=一=刷=3,

•/钎•,国-QS.SENJsMJS同sinNESN

.••EM=2网,即SM=_2SN，

设〃a，y)，N(w，%)，则SM=(西,X-l)，SN=(W，%-1)，

X,=-2X2.

①当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x=0,此时...图=£丑#2不符合条件.

\SN\V5-1

②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为了=奴+1,

y=Ax+l

联立/得（5+9X*+]8辰-36=0.

----1-----1

95

一18人

%+x

2-5+9公18k

“2=

-36得，'5+9?

后2

-5+9X；=18

%=-2X25+9/

.(18A:V18即18标=5+9/，解得“=土也.

公

'15+9*―5+93

故直线M2V的方程为y=^x+］或y=—@x+l.

2.在平面直角坐标系。不，中，动圆尸与圆G:丁+>2+2*-彳=0内切，且与圆

G：X?+丁—2x+j=0外切，记动圆P的圆心的轨迹为E-

(1)求轨迹后的方程；

⑵不过圆心G且与X轴垂直的直线交轨迹E于A,"两个不同的点，连接AC2交轨迹E于点

B.

(i)若直线MB交x轴于点N,证明：N为一个定点；

(ii)若过圆心C1的直线交轨迹E于2G两个不同的点，且AB_LE>G,求四边形4OBG面

积的最小值.

【答案】⑴^+£=1,(2)(i)证明见解析；(ii)等

4349

【分析】(1)根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心P的轨迹满足椭

圆的定义，进而可求其方程，

(2)联立直线AB与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得8N方程，进而代入韦达定理

即可求出N坐标，根据弦长公式可求A8长度，进而得COR,根据A8,8垂直，即可表示

四边形AO3G的面枳，根据不等式即可求解最值.

(1)设动圆P的半径为R,圆心P的坐标为(x,y)

由题意可知：圆G的圆心为G(—1,0),半径为(；圆G的圆心为。2(1，°)，半径为

.•动圆尸与圆C1内切，且与圆C2外切，

|PCj=--/?

]n|PG|+|PG|=4>|C£|=2

\PC2\=-+R

22

动圆户的圆心的轨迹E是以GC为焦点的椭圆'设其方程为：%+S>b>。）.

其中2a=4,2c=2,/.a=2,h2=3

22

从而轨迹£的方程为：-r4-^=1

43

（2）（i）设直线A8的方程为'=出口一1）伏/。）,4（王,弘）,3（/,%），则"（小一%）

y=k（x-l）

由｛f/可得：（4公+3）d-8G2x+4/-12=°

--=1

43

Sk24F-12

）

/.%+X24k^3'X'Xi=7e73

直线BM的方程为）'+%=94（》-王）,

乙一王

令y=o可得N点的横坐标为：

r一々一为...r-，）（♦-」，r2-（4+々）

可为+%'^（%）+x2-2）Xy+x2-2

c4k2-128公

=4/+345+3=4

8A2

4公+3-

・•.N为一个定点，其坐标为（4,0）

（ii）根据（i）可进•步求得:

2

|AB\=J1+k?\x2-xj=\/\+kx+入）-4中2

'8/T公邓2-12=12（J+1）

=J1+/2x、4犬+3J~~4/+3-4公+3

AB_LDG,.".k，DG=—

k

则入瞿

ABA.DG,

I,,,,i12（公+i）12（公+1）72（二+1『

.••四边形ADBG面积S=■!■ABxOG=Lx—~>-x—~=:,'、，，~-

2111124/+33公+4（4公+3）（3〃+4）

S；72/+）二72t+1『=288

（法）-（4〃+3）（3廿+4）-产+3+3/+4j一语

等号当且仅当4公+3=3r+4时取，即&=±1时，Smin=—

(法二)令22+1=/,.2W0,>1,

「72r7272

3=---------=-----------=--------------

则12产+，一1_，1+]2J1_1Y49

tt\t2)4

iiORR

当泻,即』1时，詈

【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，综合性较强.利用几何法求

轨迹方程时，要多注意图形位置间体现的等量关系，可通过先判断轨迹，再求其方程.直线

与椭圆相交问题，联立方程是常规必备步骤，韦达定理得弦长，求面积或者长度最值时，往

往需要先将其表达出来，再利用不等式或者函数的知识进行求解.

