新九年级数学时期讲义第10讲反比例函数-满分班(学生版+解析)

第10讲反比例函数1反比例函数的定义一、反比例函数的定义函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．【例题精选】例1(2023秋•呼兰区期末）下列函数中y是x的反比例函数的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝例2(2023秋•遵化市期末）已知y＝2x2m是反比例函数，则m的值是（）A．m＝ B．m＝﹣ C．m≠0 D．一切实数【随堂练习】1．(2023秋•诸城市期末）若函数y＝m是反比例函数，则m＝_________．2．(2023秋•兴国县期末）已知函数y＝（k+2）x是反比例函数，则k＝_______．3．(2023秋•宜春期末）已知函数是反比例函数，则n的值为_______．2反比例函数的图象与性质反比例函数的图象反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．反比例函数的性质反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．注意：⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．这是由于，即或的缘故．如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．【例题精选】例1(2023•长宁区二模）关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．它的图象关于原点中心对称 D．y的值随着x的值的增大而减小例2(2023•铜仁市一模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象位于二、四象限，则一次函数y＝x+k图象大致是（）A． B． C． D．【随堂练习】1．(2023•普陀区二模）关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（）A．函数的图象在第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．函数的图象与坐标轴没有交点 D．函数的图象关于原点对称2．(2023春•江阴市期中）下列函数：①y＝﹣x；②y＝2x；③y＝；④y＝x2．当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3k的几何意义反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为【例题精选】例1(2023•南岗区模拟）如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是C1和C2．点P在C1上，PC⊥x轴，垂足为点C，与C2相交于点A，PD⊥y轴，垂足为点D，与C2相交于点B，则△PAB的面积为________．例2(2023•井研县一模）如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为________．【随堂练习】1.(2023秋•雨花区校级期末）如图所示，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若S△AOB＝3，则k的值为_______．2．(2023•长丰县一模）如图所示，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k＝________．4反比例函数的实际应用【例题精选】例1(2023秋•涟源市期末）一定质量的二氧化碳，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V＝1.9m3时，ρ＝____________．例2(2023春•吴江区期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当气球内的体积为气体1.6m3时，求气体压强P的值；（3）当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积不小于多少？【随堂练习】1.(2023•北碚区模拟）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）与体积v（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0）其图象如图所示，则k的值为_________．2．(2023春•常熟市期中）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系如图．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若要求在2小时至2.5小时内（包括2小时与2.5小时）装完这批货物，求装货速度的范围．3．(2023•莆田二模）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）与时间x（时）变化的图象，如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．（1）求部分双曲线AB的函数解析式；（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．综合应用一．选择题1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y32．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（）A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（）A．9 B．18 C．25 D．95．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（）A．1 B． C．2 D．3二．解答题6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．（1）求直线的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．（1）求m和一次函数解析式；（2）求△AOB的面积．8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．第10讲反比例函数1反比例函数的定义一、反比例函数的定义函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．【例题精选】例1(2023秋•呼兰区期末）下列函数中y是x的反比例函数的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝分析：根据反比例函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y＝是正比例函数，故A错误；B、y＝不符合反比例函数的定义，故B错误；C、y＝是反比例函数，故C正确；D、y＝不符合反比例函数的定义，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数，形如y＝（k是不等于零的常数）是反比例函数．例2(2023秋•遵化市期末）已知y＝2x2m是反比例函数，则m的值是（）A．m＝ B．m＝﹣ C．m≠0 D．一切实数分析：根据反比例函数的一般式是（k≠0）或y＝kx﹣1（k≠），即可求解．【解答】解：y＝2x2m是反比例函数，则2m＝﹣1，所以．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．【随堂练习】1．(2023秋•诸城市期末）若函数y＝m是反比例函数，则m＝_________．【解答】解：∵函数y＝m是反比例函数，∴m2+3m﹣1＝﹣1，m≠0，解得：m＝﹣3．故答案为：﹣3．2．(2023秋•兴国县期末）已知函数y＝（k+2）x是反比例函数，则k＝_______．【解答】解：∵函数y＝（k+2）x为反比例函数，∴k2﹣5＝﹣1且k+2≠0．解得k＝2．故答案是：2．3．(2023秋•宜春期末）已知函数是反比例函数，则n的值为_______．【解答】解：∵函数是反比例函数，∴n+1≠0且n2﹣2＝﹣1，∴n＝1，故答案为：1．2反比例函数的图象与性质反比例函数的图象反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．反比例函数的性质反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．注意：⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．这是由于，即或的缘故．如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．【例题精选】例1(2023•长宁区二模）关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．它的图象关于原点中心对称 D．y的值随着x的值的增大而减小分析：根据反比例函数y＝和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数y＝，∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A正确；它的图象在第一、三象限，故选项B正确；它的图象关于原点中心对称，故选项C正确；在每个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，故选项D不正确；故选：D．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．例2(2023•铜仁市一模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象位于二、四象限，则一次函数y＝x+k图象大致是（）A． B． C． D．分析：根据正比例函数图象所经过的象限判定k＜0，由此可以推知一次函数y＝x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二、四象限，∴k＜0，∴一次函数y＝x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．观察选项，只有B选项正确．故选：B．【点评】此题考查一次函数，正比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．解题时需要“数形结合”的数学思想．【随堂练习】1．(2023•普陀区二模）关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（）A．