直线与圆、圆与圆的位置关系讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课45直线与圆、圆与圆的位置关系考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养直线与圆的位置关系理解2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅱ卷T2023年天津卷T2023年全国甲卷（文）T2023年全国乙卷（理）T2022年新高考Ⅰ卷T2022年新高考Ⅱ卷T★★★直观想象数学运算逻辑推理圆与圆的位置关系理解2019年全国Ⅱ卷（理）T★★☆直观想象数学运算逻辑推理命题分析预测从近几年高考的情况来看，本基础课内容主要集中在直线与圆的位置关系的综合问题，在2025届高考的备考中，要重点关注圆的几何性质在研究圆锥曲线几何量中的应用，特别是圆的切线问题在研究椭圆、双曲线几何性质中的应用，圆的几何性质与抛物线焦点弦、准线的结合，都可能成为命题的热点一、直线与圆的位置关系设圆C:x−a2+y−b2=r2,直线l:Ax+By+C位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ①<Δ②=Δ③>几何观点d④>dd⑥<二、圆与圆的位置关系设圆O1,O2的半径为r1,r位置关系图形几何维度方程维度公切线维度外离⑦dΔ<4条外切⑧dΔ=3条相交⑨rΔ>2条内切⑩dΔ=1条内含⑪0Δ<0条1.圆的切线方程的常用结论（1）过圆x2+y2=（2）过圆x−a2+y（3）过圆x2+y2=r2外一点Px0（4）过圆x−a2+y−b2=r22.过圆内一点最长的弦是直径，最短的弦是垂直于这点与圆心连线的弦.3.过两圆交点的圆系方程过圆C1：x2+y2【注意】当λ=−1时，得方程题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.(×)（2）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(×)（3）过圆O：x2+y2=（4）如果直线与圆组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切.(√)2.（易错题）若过点2,0作圆x2+y2−2x−【易错点】过圆外一点作圆的切线有两条，忽视斜率不存在的切线这种情况而致误.[解析]根据题意，圆x2+y2−2x−6y+9=0，即x−12+y−32=1，其圆心为1,3，半径r=1.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=2，圆心1,3到直线题组2走进教材3.（双空题）（人教A版选修①P103⋅T20改编）已知圆C：x−12+y−22[解析]直线l的方程可化为l：2x+y−7m+x+y−4=0，联立{2x+y−7=0,x+y−4=0,解得{x=3,y=4.（双空题）（人教A版选修①P103⋅T18改编）由曲线C：x2+y2=x[解析]如图所示，当y≥−x时，C：x2+y2=x+y⇒x−122+y−122=12，设其圆心为A，易知kOA=1，所以圆A与直线y=−x相切；当y≤−x时，C：x2+y2=x+题组3走向高考5.[2023·新高考Ⅰ卷]若过点0,−2与圆x2+y2−A.1 B.154 C.104 [解析]x2+y2−4x−1=0，即x−22+y2=5，可得圆心C2,0，半径r=5，如图，过点P0,−考点一直线与圆的位置关系［自主练透］1.[2024·海淀模拟改编]已知圆O：x2+y2=a2A.1 B.2 C.3 D.±[解析]在圆O：x2+y2=a2中，圆心O0,2.[2024·柳州校考]已知圆C：x−12+y−2A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定[解析]直线l：m+由x+y−4=0,而当x=1,y=3时，x−12+y3.（多选题）已知圆M：x+cosθ2A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切[解析]圆M：x+cosθ2+y所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；圆心M−cosθ,sinθ到直线l的距离则对任意实数k，存在θ，使得直线l和圆M的位置关系是相交或者相切，故D正确，A错误；当θ=0时，圆M为x+12+y2=1，此时不存在实数4.