课后培优练：26.4 实际问题与反比例函数（解析版）

姓名：班级26.4实际问题与反比例函数全卷共24题，满分：100分，时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021·山西灵石县·九年级月考）探究课上，老师给出问题“一艘轮船上装有吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为吨/小时，卸完这批货物所需的时间为小时．若要求不超过小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？”．如图，小华利用计算机先绘制出反比例函数的图象，并通过观察图象发现:当时，．所以小华得出此题答案为；平均每小时至少要卸货吨．小华的上述方法体现的数学思想是（）A．公理化 B．数形结合 C．分类讨论 D．由特殊到一般【答案】B【分析】根据题意可直接进行解答．【详解】由小华利用计算机先绘制出反比例函数的图象，并通过观察图象进行求解问题，符合数形结合的数学思想；故选B．【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．2．（2021·福建同安区·）如图，一块长方体砖块的长、宽、高的比为，如果左视面向下放在地上，地面所受压强为，则正视面向下放在地上时，地面所受压强为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据左视面向下放在地上，地面所受压强为，求出地面受到物体的压力，然后再根据“正视面向下放置地面时与左视面向下放置地面时，地面受到的压力不变”即可求解．【详解】解：由题意可知，设长方体的长、宽、高分别为4、2、1个单位长度，则左视面的面积为4×1=4个平方单位，正视面的面积为4×2=8个平方单位，由物理学公式：“压力=压强×受力面积”可知：地面受到物体的压力，正视面向下放置地面时与左视面向下放置地面时，地面受到的压力不变，∴正视面向下放在地上时，地面受到的压强为：，故选：B．【点睛】本题考查了数学知识的实际应用，理解压强与受力面积的关系本质是反比例函数的关系是解决本题的关键．3．（2021·浙江衢州市·）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（）动力臂L（m）动力F（N）0.56001.03021.52002.0a2.5120A．120N B．151N C．300N D．302N【答案】B【分析】根据表中信息可知动力臂与动力成反比的关系，选择利用反比例函数来解答．【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，设方程为：，从表中任取一个有序数对，不妨取代入，解得：，，把代入上式，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能从表中信息确定出动力臂与动力成反比的关系．3．（2021·河南上蔡·八年级期中）已知长方形的面积为40cm2，相邻两边长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意有：xy=40；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限，即可得出答案．【详解】解：∵xy=40，∴y=（x＞0，y＞0）．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，属于基础应用性题目，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．4．（2021·江苏海门市·九年级期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应满足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意设设(V＞0)，把（2.4，50）代入得到k=120，推出(V＞0)，当P=100时，V＝，由此即可判断．【详解】解：∵根据题意可设(V＞0)，由题图可知，当V=2.4时，P=50，∴把（2.4，50）代入得到解得：k=120，∴(V＞0)，为了安全起见，气球内的气压应不大于100kPa，即，∴V≥．故选C.【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式．5．（2021·江苏苏州市·八年级期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度约为（）A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃【答案】C【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可．【详解】解：∵点B（12，18）在双曲线上，∴，解得：k=216．当x=16时，y==13.5，所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．故选：C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．6．（2021·西城·北京四中）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图像先求出关于t的函数解析式，进而求出关于t的解析式，再判断各个选项，即可．【详解】解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3，当6＜t≤25时，=15，当25＜t≤30时，=-2t+65，∴当1≤t≤6时，=，当6＜t≤25时，=，当25＜t≤30时，==，∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A．故选A．【点睛】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键．7．（2021·四川自贡市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为I=13R BC．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R=6Ω时，【答案】C【分析】将将4,9代入I=UR求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断【详解】解：设I=UR，将4,9代入可得I=36R，故A错误；∴蓄电池的电压是当I≤10A时，R≥3.6Ω，该项正确；当当R=6Ω时，I=6A，故D错误，故选：【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．8．（2021·河北承德县·九年级期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（h）与行驶速度（km/h）满足函数关系点，其图象为如图所示的一段双曲线，端点为和，若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要（）A．分钟 B．40分钟 C．60分钟 D．分钟【答案】B【分析】把点A（40，1）代入t＝，求得k的值，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把v＝60代入t＝，求出t的值即可．【详解】解：由题意得，函数的解析式为t＝函数经过点（40，1），把（40，1）代入t＝，得k＝40，则解析式为t＝，再把（m，0.5）代入t＝，得m＝80；把v＝60代入t＝，得t＝，小时＝40分钟，则汽车通过该路段最少需要40分钟；故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意要把小时化成分钟．9．（2021·山东奎文·九年级期末）为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（）A．4月份的利润为50万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．