22

3.已知椭圆C：£+亲•=1(“>6>0),圆O：x2+y2+x-3y-2=O,若圆O过椭圆C的左

顶点及右焦点.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点(1,0)作两条相互垂直的直线4，4,分别与椭圆相交于点人B,D,E,试求|他|+|。目

的取值范围.

【答案】⑴[+[=1,(2)[y,7J

【分析】(1)根据圆。过椭圆C的左顶点及右焦点，可求得椭圆的。力，即可求得答案；

(2)当直线《，4中，有一条直线斜率不存在时，此时|他|+|照=7：当直线4,4斜率都

存在时，设直线方程，并和椭圆方程联立，根据根与系数的关系，求得弦长的表达式，结合

换元法，利用二次函数的性质，可求得答案.

⑴圆O：》2+丁+》_3了-2=0与*轴的交点为(-2,0),(1,0),即椭圆C的左顶点及右焦点分

别为(-2,0),(1,0),

故a=2,c=l,故6=石，所以椭圆C的方程为：三+二=1；

43

(2)当直线4，4中,有一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0时,

2方2

弦长分别为竟-=3,2。=4,此时阐+|£>£|=7；

当直线4，%斜率都存在时，设4：x=〃7y+l(，"R0),A(X|,y),8(X2，%)，

可得(3，"2+4)y2+6/ny—9=0,△=36〃/+36(3"5+4)>0,

6m9

芦+%=2'4，

、3m+43m~2+4

--1诏标I…1=标"0+力)2一4)必=等W'

同理|£>E|=U(^+1),

..」网+m=零郎+粤普=%+“84(川+1)2

----7-------------?-----)=

3m~+44〃厂+3(3团2+4)(4疗+3)

令Z=1+l,则re(l,y),

84/84/84

.-.|AB\+\DE\=

(31+1)(41)12产+E—1

148

因为/e(l,+oo),所以尸0,1),.・.|AB|+|DE|e[y,7),

AQ

所以|AB|+|Z)E|的取值范围为

【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及和弦长有关的范围问题，综合性较强，计算量较大，

解答的关键是明确问题的解决思路，即联立直线和椭圆方程，利用弦长公式表示|AB|+|£)E|，

进而结合二次函数解决问题.

题型二：圆锥曲线直线圆过定点问题

【例1】已知点P(Ll)在椭圆C:5+/=l(a>6>0)上，椭圆C的左右焦点分别为「，F”

△核的面积为坐

⑴求椭圆C的方程；

(2)设点A,8在椭圆C上，直线B4,P8均与圆0：》2+产=/(0</<1)相切，记直线心,

P3的斜率分别为尤，k2.

(i)证明：k&=l;

(ii)证明：直线AB过定点.

【答案】⑴三+支=1,(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

33

【分析】(1)利用，+/=1,结合三角形的面积公式，求出〃力，即可求椭圆C的方程.

⑵⑴设直线序的方程为y=《(x-i)+i,直线PB的方程为y=&(xT)+i，由题意可知

\i-lcI

书啥=「，可得左也是方程(1-户)f-2x+l-/=o的两根，利用韦达定理即可证明.

(ii)设直线AB的方程为广"+，”，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合秘2印，可得机与

k的关系式，即可证明直线A8过定点.

⑴解：由题知，*/=1，耳鸟的面积等于:旧周=c=当，

所以"一从=02=|,解得〃=3,〃=|,所以，椭圆C的方程为］+字=1.

