人教A版高中数学第一册(必修1)学案3：3. 1. 2 函数的表示法

3.1.2函数的表示法

学习目标

1、明确函数的三种表示方法；

2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

重难点

重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.

难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其

图象.

新知初探

1.函数的表示法

、

图像法『解析』法

定用表格的形式把两个变量间用图像把两个变量间的函一个函数的对应关系可以用自变

义的函数关系表示出来的方法数关系表示出来的方法量的「解析」式表示出来的方法

不必通过计算就能知道两个可以直观地表示函数的局能叫便利地通过计算等手段研究

优

变量之间的对应关系，比较一部变化规律，进而可以预测函数性质

点

直观它的整体趋势

缺只能表示有限个元素的函数有些函数的图像难以精确一些实际问题难以找到它的『解

点关系作出析」式

2.分段函数

(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数.

(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的

定义域的交集是.

『点睛』(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数.

I，—2<xW0,

(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.如丫=八其“段”是不

x,0<xW3,

等长的.

小试牛刀

1.判断(正确的打W”,错误的打正”)

(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示.()

(2)函数/(x)=2x+l不能用列表法表示.()

(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.()

(4)分段函数由几个函数构成.()

%+1,后1,

(5)函数兀r)=:是分段函数.()

—x+3,x>l

2.函数y=#x)的图象如图，则兀c)的定义域是()

A.R

B.(—oo,1)U(1,+oo)

C.(-00,0)U(0,+a>)

D.(-1,0)

3.已知反比例函数兀v)满足负3)=—6,大外的『解析」式为

自主探究

题型一函数的定义

例1某种笔记本的单价是5元，买x(xd{l,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用三种表

示法表示函数y=/(x).

跟踪训练一

1.已知函数五x),g(x)分别由下表给出.

X123

f(X)211

X123

g(x)321

则4g⑴)的值为；当g(Xx))=2EI寸，x=.

题型二分段函数求值

例2已知函数式x)=..

b”心1.

(1)求/(/0))的值；

(2)若求x的值

跟踪训练二

炉+2,xW2,

।函数人r)=4若"ro)=8,则刈=________.

1.铲，x>2.

题型三求函数『解析」式

例3(1)已知於+l)=/-3x+2,求用0;

⑵已知於)是二次函数,且满足#0)=1於+1)处)=2再求危)的『解析』式;

(3)已知函数/U)对于任意的x都有/(x)+纨-x)=3x-2,求

跟踪训练三

1.已知,/(x)是一次函数，且用(x))=2x-l,求/U)的『解析J式;

2.已知|V/l)=x+2阮求於)的『解析』式；

3.设函数段)满足於)+2/G)=x(x#)),求火x).

题型四函数的图像及应用

例41.函数4尤)=仅一1|的图象是()

2.给定函数/(x)=x+1,虱x)=(%+1)2,xeR

(1)在同一直角坐标系中画出函数/'(x),g(x)的图像；

(2)Vx€R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为

M(x)=max{/(x),g(x)}.请分别用图像法和『解析』法表示函数M(x).

跟踪训练四

1.已知函数於)的图象如右图所示，则_/u)的『解析J式是

b,d>b,

2.若定义运算,则函数式x)=xG)(2—x)的值域为______

a,a<b.

题型五函数的实际应用

例5下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均

分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王伟9887919288—95

张城907688758680

赵磊686573727582

班平均分88.278.385.480.375.782.6

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

当堂检测

1•若•阿考湍工工<10,则购的值为)

A.8B.9C.10D.11

2.己知/(量)=x，则段)=()

2x

AX+lD1-X-1+Xc

A.D.C.---D.--

x-11+x1-xx+l

3.若1x)对于任意实数x恒有3段)-道-x)=5x+l,则於)=()

A.x+1B.x-lC.2x+lD.31+3

2x,0<x<1,

4.函数氏0=2,1<x<2,的值域是()

3.x>2

A.RB.[0,+oo)C.[0,3JD.[0,2JIU{3}

5.已知函数兀r)的图象如图所示，则火-5)=府(2))=.

6.已知/（X）为二次函数,其图象的顶点坐标为（1,3）,且过原点，求大x）的『解析」式.

7.某商场新进了10台彩电，每台单价3000元,试求售出台数x与销售额y之间的函数关系,

分别用列表法、图象法、『解析J法表示出来.

——★参*考*答*案★——

新知初探

对应关系并集空集

小试牛刀

1.(1)X(2)V(3)X(4)X(5)4

2.C

218

3.y---

'x

自主探究

例1『『答案』』见『解析』

『『解析』J这个函数的定义域是数集(1,2,3,4,5).

