高二数学下第八讲导数的应用(学案)

第八讲 导数的应用一．课时目标1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系；2.能够利用导数研究函数的单调性；.会求函数的单调区间.3.理解极值的有关概念．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．4.会用导数求函数的极大值和极小值.5.能够区分极值与最值两个不同的概念．6.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).二．重点难点1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点).3.利用导数求函数的极大值、极小值．(重点)4.导数等于0的点与极值点的关系．(易混点)5.有关函数的最值问题．(重点),6.最值与函数的极值．(易混点)三．知识梳理1．函数的单调性：在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.则有：f′(x)≥0⇔f(x)为f′(x)≤0⇔f(x)为2．函数的极值：(1)判断f(x0)是极值的方法，一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧，右侧，那 么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧， 那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程的根；③检查f′(x)在方程的根左右值的符号．如果 左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.3．函数的最值：(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的；②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．生活中的优化问题：解决优化问题的基本思路是：eq\x(优化问题)eq\x(用函数表示数学问题)优化问题答案eq\x(用导数解决数学问题)四正本清源1．f′(x)>0在(，b)上成立是f(x)在(，b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(，b)内可导的函数f(x)在(，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定．五．典例分析题型一函数的单调性与导数 例1已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．思维启迪：(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间；(2)转化为恒成立问题，求a.探究提高在区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件而不是必要条件，如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数取值范围时，要特别注意“＝”是否可以取到．变式训练1已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围题型二函数的极值与导数例2(2010·全国)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．思维启迪(1)单调区间即为f′(x)>0，f′(x)<0的解区间．(2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个．探究提高(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)本题的易错点为不对1－a2讨论，致使解答不全面．变式训练2设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．(1)求b、c的值；(2)求g(x)的单调区间与极值．题型三函数的最值与导数例3已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．思维启迪：先求函数的极值，然后再与端点值进行比较确定最值．探究提高在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．变式训练3已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．题型四生活中的优化问题例4某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(2)年销售量关于x的函数为s＝3240eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋\f(5,3)))，则当x为何值时,本年度的年利润最大？最大利润为多少？思维启迪：(1)建立本年度的利润函数解析式，构造不等式求解．(2)建立本年度利润的函数解析式，运用导数研究最大值．探究提高利用导数解决生活中的优化问题时：(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间．(2)一定要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去．(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．变式训练4用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？六，课后小结：方法与技巧：1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范：1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识．七家庭作业1.（2011年福建文高考题10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于A．2 B．3 C．6 D．92，（2011年辽宁理高考题11）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）3，（2011年山东理高考题9）函数的图象大致是0.51xyO0.54.(2011年安徽文0.51xyO0.5区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是（A）1(B)2(C)3(D)45.（2011年广东理高考题12）函数在处取得极小值.6.（2011年安徽理高考题16）设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。7，（2011年北京理高考题18）已知函数.(1)求的单调区间；8.（2011年北京文高考题18）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值。答案例1解(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a， 当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞)．(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]．变式训练1解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－eq\r(2)<x<eq\r(2).∴a＝2时，函数f(x)的单调递增区间是(－eq\r(2)，eq\r(2))．(2)∵函数f()在(－1,1)上单调递增，∴f′()≥0对∈(－1,1)都成立．∵f′()＝(－2＋)ex＋(－2＋)ex＝[－2＋(－2)＋]ex，∴[－2＋(－2)＋]ex≥0对∈(－1,1)都成立．∵ex>0，∴－2＋(－2)＋≥0对∈(－1,1)都成立．即a≥eq\f(x2＋2x,x＋1)＝eq\f(x＋12－1,x＋1)＝x＋1－eq\f(1,x＋1)对x∈(－1,1)都成立．令y＝x＋1－eq\f(1,x＋1)，则y′＝1＋eq\f(1,x＋12)>0∴y＝x＋1－eq\f(1,x＋1)在(－1,1)上单调递增．∴y<1＋1－eq\f(1,1＋1)＝eq\f(3,2)，∴a≥eq\f(3,2).，即a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).例2解(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋eq\r(3))(x－2－eq\r(3))．当x∈(－∞，2－eq\r(3))时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－eq\r(3))上单调递增；当x∈(2－eq\r(3)，2＋eq\r(3))时，f′(x)<0，f(x)在(2－eq\r(3)，2＋eq\r(3))上单调递减；当x∈(2＋eq\r(3)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋eq\r(3)，＋∞)上单调递增．综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－eq\r(3))和(2＋eq\r(3)，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－eq\r(3)，2＋eq\r(3))．(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a2<0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－eq\r(a2－1)，x2＝a＋eq\r(a2－1).由题意，知2<a－eq\r(a2－1)<3，①或2<a＋eq\r(a2－1)<3，②①无解，②的解为eq\f(5,4)<a<eq\f(5,3)，因此a的取值范围为(eq\f(5,4)，eq\f(5,3))．变式训练2解(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c，由题意得g(0)＝0，∴c＝0，由奇函数的定义得b＝3.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－eq\r(2))和(eq\r(2)，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间；(－eq\r(2)，eq\r(2))是函数g(x)的单调递减区间．∴g(x)在x＝－eq\r(2)时取得极大值，极大值为4eq\r(2)，g(x)在x＝eq\r(2)时取得极小值，极小值为－4eq\r(2).例3解(1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2ax(2)因为f′(－1)＝0，所以a＝eq\f(1,2)，有f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.令f′(x)＝0，则x＝eq\f(4,3)或x＝－1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝－eq\f(50,27)，f(－1)＝eq\f(9,2)，f(－2)＝0，f(2)＝0，所以f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值分别为eq\f(9,2)、－eq\f(50,27).变式训练3解显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．(1)当ax0(0,2)＋0－f(x)极大值 ∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(0)＝3，∴b＝3.又f(－1)＝－7a＋3>f(2)＝－16∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2.(2)当ax0(0,2)－0＋f(x)极小值∴当x＝0时，f(x)取得最小值，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29<f(2)＝－16∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.综上，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－29.))例4解(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)万元；本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)万元；本年度年销售量为5000×(1＋0.4x)辆．因此本年度的利润为y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0<x<1)．由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0<x<eq\f(5,6)，所以要使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例的范围为0<x<eq\f(5,6).(2)本年度的利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋\f(5,3)))＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)．则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)．由f′(x)＝0，解得x＝eq\f(5,9)或x＝3(舍去)．当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9)))时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)，1))时，f′(x)<0，f(x)是减函数，∴当x＝eq\f(5,9)时，f(x)取得最大值，最大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))＝20000.∴当x＝eq\f(5,9)时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．变式训练4解设长方体的宽为x(m)，则长为2x(