2024山西省阳泉市高三下学期三模数学试题及答案

秘密★启用前注意事项：2024年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题数学1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．4．考试时间120分钟，满分150分．8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只1,xlog2(，则集合M与集合P的关系是（Pyye|xMxy|）1．设集合A．MPB．PMC．MPD．PM2．已知2i是实系数方程A．9B．13．已知p:xa,qx2a3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（x2pxq0的一个复数根，则pq（）C．1D．9）A．(,B．(,C．)D．)tan5a94a中，7是函数f(x)sin2x）n63A．B．3C．3D．33a25．已知非零向量a,b满足|ab|ab|，且b与a上的投影向量为a，则（）3b123A．B．C．2D．32x22226．已知双曲线C:ab0)的左、右焦点分别为F,F，双曲线的右支上有一点,与121abπ双曲线的左支交于点B，线段的中点为M，且满足，若FAF，则双曲线C的离22123心率为（）A．2B．6C．7D．137a,b,m(m0)a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为ab(m)．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9mod6)aC022C1222C22222C22222,ab(mod10)b22）A．2019B．2020C．2021D．20228ABCDABCD的棱长为PCDPBCD外接球半径的取111111值范围为（）72144414A．,3B．,3C．,2D．,343小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09C:x2y(4,aB(4,a)C上仅存在一点P使PAPBa的取值可以2是（）A．2B．3C．4D．5110P()P(B)PC)A与B相互独立，A与C）323A．P(AB)B．PC|)2P(A|C)1C．PC|AB)1D．若PC|B)PC|B)，则B与C互斥2f(x)f(y)111．已知定义在(,0))上的函数f(x)满足f(xy)，则（）yxA．f(x)是奇函数C．f(x)是偶函数B．f(x)在(,0)上单调递减D．f(x)在)在上单调递增3小题，每小题5分，共15分）π15πx，则sinx______．12．已知434an13a的前n项和为SnSn2n2的前100项和T100______．na1an2nxf(x)x4xm4m1恰有3个零点，则m的取值范围是______．214．已知函数35个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1513,B,C,D22，测得30,BCD45,120．（1B,D2km，CD20km,C两点间距离；（2）求tan的值．1615BABA比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况整理成如下22列联表：甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场未上场合计4045342（1）完成22列联表，并依据小概率值0.01的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时、打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7,0.6．（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；（ii0.01）n(adbc)2附：x2,nabcd．(ab)(cd)(acbd)0.150.102.7060.050.0255.0240.0106.6350.0012.0723.84110.8281715分）在三棱柱ABCABC中，四边形BCCB是菱形，是等边三角形，点M是11111线段AB的中点，ABB160．（1）证明：BC平面；11（2）若平面ABBA平面，求直线BC与平面AMC所成角的正弦值．111111817分）设函数f(x)(xxk(x（1）当x1时，f(x)0恒成立，求k的最大值；111122（2）证明：对任意正整数n，不等式．2n12(n12n52(2n11917分）已知圆O:x2y2B(0),C0)．点M在圆O上，延长CM到A，使|CM|MA|，点P在线段AB上，满足(PAPC)AC0．（1）求点P的轨迹E的方程；（2Q点在直线x1上运动，D(0),D(2,0)QD与轨迹E分别交于G,H1212所在直线恒过定点。机密★启用前2024年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题高三数学参考答案和评分标准5分，共40分）题号选项12345678CAADBCAD5分，共20分）题号选项910BCD11BDAB5分，共20分13．