用『解析』法可将函数y=f(x)表示为y=5x,xW{l,2,3,4,5)

用列表法可将函数y=/U)表示为

笔记本数Z12345

钱数y510152025

用图像法可将函数y=/U）表示为

y,

25-•

20­・

15--

10■•

5■•

II1・J

~O12345.V

跟踪训练一『『答案』J11

r『解析J』由于函数关系是用表格形式给出的，知g(l)=3,.•.4g(l))=_/(3)=l.由于g(2)

=2,.\/(x)=2,.\x=l.

4f-

例2『『答案』』(1)官(2)±^

r『解析』J⑴因为娘=|；T]一2=-I，

(2阿=；,若|但,则仅一1|一2=/，得x=¥或x=—/

因为仅区1，所以x的值不存在；

若团>1,则二『=；,得x=6「，符合

所以若7(x)=*x的值为

跟踪训练二1『答案J』一#或10

「『解析』J『『解析』』当xoW2时，/。)=焉+2=8,即"=6,

.,.沏=一#或即=#(舍去)；

4

当x0>2时，/xo)=尹°,x0=10.

综上可知，沏=一,或&=10.

例3『『答案』』见『解析』

r।1解析』』(1)(方法一)令1+1=匕则户1.

将x=t-l代入於+1)=%2-3X+2,

得用)=(£—1)2-3(t-1)+2=t2-51+6,»\J(x)=x2-5x+6.

(方法二)•.,危+1)=%2-3X+2=X2+2X+1-5x-5+6=(x+l)2-5(x+l)+6,.\J(x)=x2-5x+6.

(2)设所求的二次函数为fix)=ax2+/»+c(arO).

*.\/(0)=1,:.c=1,则J(x)=ax2+hx+1.

•・7U+1)处)=2x对任意的xeR都成立，

a(x+l>)2+b(x+1)+l-(ax2+bx+\)=2x,

即2ar+“+b=2x,由恒等式的性质，得｛。,ji'o

•••｛，:一：'，所求二次函数为大幻=；孑+1・

(3)•.•对于任意的x都有/(x)+4(-x)=3x-2,

...将x替换为-x,得如x)+Z/(x)=-3x-2,联立方程组消去.*-x),可得./0=-3片；.

跟踪训练三『『答案J』见『解析J

F[解析』J⑴;於)为一次函数，，可设/)=or+b(a#)).

\'ftj(x))=J(ax+b)=a(ax+b)+b=ax+ab+b=2x-1.

/.［：2，解得［a=吗或［a=-夜

(ab+b=-1,(b=1-V2(b=1+V2.

故人工)=立x+1-企或J(x)=-y/2x+1+V2.

22

(2)(方法一加①+1)=(«)+2Vx+l-l=(Vx+l)-1,其中y+l2l,

2

故所求函数的『解析』式为7(x)=x-l,其中x》L

2

(方法二)令正+1=/,则k(小1),且t2l,

222

函数y(Vx+1)=x+2石可化为角)=01)+2(t-l)=r-1,故所求函数的「解析」式为fix)=x-1

淇中

(3)因为对任意的xdR,且xWO者[5有./U)+2f(，=x成立,

所以对于R,且;#0,有f(5+纨幻=*

pw+2/(：)=%,①

两式组成方程组V©+2/(x)=l,0

②X2-①得/)甘(2).

例4『『答案』』1.B2.见『解析J

x—]x>1

{IfX：；画出此分段函数的图

象，故选B.

法二：由负-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A、C、D,故选B.

2.(1)同一直角坐标系中函数f(x),g(x)的图像

(2)结合M(x)的定义，可得函数M(x)的图像

由(X+1)2=X+1,得x(x+1)=0.解得X=1,或X=0.

由图易知M（x）的『解析』式为

跟踪训练四

x+1,-l<x<0,

『『答案』」1段尸2.(—oo,1J

【一元，0<x<l

[『解析』」1.由图可知，图象是由两条线段组成，当一1方<0时，设兀0=依+4将（一

~a+b=09[a=l,

I,。），（。』）代入『解析』式，则口.

当0人1时，设y（x）=kx,将（1,—1）代入，则k=-1.

2—x]

一一’画出函数7U）的图象得值域是（一8,1」.

{X,X<1,

例5『『答案』』见『解析』

r[解析』」从表可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成

绩变化情况。如果将每位同学的“成绩”与"测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个

离散的点）表示出来，如图3.1-6,那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我

们的分析很有帮助.

从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定

而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动

幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