随机变量及其分布单元测试-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布（单元测试）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为eq\f(3,5)，在刮台风的条件下，下大雨的概率为eq\f(9,10)，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(27,50)C.eq\f(9,10)D.eq\f(3,10)2.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为()A.0.0123B.0.0234C.0.0345D.0.04563.设随机变量X的分布如下表，则P(|X－3|＝1)＝()X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)A.eq\f(7,12)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)4.船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是()A.2000元B.2200元C.2400元D.2600元5.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为()A.eq\f(4,27)B.eq\f(8,27)C.eq\f(12,27)D.eq\f(16,27)6.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于()A.eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))B.eq\f(C\o\al(2,10)＋C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))C.eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20)＋C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))D.eq\f(C\o\al(2,10)＋C\o\al(1,20)·C\o\al(1,10)＋C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))7.为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛．某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人．现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()A.P(X＝2)B.P(X≤2)C.P(X＝4)D.P(X≤4)8.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为()A.P(A|B)＝eq\f(PAB,PA)B.P(AB)＝P(A)P(B|A)C.P(B)＝P(A)P(B|A)＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))))D.P(A|B)＝eq\f(PBPA|B,PAPB|A＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－)))))))10.已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是()(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.9973)A.E(X)＝100B.D(X)＝100C.P(X≥90)＝0.84135D.P(X≤120)＝0.998711.有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有()A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B.任取一个零件是次品的概率为0.0525C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为eq\f(3,7)D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为eq\f(3,7)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.从编号为1,2，…，10的10个大小、颜色、材质均相同的球中任取4个，在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________13.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________14.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为________，方差为________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（14分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．16.（15分）已知X的分布列如下：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．17.（16分）《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，18%，22%，22%，18%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩ξ基本服从正态分布N(70，169)．(1)求化学原始成绩在区间(57，96)的人数；(2)以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[71，90]的人数，求事件X≥2的概率．(附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.9973)18.（16分）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．19.（16分）由于新型冠状病毒的影响，某地对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为eq\f(1,6)，第二轮检测不合格的概率为eq\f(1,10)，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出数学期望E(ξ)．参考答案及解析：一、单项选择题1.B解析：设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB．由题得P(A)＝eq\f(3,5)，P(B|A)＝eq\f(9,10)，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝eq\f(9,10)×eq\f(3,5)＝eq\f(27,50)．2.C解析：本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.0345.3.B解析：因为|X－3|＝1，所以X＝2或X＝4，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).4.B解析：出海效益的均值为E(X)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．5.B解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设“申请A片区房源”记为事件A，则P(A)＝eq\f(1,3)，所以“恰有2人申请A片区”的概率为Ceq\o\al(2,4)··＝eq\f(8,27)6.C解析：由题意可知X，Y服从超几何分布，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20),C\o\al(3,30))，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20)＋C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))．故选C．7.C解析：15人中，有7名女生，8名男生，表示选出的10人中有4名女生，6名男生，所以P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15)).8.D解析：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(AB)＝0.2，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.2,0.4)＝0.5．二、多项选择题9.BCD解析：由条件概率公式知A错误；由概率的乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))))，所以P(A|B)＝eq\f(PBPA|B,PB)＝eq\f(PBPA|B,PAPB|A＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－)))))))，故D正确．故选BCD．10.ABC解析：∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴曲线关于x＝100对称，根据题意，可得P(90＜X＜110)≈0.6827，P(80＜X＜120)≈0.9545，∴P(X≥90)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.6827＝0.84135，故C正确；P(X≤120)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725，故D错误．而A，B都正确．故选ABC．11.BD解析：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，A：任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故错误；B：任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝6%×25%＋5%×75%＝5.25%，故正确；C：如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)＝eq\f(PAB2,PA)＝eq\f(5%×30%,5.25%)＝eq\f(2,7)，故错误；D：如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)＝eq\f(PAB3,PA)＝eq\f(5%×45%,5.25%)＝eq\f(3,7)，故正确．三、填空题12.答案：eq\f(1,14)解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意，知P(A)＝eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(4,10))，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14).13.答案：0.4解析：依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝5.4，))解得y＝0.4．14.答案：60，96解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X．由题知X～B(25，0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96．四、解答题15.解：(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因为57.6＞54.4，即E(Y)＞E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．16.解：(1)由分布列的性质，知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，故a＝eq\f(1,4)，从而X2的分布列为X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)(2)法一(直接法)：由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)．故X的方差D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16)．法二(公式法)：由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，X2的均值E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝eq\f(11,16)．(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．17.解：(1)∵化学原始成绩ξ～N(70，132)，∴P(57<ξ<96)＝P(57<ξ<70)＋P(70≤ξ<96)＝eq\f(1,2)P(70－13<ξ<70＋13)＋eq\f(1,2)P(70－2×13≤ξ<70＋2×13)≈eq\f(0.6827,2)＋eq\f(0.9545,2)＝0.8186．∴化学原始成绩在(57，96)的人数为2000×0.8186≈1637(人)．(2)∵以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，且等级成绩在区间[71，80]、[81，90]的人数所占比例分别为18%、7%，则随机抽取1人，其等级成绩在区间[71，90]内的概率为eq\f(1,4)．∴从全省考生中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4)＋Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,32)．18.解：设