（2）（i）设直线B4的方程为》=幻-占+1,

|1—^i|

直线尸8的方程为丫=您X-公+1,由题知力=斗=「，

/+人

所以（1_幻2=/（1+奸），所以（1一产欣2_2尢+1_/=0,

同理，（1一/）盾一2&+1-/=0,

所以占，自是方程（1-/卜2-2》+1-产=0的两根，所以桃2=1.

（ii）设A（2I）,B（%,%）,设直线48的方程为广去+机，

2,2

将丫="+，"代入］+十=1得（1+2/2卜2+4切吠+2加2-3=0,

所以西+再=-£^,①

0/77

所以y+丫2=4（玉+占）+2加=/与工，@

1十乙K

ivr-3k2

y,y,=（%+/??）（fcf+/w）=k2xx+km+%,）+m~④

2y21+2公

又因为桃产叼一中]»「"%、）+%,⑤

%1—1-1（X]—1）（X,-1）X]Xj—（玉+%））+]

将①②③④代入⑤，化简得3d+4km+m2+2m-3=0,

所以弘2+4bn+（m+3）（加-1）=0,所以（m+3%+3）（，〃+&-1）=0,

若加+左一1=0,则直线AB:y="+l—Z=Mx—1）+1,此时A3过点尸，舍去.

若利+3人+3=0,M^AB-.y=kx-3-3k=k（x-3）-3,此时A8恒过点（3,—3）,

所以直线AB过定点（3,-3）.

22

【例2】已知点6（-1,0）是椭圆C：二+与=1（«>/?>0）的左焦点，且椭圆C经过点

a~b

T，|）.过点耳作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点，过点M作直线/：x=T

的垂线，垂足为E.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：直线EN过定点,并求定点的坐标.

【答案】⑴目+$=1,(2)证明见解析；过定点

43V27

_9_

【分析】(1)由/+次一=，解方程组可得答案；

[c=l

(2)设直线MN为x=my-l,刈苍,必)，E(-4,%),联立直线与椭圆方程结合

韦达定理可得直线EN方程，令y=0可得答案.

(1)由题意知福=,所以。=2,而匕=石，故椭圆的标准方程为二+二=1.

c八=\143

⑵由题意小TO),设直线MN：x=my-\,M&M，N(%必)，£㈠，％)，

x=my-I

联立2,整理得(3m2+4)y2_6my_9=o,显然A>0恒成立，

[43

则X+%=，乂％=7^7，易知：-2%，跖=3(%+%)，

3m~+43m~+4

又所以直线EN：》一y=?宁。+4),

w+4*2+4

令y=0,则工=/[认々+4)=,叫必+3)1=4I2(*-)1匚413=5.

y2f%-y22

所以直线EN过定点尸卜今0).

【例3】已知椭圆C：4+4=1(。”>0)的离心率为变，其左、右焦点分别为K，

a2h~2

T为椭圆C上任意一点，△":"面积的最大值为1.

（1）求椭圆c的标准方程；

⑵已知A（o,l）,过点的直线/与椭圆c交于不同的两点M,N,直线AM,AN与X

轴的交点分别为P,Q,证明：以PQ为直径的圆过定点.

【答案】（1）与+丫2=1,（2）证明见解析

C_5/2

~a~~2

【分析】（1）依题意可得尻、=1,即可求出〃、b、c,即可得解；

=/?2+

（2）设直线/的方程为y=fcr+g,"（X，X）,N（%,力）,联立直线与椭圆方程，消元、列

出韦达定理，由直线AM、AN的方程，得到尸、。的坐标，即可得到以PQ为直径的圆的

方程，再令*=0,得到丁=6,即可得解；

（1）解：因为椭圆C的离心率为变，所以£=立.

2a2

又当丁位于上顶点或者下顶点时，△可工面积最大，即庆=1.

又所以。=c=l,a=6>.

所以椭圆C的标准方程为片+丁=1.

