人教版A版（2019）高中数学必修第一册：第四章综合测试 （含答案与解析）

第四章综合测试

一、单项选择题

1.式子a旧经过计算可得到（）

A.\[^aB.\/aC.—\[uD.一'-ci

2.函数/（x）=x+lgx-3的零点所在区间为（）

A.(2,3)B.(3,4)c.(1,2)D.(0,1)

3.设lg2=〃，lg3=Z?,则log]25=()

\-ac\-a-1+Q-1+Q

A.-----B.-----C.-----D.-----

2a+ba+2ba+2b2a+b

4.已知a=log?0.1,b=201,c=0.2uj>则a,b,c的大小关系是（）

A.aVbVcB.b〈c<aC.c<a〈bD.aVcVb

5.函数/（幻=优一4（aX）,awl）的图象可能是（）

a

A.B.C.D.

2X—«,x<0

6.已知函数/（x）ha£R,若函数/（x）在R上有两个零点，则,7的取值范围是（)

2x-l,x>0

A.(-00,—1)B.(-co,-1]C.[—1,0)D.(0,1]

7.若/(工)=坨(12_2奴+1+4)在区间(-00,1]上单调递减，则。的取值范围为()

A.[1,2)B.[1,2]C.[l,+oo)D.[2,+oo)

8.已知函数/(%)=|lgx|。若OVaVb,且/(。)=/3),则2/7的取值范围是()

A.（2A/2,+OO）B.[2>/2,+oo）C.(3,+a>)D.[3,+00)

二、多项选择题

9.（多选）下列计算正确的是（）

A.B.2,-10gj3=-

3

C.晒=出2

D.log3(-4)=41og32

10.对于函数/(X)定义域内的任意与,工2(工1工次2)，当/(x)=lgx时，下述结论中正确的是()

A./(0)=1

B.+9)=/(西)•/仁)

C./(由-々)=〃西)+/(巧)

rx

D/(-i)-/(2)>0

X]-x2

E小+々卜/(占)+)(々)

11.下列函数中，能用二分法求函数零点的有()

2x

A./(x)=3x-lB../(x)=x-2x+lC./(x)=log4xD.f(x)=e-2

12.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y

(单位：千克)与时间x(单位：小时)的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是()

A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加

B.在前三小时内，每小时的产量逐步减少

C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同

D.最后两小时内，该车间没有生产该产品

三、填空题

13.已知函数/(x)=log6(x+l),则/(1)+/(2)=,/(幻>0的解集为。

14.某停车场规定：停车第一个小时6元，以后每个小时4元；超过5个小时，每个小时5元；不足一小时

按一小时计算，一天内60元封顶.小林与小曾在该停车场当天分别停车4.5小时，13小时，则他们两人在

该停车场共需交停车费________元。

15.若函数/(xMlog^SX)且axl)在上的最大值比最小值大5,则a的值为______。

[_4_

16.设函数/(幻是定义在R上的周期为2的函数，且对任意实数x恒有/(%)-/(-%)=0。当工£[-1,0]时,

f(x)=x2,若gCr)=f(x)-k>g：在无£((),~HX>)上有三个零点，则。的取值范围为。

四、解答题

17.求值：(1)(6.25户+,2-黑+

log23

(2)2-log231og316o

18.己知函数/,g(x)=(‘)，其中a>0,且4X1。

(1)若OVaVl,求满足f(x)Vl的x的取值范围;

(2)求关于x的不等式/(x)2g(x)的解集。

19.已知/(x+1)=电(犬+2x+l),

(1)求f(x)；

(2)判断/")的奇偶性；

(3)写出/(X)的单调区间。

20.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加。

(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；

(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；

(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据:

lg2-0.3010,lg3«0.4771)

2

21.已知函数/(x)=log2(x+2),g(x)=-x-2x+ao

(1)解不等式/(%)V4；

(2)设函数=-g。)，若〃(x)在[2,6]上有零点，求。的取值范围。

22.已知函数/(幻的定义域为R,并满足(1)对于一切实数无，都有/(x)>0；(2)对任意的

x,yeR,f(xy)=[f(x)Y；(3)；

利用以上信息求解下列问题：

(1)求”0);

(2)证明/⑴>1且=[")]*;

