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精品课程教案第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程1.定义：形如的微分方程称为一阶线性微分方程特点：它对于未知函数及其一阶导数都是一次方程.例如，，都是一阶线性微分方程；而，不是一阶线性微分方程.一阶线性微分方程又分为两类：一阶线性非齐次微分方程（1）一阶线性齐次微分方程（2）方程（2）称为方程（1）所对应的齐次线性微分方程.2.解法我们先求一阶线性齐次微分方程（2）的通解.该方程也是变量可分离的微分方程，分离变量得两边积分得，即（）为所求一阶线性齐次微分方程（2）的通解.下面我们用常数变易法来求一阶线性非齐次微分方程（1）的通解.由于一阶线性非齐次微分方程（1）与它所对应的一阶线性齐次微分方程（2）的左端相同，故其解有一定的关系.设是方程（1）的一个解，则有由于是的函数，所以也是的函数，两边积分得即显然是的函数，所以也是的函数，我们将其记为则（3）其形式类似于一阶线性齐次微分方程（2）的通解，不同的是一阶线性齐次微分方程（2）的通解中前是常数，而（3）式中是待定函数，可看作是将常数变为函数所得，这种方法称为常数变易法.设为一阶线性非齐次微分方程（1）的解，则将、代入方程（1），得即，从而，故一阶线性非齐次微分方程（1）的通解为这就是一阶线性非齐次微分方程（1）的求解公式.例1求解解，例2求解解例3求解满足的特解解将代入上式得，所求特解为例4求解解将看为自变量，为的函数，该方程不是一阶线性微分方程但该方程可化为即以为自变量，为的函数，这就是一阶线性非齐次微分方程例5求解解原方程化为为一阶线性非齐次微分方程二、伯努利方程形如（的微分方程称为伯努利方程.方程两边除以，得而，因此，我们作变量代换，令，则，原方程可化为一阶线性非齐次微分方程由一阶线性非齐次微分方程的求解公式求出，再将代回即得原方程的通解.例6求解解两边除以得：令，则，即代入原方程得即即例7求解解两边除以得

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