两直线的位置关系讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课43两直线的位置关系考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养两条直线平行与垂直掌握2023年北京卷T★★☆直观想象数学运算两条直线的交点与距离掌握2023年新高考Ⅰ卷T2020年全国Ⅱ卷T★★☆直观想象数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，命题热点是利用两条直线平行、垂直的条件求参数.预计2025年高考命题情况变化不大，在复习常规考法的同时，注意知识间的综合训练一、两条直线的位置关系斜截式一般式方程y=kA1x相交kA垂直k②A平行k1=A1B重合k1=A二、两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x+B【提醒】方程组有唯一解⇔相交,三、三种距离点点距点P1x1,P1P点线距点P0x0,d线线距两条平行直线Ax+By+Cd确定方程含参数的直线所过定点的方法1.将直线方程写成点斜式y−y02.将直线方程整理成参数方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点.3.先给参数取两个不同的值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标.题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1（2）已知直线l1：A1x+B1y+C（3）如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于−1（4）若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(√)2.（多选题）（易错题）已知直线l1：x+ayA.l2始终过点23,13 B.若C.若l1⊥l2，则a=0或a【易错点】A1[解析]直线l2：ax−2y+3y−1=0恒过点(23,13)，故A正确；当a=1时，l1，l2重合，故题组2走进教材3.（人教A版选修①P80⋅T14改编）已知A−3,−4,B[解析]因为A−3,−4,B6,3到直线l：ax4.（人教A版选修①P79⋅T8改编）已知四边形ABCD为正方形，顶点A1,1，边BC所在的直线方程为x+[解析]由题意得kBC=−13，因为AB⊥BC，所以kAB=3，所以边AB所在的直线方程为y−1=3x−1，整理得3x−y−2=0.又正方形ABCD的边长d=1+3−141题组3走向高考5.[2020·山东卷]直线2x+3y−6=A.3x−2y−10=0 B.3x[解析]在2x+3y−6=0上任取两点3,0,0,2，这两点关于点−1,2的对称点分别为−考点一两直线的平行与垂直［自主练透］1.[2024·河北模拟]“λ=3”是“直线2λ−3xA.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件[解析]∵直线2λ−3x∴2λ∴λ=3或λ=−1，而“λ∴“λ=3”是“直线2λ−3x2.[2024·山东模拟]已知过点A−2,m和点Bm,4的直线为l1,直线2x+y−1=0为A.−10 B.−2 C.0[解析]∵l1//l2,∴4−m∵l2⊥l3∴m+n3.[2024·临川模拟]（多选题）已知直线l：a2+aA.直线l恒过点0B.当a=−1时，直线l与直线C.若直线l与直线x−yD.当a=0时，直线[解析]对于A，当x=0时，y=1，与a的取值无关，故直线l恒过点对于B，当a=−1时，直线l的方程为x−y+1=对于C，若直线l与直线x−y=0平行，则a2+a对于D，当a=0时，直线l的方程为x−y+1=两直线位置关系的判断方法已知两直线的斜率存在两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；两直线垂直⇔两直线的斜率之积为−已知两直线的斜率不存在当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行，否则两直线重合已知两直线的一般方程设直线l1：A若l1//l若l1考点二直线的交点坐标与距离公式［自主练透］1.若直线y=x+2k+1与直线A.−52,12 B.−2[解析]y=x+2k+1,2.[2024·重庆模拟]设直线l1：x+3y−7=0与直线lA.5 B.15 C.255[解析]联立两直线方程x+3y−7=0,x−y+3.