新八年级数学讲义第10讲分式的运算-提高班(学生版+解析)

第10讲分式的运算分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.⑴先把除法变为乘法；⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．分式的乘法分式的除法分式的乘方【例题精选】例1计算：（1）；（2）（a2﹣a）÷；（3）÷；（4）．例2(2023春•新野县期中）化简：（）2÷（）•（）3【随堂练习】1．(2023春•成都期末）计算（）3÷的结果是（）A． B．y2 C．y4 D．x2y22．(2023•漳浦县一模）下列计算正确的是（）A．x3•x3＝x9 B．x6÷x2＝x3 C． D．a2b﹣2ba2＝﹣a2b3．(2023秋•蓝山县期末）计算•的结果是（）A． B．﹣ C．y D．x分式的加减⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。⑵异分母分式加减法则：运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母；③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．同分母分式相加减异分母分式相加减0指数幂负整数指数幂（，为正整数）【例题精选】例1(2023秋•通州区期中）计算：．例2(2023•鼓楼区一模）计算．【随堂练习】1．(2023•滨海新区一模）计算的结果是（）A．3 B．3x﹣3 C． D．2．(2023•历下区校级模拟）化简﹣x+1，得（）A．﹣ B．﹣ C．2﹣x2 D．分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.【例题精选】例1(2023•丹江口市模拟）化简：例2(2023•南岸区自主招生）计算：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；（2）（a+1﹣）．【随堂练习】1．(2023春•玄武区校级期中）计算（1）﹣a+1（2）分式的化简求值【例题精选】例1(2023秋•郯城县期末）先化简：÷（﹣），再从﹣3＜x＜2的范围内选取一个你最喜欢的整数代入，求值．例2(2023秋•南关区校级期末）先化简：÷再从﹣1，0，1中选取一个数并代入求值．【随堂练习】1．(2023秋•连山区期末）先化简，再求值，其中x＝5．2．(2023秋•浦东新区期末）先化简，再求值：，其中x＝3．3．(2023秋•宁都县期末）先化简，再求值：，其中x＝﹣．综合应用1．准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为（1）求被墨水污染的部分；（2）原分式的值等于1吗？为什么？2．先化简，再求值：+÷，其中a＝．3．先化简，再求值：﹣（1﹣），其中x＝2，y＝．4．（1）计算：（﹣2019）（﹣）2．（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．第10讲分式的运算分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.⑴先把除法变为乘法；⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．分式的乘法分式的除法分式的乘方【例题精选】例1计算：（1）；（2）（a2﹣a）÷；（3）÷；（4）．分析：根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝．（2）原式＝a（a﹣1）•＝a2﹣2a+1．（3）原式＝•＝y（x﹣1）＝xy﹣y．（4）原式＝•＝．【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．例2(2023春•新野县期中）化简：（）2÷（）•（）3分析：先把除法变成乘法，再去掉括号，然后根据分式的乘法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：（）2÷（）•（）3＝（）2••（）3＝••＝﹣．【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键，是一道常考题．【随堂练习】1．(2023春•成都期末）计算（）3÷的结果是（）A． B．y2 C．y4 D．x2y2【解答】解：原式＝•＝y2，故选：B．2．(2023•漳浦县一模）下列计算正确的是（）A．x3•x3＝x9 B．x6÷x2＝x3 C． D．a2b﹣2ba2＝﹣a2b【解答】解：（A）原式＝x6，故A错误．（B）原式＝x4，故B错误．（C）原式＝，故C错误．故选：D．3．(2023秋•蓝山县期末）计算•的结果是（）A． B．﹣ C．y D．x【解答】解：原式＝．故选：A．分式的加减⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。⑵异分母分式加减法则：运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母；③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．同分母分式相加减异分母分式相加减0指数幂负整数指数幂（，为正整数）【例题精选】例1(2023秋•通州区期中）计算：．分析：根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝m+3【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．例2(2023•鼓楼区一模）计算．分析：根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分是解答本题的关键．【随堂练习】1．(2023•滨海新区一模）计算的结果是（）A．3 B．3x﹣3 C． D．【解答】解：＝＝＝；故选：D．2．(2023•历下区校级模拟）化简﹣x+1，得（）A．﹣ B．﹣ C．2﹣x2 D．【解答】解：﹣x+1＝﹣（x﹣1）＝﹣＝故选：D．分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.【例题精选】例1(2023•丹江口市模拟）化简：分析：根据分式的减法和除法可以解答本题．【解答】解：＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．例2(2023•南岸区自主招生）计算：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；（2）（a+1﹣）．分析：（1）直接利用多项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；（2）直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2＝x2﹣xy﹣2y2+x2﹣2xy+y2＝2x2﹣3xy﹣y2；（2）（a+1﹣）＝[﹣]•＝．＝．【点评】此题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【随堂练习】1．(2023春•玄武区校级期中）计算（1）﹣a+1（2）【解答】解：（1）﹣a+1＝﹣（a﹣1）＝＝＝；（2）＝＝．分式的化简求值【例题精选】例1(2023秋•郯城县期末）先化简：÷（﹣），再从﹣3＜x＜2的范围内选取一个你最喜欢的整数代入，求值．分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝÷＝•＝，∵x≠±1且x≠0，∴取x＝﹣2，则原式＝＝﹣．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．例2(2023秋•南关区校级期末）先化简：÷再从﹣1，0，1中选取一个数并代入求值．分析：直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝﹣1，1时，无意义，故a＝0，则原式＝1．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．【随堂练习】1．(2023秋•连山区期末）先化简，再求值，其中x＝5．【解答】解：原式＝（﹣）×＝×＝，当x＝5时，原式＝．2．(2023秋•浦东新区期末）先化简，再求值：，其中x＝3．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣．3．(2023秋•宁都县期末）先化简，再求值：，其中x＝﹣．【解答】解：原式＝•＝﹣，当x＝﹣时，原式＝﹣＝．综合应用1．准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为（1）求被墨水污染的部分；（2）原分式的值等于1吗？为什么？【解答】解：（1）÷＝•（x﹣3）＝，∴被墨水污染的部分为x﹣4；（2）原式＝＝4，∴x＝4，由于÷＝•∴x＝4时，此时无意义．2．先化简，再求值：+÷，其中a＝．【解答】解：+÷＝+•＝+＝，当a＝时