9月份该厂利润达到200万元 D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元【答案】D【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，，反比例函数的解析式为：，当时，，月份的利润为50万元，正确，不合题意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确，不合题意；C、设一次函数解析式为：，则，解得：，故一次函数解析式为：，故时，，解得：，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意．D、当时，则，解得：，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．10．（2021·山东）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（）A．药物释放过程需要小时B．药物释放过程中，与的函数表达式是C．空气中含药量大于等于的时间为D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室【答案】D【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可【详解】根据题意：设药物释放完毕后与的函数关系式为，结合图像可知经过点（，）与的函数关系式为设药物释放过程中与的函数关系式为结合图像当时药物释放完毕代入到中，则，故选项A正确，设正比例函数为，将（，1）代入得：，解得，则正比例函数解析式为，故选项B正确，当空气中含药量大于等于时，有，解得，结合图像，即，故选项C正确，当空气中含药量降低到时，即，解得，故选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函数解析式．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2020·湖北十堰·）港珠澳大桥全长近55km，汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为_________．【答案】【分析】依据行程问题中的关系：时间=路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式．【详解】解：∵大桥全长近55km，

∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为，

故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数关系式，用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．12．（2021·广东斗门区·九年级期末）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝100m3时，ρ＝1.4kg/m3；那么当V＝2m3时，氧气的密度为___kg/m3.【答案】70【分析】根据，将时，代入，可求的值，即可求求与的函数表达式，再将代入可求氧气的密度．【详解】解：（1），且当时，．，当时，，故答案是：70．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式，同时体会数学中的转化思想．13．（2021·浙江嵊州·）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了___度．【答案】150【分析】设出反比例函数解析式，把（0.25，400）代入求得反比例函数解析式，再直接利用x=0.4代入求出答案．【详解】解：由已知设D与f的函数关系式为：D=（k≠0），把D=400，f=0.25代入，得400=，解得：k=0.25×400=100，故D与f之间的函数关系式为：D=；当f=0.4时，有D=，400-250=150，小慧所戴眼镜的度数降低了150度．故答案为：150．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．14．（2021·湖北丹江口市·）码头工人每天往一艘轮船上装载20吨货物，装载完毕恰好用了10天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．则v关于t的函数表达式为________；如果船上的货物8天卸载完毕，那么平均每天要卸载________吨货物.【答案】25【分析】（1）根据题意，可以写出v关于t的函数表达式；（2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题．【详解】解：（1）由题意可得，v关于t的函数表达式：，故答案为：；（2）由题意可得：当时，，∴平均每天要卸载25吨．故答案为：25．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．15．（2021·广东）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：x（cm）…1015202530…y（N）…3020151210…猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为__．【答案】y＝【分析】由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知xy=k，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，利用待定系数法求，将其余各点代入验证均适合即可，.【详解】解：由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知xy=k，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，∴设（k≠0），把x＝10，y＝30代入得：k＝300∴，将其余各点代入验证均适合，∴y与x的函数关系式为：.故答案为：.【点睛】本题考查反比例函数的关系判断，与待定系数法求反比例函数解析式，掌握反比例函数中xy=k，是判断反比例函数的关键16．（2020·全国九年级单元测试）每年春季为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量y（mg/m3）与时间x（h）之间的关系如图所示，根据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且持续时间不能低于10h．请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到__h．【答案】12【分析】利用待定系数法求出反比例函数，利用y=6求出两函数交点坐标，再求正比例函数，利用y=3，求出两函数自变量值作差即可【详解】解：∵反比例函数经过点（24，2），∴k=xy=24×2=48，∴反比例函数的解析式为y＝，令y＝6，解得：x＝8，∴直线与双曲线的交点坐标为（8，6），∴正比例函数的解析式为y＝x，令y＝＝3，解得：x＝16，令y＝x＝3，解得：x＝4，∴当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到16﹣4＝12h，故答案为：12．【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数的联合应用，会用待定系数法求反比例函数解析式与正比例函数解析式，会求函数值是解题关键．17．（2021·浙江浙江省·）方方驾驶小汽车匀速从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时，方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，则小汽车行驶速度v的范围______________．【答案】【分析】由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而求出关于的函数表达式，8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围．【详解】解：由题意可得：，且全程速度限定为不超过120千米小时，关于的函数表达式为：，，8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时将代入得；将代入得．