[2022·新高考Ⅱ卷]设点A−2,3,B0,a，若直线AB关于y=a[解析]因为kAB=a−32，所以直线AB关于直线y=a的对称直线为判断直线与圆的位置关系常见的两种方法代数法将直线方程与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，利用根的判别式：Δ>0⇔相交；Δ=0几何法利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：d<r⇔相交；d考点二圆的弦长、切线问题［多维探究］弦长问题典例1[2024·广州模拟]写出经过点1,0且被圆x2+y2−2x[解析]圆的方程可化为x−12+y当过点1,0的直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时圆心在直线上，弦长为2r=2，不满足题意，所以过点即kx−y−k=0，则圆心依题意得2=2r2−d2=21−有关弦长问题的两种求法几何法直线被圆截得的半弦长l2、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形,即代数法联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x的一元二次方程,由根与系数的关系,即可求得弦长AB=1切线问题典例2（1）[2024·福建模拟]已知直线x+y−2a=0与圆x2+y2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]因为直线x+y−2a=0与圆x2+y2=25相交于A，B两点，所以设圆心到直线的距离为d，则AB<6等价于2（2）[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2+y2=1和x−3[解析]由两圆方程可得，两圆圆心距d=32+42=因为kOC=43,所以kl1=−34所以直线l1的方程为3x由图可知，直线l2:x=−1,且l联立x=−1即直线l2与l3的交点为在l2上取一点−1,0,设该点关于直线则y02=43所以直线l3的方程为y=7故与两圆都相切的一条直线方程是3x+4y−5=求圆的切线方程的两种方法几何法设切线方程为y−y0=kx代数法设切线方程为y−y0=【注意】当切线的斜率不存在时，一般采用数形结合法.1.[2024·湖南模拟]设直线x−my−1=0与圆x−12+y−2[解析]由圆的方程x−12+y∵圆心到直线x−my−且AB=23，∴∴m2.[2024·洛阳模拟]已知直线l1：ax−y−2a①直线l1,l2均与圆②直线l1被圆E截得的弦长的最小值为2③直线l2被圆E④若直线l1与圆E交于A，C两点，l2与圆E交于B，D两点，则四边形[解析]如图，由直线l1：ax−y−2a由直线l2：x+ay−2E：x2+y因为PE=2−22+1当PE⊥l1时，直线l1被圆当直线l2经过圆心E2,−1时，直线l2当a=0时，l1⊥l2；当故直线l1与直线l2恒垂直，圆心E到直线l1圆心E到直线l2的距离d故AC=BD=所以四边形ABCD的面积S=令t=a2+1因为t≥1，所以0<1t≤1，所以当1考点三圆与圆的位置关系［师生共研］典例3已知圆C1：x−a2+y+22A.62 B.32 C.94[解析]由圆C1与圆C2外切,可得a+b2+−2+22=2变式设问1若将本例条件中的“外切”变为“内切”,则ab的最大值为14[解析]由C1与C2内切,得a+b2+−2+22变式设问2若将本例条件中的“外切”变为“相交”,则公共弦所在的直线方程为2a+[解析]由题意把圆C1,圆C圆C1圆C2由②−①得2a+即2a+圆与圆位置关系问题的解题策略1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y1.（多选题）（原创）集合A={x,y|x2+y2=A.2 B.3 C.4 D.5[解析]圆x2+y2=圆x−32+y因为A∩B=⌀所以当两圆相离时，1+r<13，r<13−1,故A正确；当两圆内含时，r−1>2.（改编）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262∼公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知A−2,0,A.相交 B.相离 C.内切 D.外切[解析]由条件可知，x+22+y2x−42+y2=3，化简为x−72+隐形圆问题在直线与圆的综合考查中，有时题设条件并没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆的方程或圆的定义，从而利用圆的知识来求解，这类问题常被称为“隐形圆”问题.此类问题在教材中出现过相关例题，通过对教材例题分析与研究，可以拓展总结为如下的几种类型：1.已知两定点A,B，若动点P满足PA=λPB2.已知两定点A,B，若动点P满足PA⋅3.已知两定点A,B，若动点P满足PA2典例如图，已知两定点A,B，动点P满足PA=λPB(λ[解析]设AB=2mm>0,以AB的中点为原点，直线AB为x设Px,y，则由PA两边平方并化简整理得λ2当λ=1时，x=当λ≠1时，x−λ2+1变式设问1若将典例中的条件“动点P满足PA=λPB(λ>0且λ[解析]设AB=2mm>0，以AB的中点为原点，直线AB为x设Px,y，则PA则由PA⋅PB=λ,得当λ>−m2,即λ>−AB24变式设问2若将典例中的条件“动点P满足PA=λPB(λ>0且λ[解析]设AB=2mm>0，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（图略），则A−m,0则由PA2+PB整理得x2当λ2>m2，即λ>AB2深度训练1已知O为原点，A2,0，B−1,0[解析]设Mx,y，由MA=2MO，得故M的轨迹