或14．(0)(0,4)2100121006小题，共70分）CDBD151）在△BCD中，由正弦定理得，sinCBDsinBCD20sinCBDsin45解得sinCBD1，102即，△BCD为等腰直角三角形，2，则2240．在△ACD中，由余弦定理得12ADCDcosADC160040024020AC2AD2CD22800，2故207．故,C两点间距离为7．（2）设BDC，则由题意可知，120,30．BDAD在△中，由正弦定理得，，sinBADsinABDAD即，2sin30BDBCBD在△BCD中，由正弦定理得sinBDCsinBCDBC即2sin，BD又22BC,2sin30222sin13cossin2sin，224343tantanBDC．1313161）根据题意，可得22的列联表：甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜402负5上场未上场合计455342850零假设H0：球队的胜负与甲球员是否上场无关n(adbc)250(40352)428455228.0036.635此时(ab)(cd)(acbd)根据小概率值0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关．（2）由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3、0.5、，相应球队赢球的概率分别为、0.8、．（i）设事件A：甲球员上场打前锋，事件B：甲球员上场打中锋，事件C：甲球员上场打后卫，事件D：球队赢球，则P()P(B)PC)0.2．P(D|)0.7,P(D|B)P(D|C)0.6．当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：P(D)P()P(D|)P(B)P(D|B)PC)P(D|C)0.30.70.50.80.20.60.73.（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，甲球员打中锋的概率为：P(BD)P(B)P(D|B)0.50.8P(B|D)0.55P(D)P(D)0.73故当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，甲球员打中锋的概率约为0.55．171）设与BC交点为N，连接AB,AN．111四边形BCCB是菱形，11BC,BBBC,N是BC的中点．1111在△中，BBAB,ABB60111△是等边三角形，ABAB．11在ACB中，AC,N是BC的中点，BC．1111（4分）又BCBC,ANBCN,AN,BC平面，11111BC平面．11（2）连接1M，△是等边三角形，M是线段AB的中点，BM．11平面ABBA平面，平面平面AAB,BM平面A，11111111M平面．以M为原点，、MC所在直线分别为x轴、y轴如图建立空间直角坐标系，不妨设2，则M(0,0,0)，(0)，B0)，C3,0)，A(3)，B(0,3)，11于是(3),(0,3)，11(3,0),BC3,3),1BCBC(3,3)11111nMA01设平面AMC的法向量为n(x,y,z)，则，11nMC012x3z0即，x3y3z0令x3，得yz2，平面AMC的一个法向量为n(3,2)．11设直线BC与平面AMC所成角大小为，111BCnBC|n|33314341则sin，3313故直线BC与平面AMC所成角的正弦值为．1114x1x1181）由已知得，f(x)xk，设g(x)xkxx1x(x11x1则g(x)xg(x)0总成立，2xx2xx2xf(x)在)上递增，f(x)f2k，当2k0即k2时，可知f(x)0总成立，f(x)在)上递增，f(x)f0总成立，故k2满足题意．11当k2时，f(x)2kfe,kekk110kekef(x)在)上递增，存在xe使得fx0，k00由f(x)0得1xx，由f(x)0得xxf(x)在x上递减，000此时，f(x)f0，显然与题意矛盾，k2不合题意．综上，k2为所求．（2）由（1）可得当x1，且k2时，f(x)(xx2(x0恒成立．1x1x1x，2n1nN*，当且仅当x1时等号成立，令xnn1111n11nn1则，2n2n1n11111n1n2n12n2n12n12n32n52n(2n2n1n1n2nn12n2．22n12111122故．2n12n32n54n1191(PAPC)(PAPC)()0，22|PA||，|CM|M为AC的中点，1O为BC的中点，|||4，2则|PB||PC|PB||PA|AB4|BC|，点P的轨迹是以B,C为焦点的椭圆，而2213，2x2y2点P的轨迹E的方程为1；43（2）由（1）得D(0),D(2,0)是椭圆E的左右顶点，12设Qy,Gx,y,Hx,y，20112由Q,G,D三点共线，得DQ∥DG，而DQy,DGx1，11111013131yx2,y0，01212y2，y,DG由Q,H,D三点共线，得DQ∥DH，而DQ222101y2yyx2,y，1010223112y222，即3yx2yx20，1221设的方程为tyxm，tyxm，得t4ytmym120，22