小汽车行驶速度的范围为：，故答案为：．【点睛】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题．18．（2021·北京九年级专题练习）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）函数的图象为曲线．（1）若过点，则__；（2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有__个．【答案】-167【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；（2）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是1和2，，，，，，，，，过点，，故答案为：；（2）若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，，整数，，，，，，共7个，故答案为：7；【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键．三、解答题（19-20题每题7分，其他每题8分，共46分）19．（2021·浙江乐清·）学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为（分）与对应的水温为（℃）函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点为，点为，点为．（1）求出段加热过程的与的函数关系式和的值．（2）若水温（℃）在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？【答案】（1），；（2）【分析】（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为，然后把，代入，把代入求解即可；（2）把分别代入一次函数与反比例函数解析式求出对应的x的值，有次求解即可．【详解】（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为代入得，解得∴线段AB的解析式，代入得，解得∴双曲线的解析式为∴解得；（2）反比例函数解析式为，当时，代入线段，解得，代入反比例函数得，解得x=20所以不适宜饮水的持续时间为分．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20．（2021·河南淮滨第一中学九年级开学考试）为了降低输电线电路上的电能消耗，发电站都采用高压输电．已知输出电压与输出电流的乘积等于发电功率（即），且通常把某发电站在某时段的发电功率看作恒定不变的．（1）若某水电站的输出功率为，请写出电压关于电流的函数表达式，并求出当输出电压时，输出电流是多少？（2）若输出电压降低为原来的一半时，由线路损耗电能的计算公式（其中为常数）计算在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的多少倍．【答案】（1）输出的电流是；（2）倍．【分析】（1）由得，把P＝，代入函数求解即可；（2）根据P=UI得出输送的电流变为原来的多少倍，然后根据Q=I2Rt求出相同时段内该路线的电能损耗减少为原来的多少倍．【详解】解：（1）由题可得，即，将代入函数，即，解得：.答：输出的电流是.（2）当输出电压降低为原来的一半时，由可知，会变为原来的两倍．因此，由可知，在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的倍．【点睛】本题考查了反比例函数的的应用，解决本题的关键掌握输送功率、输送电压、电流的关系．21．（2021·山西灵石县·九年级月考）函数是刻画事物运动变化过程和发展规律的数学模型，应用非常广泛．用图象的方法研究函数，形象直观．在现实生活中，我们常用图象的方法研究函数，例如，气温随着时间的变化、股票随着时间变化等，就常用图象法把函数关系表示出来，然后利用图象进一步分析它们的变化情况．小明根据相关数据和学习函数的经验，对成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时），下表记录了6小时以内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况：饮酒后的时间x（小时）…123456…血液中酒精含量y（毫克/百毫升）下面是小明的探究过程请补充完整（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；（2）观察函数图象，写出一条该函数的性质：______．（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：30能否驾车去上班？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）第二天早上7：30可以驾车去上班；理由见解析．【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可；（2）根据图象写出一条性质即可；（3）把y＝20代入反比例函数得x＝11.25．喝完酒经过11.25小时为早上7：15，即早上7：15以后血液中的酒精含量小于或等于20毫克/百毫升．由此即可判断．【详解】解：（1）图象如图所示：（2）当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＝1时，y有最大值，最大值为200；当x＞1时，y随x的增大而减小，故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）由图象可知1.5时后（包括1.5时）y与x可近似地用反比例函数（k＞0）刻画，∵当x＝5时，y＝45，且（5，45）在反比例函数（k＞0）图象上，∴把（5，45）代入得，解得k＝225，∴，把y＝20代入反比例函数得x＝11.25．∴喝完酒经过11.25时（即11：15时）为早上7：15．∴第二天早上7：30可以驾车去上班．【点睛】本题考查反比例函数的性质、待定系数法，解题的关键是理解反比例函数的定义，学会利用图象解决实际问题，属于中考常考题型．22．（2021·南宁市天桃实验学校九年级）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业企业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为元/吨，销售结束后，经过统计得到了如下信息：信息1：设次线上销售水果（吨），已知是的一次函数，且第次线上销售水果为吨，然后每一次总比前一次销售量减少吨；信息2：该水果的销售单价（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为万元/吨，第至次线上销售的浮动价与销售场次成正比；第至次线上销售的浮动价与销售场次成反比；信息3：如下表格：（次）（万元/吨）（1）求与之间的函数关系式；（2）若（万元/吨），求的值；（3）在这次线上销售中，那一次线上销售获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2），；（3）第次，万．【分析】（1）设，把时，，时，分别代入运算即可；（2）确定函数解析式，代入和的值运算即可；（3）分类讨论前十次和后十次的销售最大利润是多少，再比较大小即可．【详解】解：（1）∵是的一次函数，则由第次线上销售水果为吨可得：时，，由每一次总比前一次销售量减少吨可得：时，分别代入可得：解得：∴与之间的函数关系式为：（2）设第至次时与的函数关系式为：，第至次时与的函数关系式为：；由题意可得：，解得：，∴第至次时与的函数关系式为：，第至次时与的函数关系式为：；把代入可得：把代入可得：∴的值为和（3）设利润当时，∴时，最大利润为万当时，∴时，最大利润为万∵∴第次销售获得的利润最大，最大利润是万答：第次销售获得的利润最大，最大利润是万．【点睛】本题主要考查了函数的应用，其中涉及到了一次函数，反比例函数，二次函数等知识点，合理从表格中获取关键信息列式是解题的关键．23．（2021·河南镇平·八年级期中）小强用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程．（1）建立函数模型:设矩形小花园的一边长为x米，总篱笆长为y米请你用含x的代数式表示小花园的另一边长，并求y