[2024·江苏统考]已知两条平行直线3x−y+3=0和A.a=3,d=110 B.a=3,d=1010[解析]由两直线平行得3×−1=−1⋅a变式设问（双空题）若将题3中的条件“ax−y+4=0”改为“6x[解析]由题意得,36=−则6x−2y+所以d=1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式解题的注意点（1）点Px0,y0到直线x=a（2）在应用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等的系数.考点三对称问题［多维探究］点关于点对称典例1若过点P0,1作直线l，使它被直线l1：2x+y−[解析]设l1与l的交点为Aa,8−2a，则由题意知，点A关于点P的对称点B−a,2a−6在l2上，将B−a,2a−6点关于点的对称若点Mx1,y1和点Nx,点关于线对称典例2[2024·南宁诊断]如图，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，已知C−2,0，E，F分别为直线y=x+A.E−52,32，C.E−52,32，[解析]如图，作C−2,0关于y轴的对称点G2,0，作C−2,0关于直线y=x所以FG=FC,此时△CEF即EC+因为C−2,0，直线所以ba+所以D−4,2，所以直线即y=−由y=x+4,令x=0，得y=23，所以F点关于直线的对称若点P1x1,yA⋅x1+x22+B⋅y1+线关于点对称典例3直线y=3x−4关于点[解析]在对称直线上任取一点Ax,y,则Ax,y关于点P1,1对称的点为A直线关于点的对称1.在已知直线上取两点，先利用点关于点对称，求出对称点的坐标，再利用两点式求直线方程.2.在已知直线上取一点求对称点，利用关于一点对称的两条直线平行，求直线方程.3.在对称直线上取一点x,线关于线对称典例4（1）直线x−2y−1=A.2x−y+1=0 B.2x[解析]在直线x−2y−1=0上任取一点Pa则y1−bx1因为点Py1,x1在直线x−2y−1（2）已知直线l1：x−y+2=0，直线l：x[解析]由题意知l1//l2，设直线l2设点M关于直线l的对称点为M'a解得a=3,b=−1，即M'3,−1，将M'3,−直线关于直线的对称1.若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解；2.若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解.（一题练透）已知直线l:2x−（1）点P关于直线l的对称点P'[解析]设P'x解得x=−3313（2）直线m:3x−2y−[解析]在直线m上取一点M2则M2,0关于直线l的对称点M设对称点M'a解得M'设直线m与直线l的交点为N，联立2x−3y+又直线m'经点N4,3，所以由两点式得到直线（3）（一题多解）直线l关于点P的对称直线l'[解析]（法一）在直线l:2x−3y+则A，B关于P−1,−2的对称点A'易得A'−3再由两点式可得直线l'的方程为2x（法二）因为l//所以设直线l'的方程为2x又因为点P−1,−2到两直线所以由点到直线的距离公式得，−2解得C=−9，所以直线l'考点四直线系方程［多维探究］平行直线系方程典例5过点A2,1且与直线3x[解析]设与直线3x−2y+5=0平行的直线方程为3x−垂直直线系方程典例6（同源变式）若将典例5中的“平行”改为“垂直”，其他条件不变，则满足题意的直线方程为2x+[解析]设与直线3x−2y+5=0垂直的直线方程为2x+两直线交点的直线系方程典例7（一题多解）已知两条直线l1：x−3y−4=0与l[解析]（法一：利用点斜式方程）解直线l1与直线l2组成的方程组得到交点P−2,−2，因为直线l3的斜率k3（法二：利用垂直直线系方程）设所求直线l的方程为5x−2y+m=0，由法一可知P−2,−（法三：利用两直线交点系直线方程）设所求直线l的方程为x−3y−4+λx+y+4=0几种常见的直线系方程1.与直线Ax+By+2.与直线Ax+By+3.过直线l1：A1x+B（一题练透）已知直线l1：x+y−4（1）求过点P且与直线l3平行的直线l[解析]（法一:利用平行直线系方程）设所求直线l的方程为2x−y+m=0m≠−1，解直线l1与直线l2（法二：利用两直线交点直线系方程）设所求直线l的方程为x+y−4+λx−y+2=0（2）求过点P且与直线l3垂直的直线l[解析]（法一:利用垂直直线系方程）设所求直线l的方程为x+2y+m=0，