2

⑵解：由题知，直线/的斜率存在，所以设直线/的方程为尸区+；,设"（2），N（"2），

将直线/代入椭圆C的方程得:（4公+2）f+4人-3=0,

-AL_3

由韦达定理得：1+》2=4了+2，1*2=4标+2'

y—]y_—]

直线AM的方程为直线AN的方程为+

所以P[二^,0],。(二^7,0

"1))

所以以PQ为直径的圆为（X+言）口+言力+）?=0,

,x2L,

整理得:x2+y2+=0.①

JT

因为

x}x2_x}x2_4X}X2_-12_$

2

(%T)(%T)4kxlx2-2k(x]+x2)+\-12公+8/+4/+2,

令①中的x=0,可得V=6,所以，以尸。为直径的圆过定点（0，土"）.

【题型专练】

1.已知椭圆C:J+£■=1（a>6>0）的离心率为孝，一个焦点后与抛物线/=-4&x的焦

点重合.

（1）求椭圆C的方程；

⑵若直线/：y=H+机交C于A8两点，直线6A与68关于X轴对称，证明：直线/恒过一

定点.

22

【答案】⑴三+二=1;（2）详见解析.

42

【分析】（1）由题可得耳卜亚,0），进而可得a=2,即得；

（2）利用韦达定理法，利用斜率互为相反数得Jl与机的一次关系即得.

（1）由V=_4&x,可得耳.•«=血,又离心率为丰，

；.a=2,从=2,.••椭圆C的方程为三+二=1.

42

y=kx+m

（2）设A（X1,yJ,B（x2,y2）,由-J2,可得（2/+1*+4/成x+2病-4=0,

142

/.A=（4/^）2-4（2fc2+l）（2m2-4）>0,可得病<2+4廿,

%+x,=--,,xx=2!IL__1,由直线F|A与耳8关于x轴对称，

•Ik2+\2k2+1

kF,A+&3=°，即155=0,

11

Xj+A/2X2+V2

y+V2j+y2(%+V5)=(Axt+m)(x2+应)+(g+⑹(玉+拉)=0,

即2kxix2+(血左+机)(玉+/)+2血机=0,

2kx2用；4+@++y/2m=0,

2k2+1I2k2+\)2

可得m=2向,

所以直线/方程为y=k(x+2&),恒过定点(-2立,0).

2.已知P是圆A:(X-1)2+V=16上的动点，M是线段AP上一点，B(-l,0),S.\PM\=\M^

⑴求点M的轨迹C的方程

⑵过A（l,o）的直线4,4分别与轨迹c交于点RE和点尸,G,且。BFG=O,若N,H分别为

。民尸G的中点，求证：直线N"过定点

【答案】（1）『+[=1,（2）直线N”过定点（右0）,证明见解析.

【分析】（1）利用定义法判断出点M的轨迹C为椭圆，求出a、b、c,即可得到方程；（2）

当直线DE的斜率存在且不为0时，可设宜线OE的方程为》=冲+1（〃?#））,用“设而不求法”

表示出•，-汽二），H（上上7得到直线N”的方程，判断出过定点（-0）；

4+3"4+3犷3+4m23+4/7

4

当直线QE的斜率为0或斜率不存在时，宜接求出直线M/的方程，判断出过定点6,0）.

⑴由题意知A（l,0）,|%|=4.因为|尸网=|网,所以

\M/^+\MI^=\MA\+\PM\=\PA[=4>AB\=2.

所以点M的轨迹C是以A,8为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.

1V2

设椭圆C的标准方程为'+2=1（。>6>0）,则a=2,c=l,

crh2

所以〃=片一。2=3,所以点M的轨迹C的方程为目+f=1.

43

⑵因为OE.FG=0，所以/iLL

i.当直线OE的斜率存在且不为0时，可设直线。正的方程为》=冲+1（,/（））,则直线FG的方

程为x=---y+1.

m

联立L：=7丁1；°，得消去X,可得（4+31）/+6my-9=0.

