人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：5 .2 .1三 角函数的概念

5.2三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念

【学习目标】1.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义2掌握任意角三角

函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、

正切.4.掌握公式并会应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点一任意角的三角函数的定义

设a是一个任意角，a《R,它的终边OP与单位圆相交于点P（x,y）,

点P的纵坐标士叫做a的正弦函数，记作sina,即sina=工；点P的横坐标工叫做a的余弦函

数，记作cosa,即cosa=&把点P的纵坐标与横坐标的比值刎做a的正切，记作tana,即

tana=：(x#0).

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：

正弦函数＞=$[0¥,xCR；

余弦函数y=cosx,x£R；

正切函尤rD+ht（kez）.

思考三角函数值的大小与点P在角a终边上位置是否有关？

『答案』三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与

角a的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.

知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1.图不：

2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

知识点三公式一

sin(a+2%兀)=sina,

cos(a+2kji)=cosa,

tan(a+2E)=tana，

其中k£Z.

终边相同的角的同一三角函数的值相箜.

思考同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？

『答案』不一定，如sin30o=sinl50o=g.

■思考辨析判断正误

1.sina表示sin与a的乘积.(X)

2.设角a终边上的点P(x,y),尸=|。尸|W0,则sina=1,且y越大，sina的值越大.(X)

3.终边相同的角的同一三角函数值相等.(V)

4.终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(X)

题型探究探究重点素养提升

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一、任意角三角函数的定义及应用

例1(1)己知角a的终边与单位圆的交点为P(1,y)G，＜0),则tana=.

『答案』

『解析』因为点尼，)，)()，＜0)在单位圆上，则卷+)2=1,

44

所以y=一予所以tana=一5

(2)已知角a的终边落在射线y=2x(x20)上，求sina,cosa的值.

解设射线y=2x(x20)上任一点P(x(),泗)，

则|OP|=r=、焉+网,

*•*yo=2xo，：•r=y[5x(),

..32迅xo亚

..sina=r=5，cosa=：=5-

延伸探究

1.若将本例⑴中条件“a的终边与单位圆的交点为尸(|,))()，＜0)”改为“a的终边经过点

P(—3,-4)”，求角a的正弦、余弦和正切值.

解由已知可得|OP|=)(_3)2+(_4)2=5.

如图所示，设角a的终边与单位圆交于点Po(x,y).

分别过点P,Po作X轴的垂线PM，PoMo,

则|MP|=4,|M)BI=-y,

QM=3,|OMo|=—x,

AOMPsAOMoPq,

于是，sina=y=；IMoPol~\MP\

\OP0\~\OP\

x_\OMo\—\OM\3

cosa=x=Y

,5;

\op0r\OP\

ysina

tana==~='

xcosa

2.若将本例⑵中条件“a的终边落在射线)，=2x(x20)上”，换为“a的终边落在直线y=2x

上”，其结论又如何呢？

解(1)若a的终边在第一象限内,

设点P(a,2a)(“>0)是其终边上任意一点,

因为r=|OP\a2+4a2=y[5a

北~.y2a2#xay[5

所以sina=；=j^=5，c°sa=；=而=5-

(2)若a的终边在第三象限内,

设点P(a,2a)(〃<0)是其终边上任意一点,

因为「=|OP|=N42+4“2=一小a（a<0）,

2小

所以sina=：xa亚

5，c°sa=：=-=-5-

反思感悟利用三角函数的定义求值的策略

(1)已知角a的终边在直线上求a的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种:

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.

②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(出b)(aW0),则

对应角的正弦值sina=^==p,余弦值cosa=^j==p,正切值tana=^.

(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

跟踪训练1已知角a的终边过点P(-3a,4n)(aW0),则2sin«+cosa=.

『答案』1或一1

『解析』因为r=[(—3a)2+(4a)2=5|a|,

①若”>0,则r=5a,角a在第二象限.

,V4a4x—3a3

--=-

sma=r=75a=75,rcos5aa=75-=—7,

所以2sina+cosa=^—1.

②若a<0,则r=-5a,角a在第四象限，

,4a4-3a3

sin«=~~~—7,cosa=~——7.

—5aJ—5a5

所以2sina+cosa=­§+；=—1.

二、三角函数值符号的运用

例2(1)己知点P(tana,cosa)在第四象限，则角a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)下列各式：

①sin(—100°)；②cos(—220°)；③tan(-10)；©COSTT.

其中符号为负的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

『答案』(1)C(2)D

tana>0,

『解析』(1)因为点尸在第四象限，所以有八

cosa<0,

由此可判断角a的终边在第三象限.

(2)—100。在第三象限，故sin(—100°)<0；-220。在第二象限，故cos(—220。)<0；

—10G(—彳兀，一3兀)，在第二象限，故tan(—10)<0,cos7t=—1<0,

反思感悟判断三角函数值正负的两个步躲

⑴定象限：确定角a所在的象限.

(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.

跟踪训练2己知点P(sina,cosa)在第三象限，则角a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

『答案』C

三、公式一的应用

例3计算下列各式的值：

(l)sin(-1395°)cos11100+cos(-1020°)sin750°；

,c、•，>1^,12TI，

(2)sinl—丁'I+cos-ytan47t.

解⑴原式

=sin(—4X360。+45°)cos(3X360°+30°)+cos(一3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin45°cos300+cos60°sin30°

―22■h2X2-4十4-4,

(2)原式=sin(—2兀+事)+cos(2兀+誉)an(4兀+0)=sin^+cos誉X0=^.

反思感悟利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤

将已知的任意角写成歌宣+a的形式，其

中ae[（）,2E）,4ez

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根据诱导公式一，转化为求用a的某个

三角函数值

若角为特殊角,可直接求出该角的三角

函数值

『答案』C

"解析』cos405°=cos（45°+360°）=cos450=多

（2）sin^|^+tan（-.

『答案』坐+1

。解析』sin^^+tan]—^"1^）=sin停+8?t）+tan信-47t）=sing+tan^=^+1.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.已知角a的终边经过点（一4,3）,则cosa等于（）

433

-B--

55-5D7

答案

2.sin（—315。）的值是（）

A.一坐B.-上芈D.g

『答案』C

『解析』sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45°=勺.

3.若sin"cos(9>0,则6»在()

A.第一或第四象限B.第一或第