(3)若/(3')-/(9'-—2K)>0对任意的xe[0,1]恒成立，求实数K的取值范围。

第四章综合测试

答案解析

1.【答案】D

【解析】因为ag,所以所以“g=aj《=—口。故选：Do

2.【答案】A

【解析】因为函数/(幻在(0,+8)上单调递增，/⑵=lg2-lV0,/(3)=lg3>0,由函数的零点存在性定

理可得函数/(x)=x+Igx-3的零点所在的区间是(2,3)。故选A。

3.【答案】A

【解析】Ig2=a,lg3=6,则］ogO5=蟹’「专2故选人。

lgl21g3+21g22a+b

4.【答案】D

【解析】显然，«=log20.1<log2l<0,又因为b=2°/>2°=l,0<c=0.2"<0.2°=l,故aVcVb。故答

案为：D。

5.【答案】C

【解析】若”>1,则函数/(x)为增函数,此时,C,D不成立，/(0)=1—，€(0,1),则A,B不成立;若OVaVl,

a

则函数/(x)为减函数，此时A,B不成立，/(0)=1--1-<0,则D不成立，故C有可能。故选：C。

a

6.【答案】D

【解析】由已知x>0时函数有一个零点;，所以xWO时/(x)=2*-a有一个零点，也即方程a=2*(xW0)有

唯一实根，由指数函数的单调性可知，0V&W1。故选D。

7.【答案】C

【解析】令〃-2以+1+。，则/(〃)=lg〃，配方得〃=犬2一2办+1+。=(工一。)2—。2+。+1,故对称轴

为x=a,如图所示：

由图象可知，当对称轴aNl时，一2℃+1+。在区间(TO』］上单调递减,

又真数f一2公+1+〃>。,二次函数〃-2or+l+。在(-co1］上单调递减,

故只需当x=l时，若X?一2or+l+a>0,则xe(-oo,l］时，真数x?一2奴+1+。>0,

代入x=l解得。<2,所以。的取值范围是［1,2),故选：Ao

8.【答案】C

【解析】0<a<b,f(a)=f(b［9:.0<a<l<b,所以f(a)=Oga*-Igbf(h)=\\gh\=}gh,所以由

19

f(a)=/(/?)得一lga=lgZ?,KPlg6z+lgZ?=lg(tzZ;)=0,所以〃Z?=l,b=—,令人(。)=。+2/?=。+—，因为

aa

函数人3)在区间(0,1)上是减函数，故以4)>以1)=3,故选C。

二、

9.【答案】BCD

11

【解析】汨尸=疗=盯，A错误；2「晦3=三=*,B正确；去用=9?=3)=*=班，C

223kJk;

24

正确；log3(-4)=log316=log32=41og32,D正确。故选：BCD。

■.【答案】CD

【解析】对于A,函数的定义域为(0,+8),故/(0)无意义，，A错误，

对于B,当X1=l,々=1时，/(玉+%2)=/⑵=lgio,/(与>/。2)=怆1,怆1=0，.'.B错误；

对于C,/(占,々)=也(芭・％2)=怆演+炮々=/(演)+/(%)，，C正确。

对于D,/。)=怆彳在(0,+<»)单调递增，则对任意的0<不<々，都有/(外长/伍)即史上9J>0;

玉~X2

.・.D正确

对于E,{七习=ig詈，以吗9毛(4+“)=,(为“)，

22也.％.11g、2；1g(8.w),；.E错误。故选CD。

11.【答案】ACD

【解析】/(X)=X2_2X+1=(X—1)2,/⑴=0,当X<1时，/(x)>0；当X>1时，/(x)>0,在零点两侧

函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号。故选ACD。

12.【答案】B

【解析】由该车间持续5个小时的生产总产量y(单位：千克)与时间x(单位：小时)的函数图像，得：

前3小时的产量逐步减少，故A错，B正确；后2小时均没有生产，故C错，D正确。故选：BD。

13.【答案】1(0,—)

【解析】/(x)=log6(x+l),则/(1)+〃2)=lo&2+lo&3=log6=1。由/(x)>0可得log6(x+1)>0,

.-.%+1>1,；.{x|x>0},故答案为：1；((),+8)。

14.【答案】82

【解析】小林停车4.5小时，按5小时计算，第一小时是6元，其他4小时,每小时4元，停车费为6+4x4=22

元，小曾停车13小时，第一小时是6元，其他4小时，每小时4元，超过5小时的时间为8小时，此时每

小时收费5元，停车费为6+4*4+5x8=62元，由于一天内60元封顶，故小曾只需要交60元，两人合计

22+60=82元，故答案为82。

15.【答案】■!■或2

2

【解析】当时，函数f(x)=log“x为增函数，

又函数/(x)=log“x在区间；,8上的最大值比最小值大5,

.•.log"8-log“；=5,即10gli卜5,解得：〃=2,

当OVaVl时,函数f(x)=log“x为减函数，

又函数/(x)=log“x在区间；,8上的最大值比最小值大5,

;.k)g“8-k)g“；=5,即k)g“(；+8)=5,解得：°=；，

综上所述，实数。的值为L或2,故答案为：工或2。

22

16.【答案】(3,5)

【解析】解：/(x)-/(-x)=0,.•./(x)=/(-x),:./(x)是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出了(X)

的图象如图所示:

g(x)=/(%)-log4X在x£(0,4-00)上有且仅有三个零点，.•.y=f(x)和y=logax的图象在(0,+oo)上只有

log„3<l

三个交点,5>1,解得3VaV5即ae(3,5)。

四、

17.【答案】(1)5

(2)-1

［解析］(1)(6.25)；+5一］+/3P_(2正)彳=(2.5)8+(-|)3+3,-2于卜§

221

=2.5——+3----=5

332

(2)2%3_］og,3.1og316=3-姮・强^=3-4=-1。

1g21g3

18.【答案】(1)f(x)<l<=>a2x+'<i^a°,

而OVaVl,故2尤+1>0,得：x>--»

2

(2)/(xRg(x)o0

当OVaVl时，2x+lW2—5x=xW,；当时，2x+l》2—SxnxN，。

77

故当OVaVl时，解集为｛x|x<；｝；当”>1时，解集为｛x|x.3｝。

19.【答案】解：(1)/(x+l)=lg(x2+2x+l).1./(x+l)=lg(x+1尸，令r=尤+1,/Q)=lgr：.f｛x｝=Igf,

XG(T»,0)(0,+OO)«

(2)/(x)=Igx2,xe(-oo,0)(0,-K»)/(-x)=lg(-x)2=Igx2=/(x),为偶函数。

(3)/(x)=lgx2,xe(-co,0)(0,-K»),当xe(0,+co)时/(x)=21gx,因为函数y=Igx在定义域上为

增函数，所以f(x)=Igx2在(0,+8)上单调递增，由(2)函数.f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故f(x)

在(-8,0)上单调递减。

20.【答案】解：(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为10()0+10(X)x8%=1080,两年后这种鸟类的个数

为1080+1080x8%~1166。

(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为

>>=1000x1.08',xeN。

(3)令1000x1.08'为4000,得：1.08,23两边取常用对数得：lgl.08'21g3,即xlgl.084g3,考虑到

1a3lg3

lgl.08