函数的图象在第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．函数的图象与坐标轴没有交点 D．函数的图象关于原点对称【解答】解：∵函数y＝﹣，∴该函数的图象在第二、四象限，故选项A正确；在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误；函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；函数的图象关于原点对称，故选项D正确；故选：B．2．(2023春•江阴市期中）下列函数：①y＝﹣x；②y＝2x；③y＝；④y＝x2．当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①y＝﹣x中k＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，正确；②y＝2x中k＞0，y随x的增大而增大，错误；③y＝中k＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确；④y＝x2的对称轴为直线x＝0，开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确；故选：C．3k的几何意义反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为【例题精选】例1(2023•南岗区模拟）如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是C1和C2．点P在C1上，PC⊥x轴，垂足为点C，与C2相交于点A，PD⊥y轴，垂足为点D，与C2相交于点B，则△PAB的面积为________．分析：设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB＝90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：设P的坐标（a，），则A（a，），B（﹣3a，），∴BP＝4a，AP＝，△PAB的面积＝AP•BP＝××4a＝8．故答案为8．【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标．例2(2023•井研县一模）如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为________．分析：先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6t＝2（t﹣2），解得t＝﹣1，k＝﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．【随堂练习】1.(2023秋•雨花区校级期末）如图所示，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若S△AOB＝3，则k的值为_______．【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB＝|k|＝3；又由于函数图象位于一、三象限，则k＝6．故答案为6．2．(2023•长丰县一模）如图所示，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k＝________．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝．∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝2，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝2，∴k＝±4；又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜0．∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．4反比例函数的实际应用【例题精选】例1(2023秋•涟源市期末）一定质量的二氧化碳，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V＝1.9m3时，ρ＝____________．分析：由图象可得k＝9.5，进而得出V＝1.9m3时，ρ的值．【解答】解：设函数关系式为：V＝，由图象可得：V＝5，ρ＝1.9，代入得：k＝5×1.9＝9.5，故V＝，当V＝1.9时，ρ＝5kg/m3．故答案为：5kg/m3．【点评】本题考查的是反比例函数的应用，正确得出k的值是解题关键．例2(2023春•吴江区期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当气球内的体积为气体1.6m3时，求气体压强P的值；（3）当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积不小于多少？分析：（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；（2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p；（3）把P＝200代入得到V即可．【解答】解：（1）设p＝，由题意知120＝，所以k＝96，故p＝；（2）当v＝1.6m3时，p＝＝60，∴气球内气体的气压是60kPa；（3）当p＝150kPa时，v＝＝0.64．所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.64m3．【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．【随堂练习】1.(2023•北碚区模拟）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）与体积v（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0）其图象如图所示，则k的值为_________．【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），设反比例函数为ρ＝，则1.5＝，解得k＝9，故答案为：9．2．(2023春•常熟市期中）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系如图．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若要求在2小时至2.5小时内（包括2小时与2.5小时）装完这批货物，求装货速度的范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式是y＝，400＝，得k＝600，即y与x的函数关系式是y＝；（2）当120≤y≤150时，即120≤≤150，解得4≤x≤5．故如果要在2小时至2.5小时内（包括2小时与2.5小时）装完这批货物，则装货速度至少为每分钟4≤x≤5吨．3．(2023•莆田二模）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）与时间x（时）变化的图象，如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．（1）求部分双曲线AB的函数解析式；（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【解答】解：（1）依题意，直线OA过（，20），则直线OA的解析式为y＝80x，当x＝时，y＝120，即A（，120），设双曲线的解析式为y＝，将点A（，120）代入得：k＝180，∴y＝（x≥）；由y＝得当y＝20时，x＝9，从晚上22：30到第二天早上7：00时间间距为8.5小时，∵8.5＜9，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．综合应用一．选择题1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，∴y1＜y3＜y2．故选：A．2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴xy＝﹣2，∴△OPM的面积S△POA＝|xy|＝1，故选：B．3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（）A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：将点（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，可知函数解析式为y＝﹣，则xy＝﹣2，A、1×2＝2≠﹣2，故本选项错误；B、4×（﹣）＝2，故本选项正确；C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本选项错误；D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本选项错误；故选：B．4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（）A．9 B．18 C．25 D．9【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，设OE＝a，则OD＝2a，DE＝a，∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．∵点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，∴a•a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），解得：a＝3或a＝5．当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，∴a＝5舍去．∴点D（3，3），∴k＝3×3＝9．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（，0），B（0，﹣2）．设C（x，），∵点A为线段BC的中点，∴，解得．故选：C．二．解答题6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．（1）求直线的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，m）．∴m＝2，即A（1，2）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y＝kx+b上，得，解得：，∴直线的解析式为：y＝x+1．（2）设直线AB与y轴交于点C．在