[3x+4y'=12、7

设。（％,>]）,七（工2,>2）'则乂+%='~~'玉+X?=，九（弘+必）+2=~~r，

4+3机~4+36

43m

所以N（・4+3〉)

4+3/n2

同理可求:

-3m3m

*4-4/-4+3疗一4/+37-

4+3/3+4/4_4m4("-1)

4+3m24m2+3

所以直线加的方程为：＞蒜=&(，一房R

7/774

整理得：>=彳许(".’

4

所以直线过定点右,0).

当高4〃?244

-----时，苏=1，直线N"：》=三过定点(三,0).

3+4小77

ii.当直线DE的斜率为0时，易得DE的中点M当O),FG的中点4(1,0)；

当直线£>E的斜率不存在时，易得DE的中点N(l,0),FG的中点”(0,0).

4

所以当直线。石的斜率为0或不存在时，直线N"：y=o过定点(1,()).

4

综上所述：直线NH过定点(1,0).

3.已知椭圆C:二+*■=1(0<%<2)的离心率为立，左顶点和上顶点分别为A、B,

4h-2

⑴求6的值；

(2)点P在椭圆上，求线段8P的长度|BP|的最大值及取最大值时点P的坐标；

⑶不过点A的直线/交椭圆C于M,N两点，记直线/,3,47的斜率分别为％,匕,右，若

M4+右)=1.证明：直线/过定点，并求出定点的坐标.

【答案】(1W=1，(2)忸儿》=迪，尸[土华,一；：，(3)证明见解析，过定点(一3,0)

【分析】(1)易得椭圆的焦点在*轴上，根据椭圆得离心率即可求得匕；

(2)设P(x,y),根据两点得距离公式结合二次函数的性质即可得出答案；

(3)设直线，的方程为y="+s,河(与,乂),%(三,%),与椭圆方程联立，利用韦达定理和

两点间的斜率公式化简4+&，结合灯匕+&)=1，即可求得&与〃，的关系，从而可得出结

论.

(D解：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，则6=]=立，所以所以

2__________

⑵由⑴得椭圆C的方程为:+炉=1,则8(0,1),设P(x,y),则阳=G+(y-l)2,

因为点尸在椭圆上，所以3+丁=1,则f=4-4y2(ye[-l,l]),

则18Pl=+(yT)-=J-3)2-2y+5=J-3[>+；)+,

所以当尸]时，忸PL考,此时…警所以中殍勺

（3）证明:A（-2,0）,设直线/的方程为尸"+，〃，（孙力）,

y=kx+m

2

联立fI,消y得（1+4公）%2+8k叫+4/%2-4=。,则玉+W-8km4/n-4

彳+"T7产中2-1+45

川k+k,=X+）'2=.|+加+也+机=的+加）（/+2）+（也+附（％+2）

2

、'x1+2X2+2xt+2X2+2（X）+2）（X2+2）

,皿»（脑+砌々+2）+（乜+m）（%+2）

因型化+3=1,则k--------------佑+2肛+2）-------------

即2攵I/+（2攵+机）（玉+X2）+4mk=x]x2+2（%+x2）+4,

即（2Z?—1）玉工2+（22+加一2）（玉+工2）+4〃设一4二0,

即（2々2_1）.4〃广一:+（2女+加_2）…-8A"；+4mk—4=0,

I'1+4公I71+4二

即（2二一1）（4加2-4）+（2々+相一2）（—8珈）+（4〃汝一4）（1+4g）=0,

化简得6k2-5km+nr=0,

解得m=2k或m=3k,

乂因直线/不过点A,

所以〃2=3%,

所以直线/得方程为y=h+3Z=Mx+3）,

所以直线/过定点（-3,0）.

4.设椭圆c/+/=l（。>6>0）的离心率为点A为椭圆上一点，RAK的周长为6.

