微专题10 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题（十四大题型）（原卷版）

微专题10玩转外接球、内切球、棱切球经典问题【题型归纳目录】题型一：正方体、长方体模型题型二：正四面体模型题型三：对棱相等模型题型四：直棱柱模型题型五：直棱锥模型题型六：正棱锥与侧棱相等模型题型七：侧棱为外接球直径模型题型八：共斜边拼接模型题型九：垂面模型题型十：最值模型题型十一：二面角模型题型十二：圆锥圆柱圆台模型题型十三：锥体内切球题型十四：棱切球【方法技巧与总结】技巧总结一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4技巧总结二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．技巧总结三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．技巧总结四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出技巧总结五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．技巧总结六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．技巧总结七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．技巧总结八：共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．技巧总结九：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2技巧总结十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等技巧总结十一：二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．技巧总结十二：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．技巧总结十三：锥体内切球方法：等体积法，即技巧总结十四：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】题型一：正方体、长方体模型【典例1-1】（2024·天津市第一中学滨海学校高一阶段练习）正方体外接球的体积是，那么外接球的直径为___________，正方体的表面积为___________．【典例1-2】（2024·辽宁·东港市第二中学高一阶段练习）在长方体中，；点分别为中点；那么长方体外接球表面积为__________；三棱锥的外接球的体积为__________．【变式1-1】（2024·湖南·高一阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___．题型二：正四面体模型【典例2-1】（江苏省镇江市2023-2024学年高一学期期末数学试题）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24π的球面上，则该四面体的体积为_____．【典例2-2】（2024·天津南开·高二学业考试）表面积为的正四面体外接球的体积为__________．【变式2-1】（2024·辽宁鞍山·二模）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为______．题型三：对棱相等模型【典例3-1】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为A． B． C． D．【典例3-2】（2024•永安市校级期中）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．【变式3-1】（2024•五华区校级期中）如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点，，，满足，，，则该“鞠”的表面积为A． B． C． D．题型四：直棱柱模型【典例4-1】（2024·辽宁·昌图县第一高级中学高一阶段练习）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·广西桂林·高二期末）直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2024·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．题型五：直棱锥模型【典例5-1】（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，，则四棱锥的外接球O的表面积是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π【典例5-2】（2024·河南·濮阳一高高一期中）已知三棱锥中，底面，则此几何体外接球的体积为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2024·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．题型六：正棱锥与侧棱相等模型【典例6-1】（2024·江苏南通·高三期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（

）A．16π B． C．8π D．【典例6-2】（2024·江苏·扬中市第二高级中学高二阶段练习）已知正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，若三棱锥体积为，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式6-1】（2024·重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．题型七：侧棱为外接球直径模型【典例7-1】（2024•本溪月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且；则棱锥A． B． C． D．【典例7-2】（2024•云南校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A． B． C． D．【变式7-1】（2024•防城港模拟）体积为的三棱锥的所有顶点都在球的球面上，已知是边长为1的正三角形，为球的直径，则球的表面积为A． B． C． D．题型八：共斜边拼接模型【典例8-1】（2024·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【典例8-2】（2024·江西赣州·高二期中）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（

）A． B． C． D．【变式8-1】（2024·全国·高三专题练习）三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB．则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（

）．A． B． C． D．题型九：垂面模型【典例9-1】（2024·全国·高三专题练习）四棱锥的底面是矩形，侧面平面，，，则该四棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【典例9-2】（2024·山西·祁县中学高三阶段练习（文））已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，于，，，，，则四棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式9-1】（2024·福建·厦门一中高三阶段练习（理））三棱锥中，，，，，若平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为________．题型十：最值模型【典例10-1】（2024·贵州遵义·高三开学考试）已知三棱锥的四个顶点均在体积为的球面上，，，则三棱锥的体积的最大值为（

）A． B． C． D．【典例10-2】（2024·全国·三模）已知三棱锥的体积为，其外接球的体积为，若，，则线段SA的长度的最小值为（

）A．8 B． C．6 D．【变式10-1】（2024·辽宁抚顺·一模）已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（

）A． B． C． D．题型十一：二面角模型【典例11-1】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【典例11-2】（2024·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________．【变式11-1】（2024·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.题型十二：圆锥圆柱圆台模型【典例12-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（

）A． B． C． D．【典例12-2】（2024·云南昆明·高三开学考试）“云南十八怪”描述的是由云南独特的地理位置、民风民俗所产生的一些特有的现象或生活方式，是云南多元民族文化的写照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽当锅盖”所指的锅盖是用秸秆或山茅草编织成的，因其形状酷似草帽而传为佳话.一种草帽锅盖呈圆锥形，其母线长为6dm，侧面积为，若此圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，则该球体的表面积等于______.【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．题型十三：锥体内切球【典例13-1】（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，，，则该三棱锥内切球的表面积为____________．【典例13-2】（2024·全国·高三专题练习）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式13-1】（2024·甘肃酒泉·模拟预测）三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥内切球的表面积为（

）A． B． C． D．题型十四：棱切球【典例14-1】（2024·江西·进贤县第一中学高二期中）球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【典例14-2】（2024·山东·德州市第一中学高一阶段练习）边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____．【变式14-1】（2024·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．【过关测试】1．（2024·高一·广东·期末）把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上