（1）求椭圆C的方程；

⑵设动直线，：丫=丘+相与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.问：x

轴上是否存在定点M,使得以P。为直径的圆恒过定点用？若存在，求出点M的坐标；若

不存在，说明理由.

22

【答案】⑴三+匕=1；⑵存在，”。,0）.

43

【分析】（1）根据椭圆的定义，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式，结合圆的性质进行求解

即可.

（1）由e=g可得a=2c,①耳4工的周长为10,所以耳A+Ag+66=10,

即2s+2c、=6②联立①②得：a=2,c=l,b=yjcr-c2=74^1=^-

・,・椭圆的方程为—+^=1:

43

y=依+机

(2)设点P(x。,%).由.二发_,得(3+4公)-+89+4(>-3)=0,

7+T-

A=(8fon)2-4(3+4巧.4(*-3)=0,化简得4jt2-m2+3=0,

.4km4k3.(4Z:3

P

♦•*0=_彳,22=----，%=一••\---，一,

4k+3mm\mm)

由卜)，=”：，〃，得以4,4+附，假设存在点M(40),

x=4

则MP=(---x—),MQ=(4-X],4k+m),

mvm

・・•以PQ为直径的圆恒过M(%,0)点，，MPMQ=0,

16%4履［12k

BP----+——1-4%+x)2+——+3=0,

mtnm

(45-4)&+k-4占+3=0对任意匕1都成立.

m

f4%-4=0

则一你+3=0,解得西

故存在定点MQ0)符合题意.

题型三：圆锥曲线中定值问题

2-)

【例1】设分别是圆C：1+4=l(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点，MF。与x

ab

轴垂直.直线M6与C的另一个交点为N,且直线MN的斜率为变

4

(1)求椭圆C的离心率.

(2)设。(0,1)是椭圆C的上顶点，过。任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B两点，

过点。作线段AB的垂线，垂足为。，判断在y轴上是否存在定点R,使得IRQI的长度为定

值？并证明你的结论.

【答案】(D变，(2)存在，证明见解析

2

【分析】(1)由题意，表示点”的坐标，根据斜率与倾斜角的关系，可得出44。的等量关

系，再根据“力,。的性质，可得齐次方程，即可得答案；

(2)根据椭圆上顶点的性质，可得6的值，进而得到椭圆的标准方程，设出直线A8的方程，

并联立且消元整理一元二次方程，写韦达定理，根据垂直，解得截距的值，得到直线过定点，

根据圆的性质，直径所对的圆周角为直角，半径为定值，可得圆心便是答案.

(1)由题意知，点M在第一象限.M是C上一点且M心与x轴垂直,

的横坐标为C.当X=c时，y=—,即MC,—.

〃<a）

rrh12

又直线MN的斜率为3，所以‘/八“二ab2叵,

4tan^MF}F2=—=-----=——

2c2ac4

即片=2^QC=/-C2,即c2+^-ac-a2=0，

22

则e?+立e-l=0,解得e=立或e=-&（舍去），即6=也.

222

（2）已知。（0,1）是椭圆的上顶点，则6=1,：£=①,4="+°2,..“=忘，椭圆的方程为

a2

片+y2=i,

2

易得直线AB的斜率必然存在，设直线4?的方程为卜=奴+小4（西,凹）,8（々，%），

由可得（1+2公卜2+4b*+2（“?2_l）=o（*）,

2（/M2-1）

所以为+%=m^,xF2=

\+2k2

又£>4=（%,弘一1）,。8=（工2，%-1），

DA・DB=%”+（凶—1）=%工2+（g+"z-l）（g+利-1）

=（攵2+1）内/+%（m-1）（玉+/）+（6一if

-4km

=代+］）2,2'）+如”1>+（w-l）2-

1+2/

2（病-1）（公+1）-442{nr-帆）+（1+2左2）（〃?-1）。

1+2/

化简整理有3裙-2加-1=0,得”?=