辽宁省营口高中等重点协作校2025届高一下数学期末综合测试试题含解析

辽宁省营口高中等重点协作校2025届高一下数学期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．向量，，若，则（）A．5 B． C． D．2．已知角α的终边上有一点P（sin，cos），则tanα=（）A． B． C． D．3．若，，，，则等于（）A． B． C． D．4．已知向量，，，则（）A． B． C． D．5．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（）A．-2 B．2 C．-98 D．986．已知圆心在轴上的圆经过，两点，则的方程为（）A． B．C． D．7．给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．样本中共有个个体，其值分别为、、、、.若该样本的平均值为，则样本的方差为（）A． B． C． D．9．若，则的最小值为（）A． B． C． D．10．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列满足，，，则数列的通项公式______.12．如图所示，E，F分别是边长为1的正方形的边BC，CD的中点，将其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___________.13．在平面直角坐标系中，定义两点之间的直角距离为：现有以下命题：①若是轴上的两点，则；②已知，则为定值；③原点与直线上任意一点之间的直角距离的最小值为；④若表示两点间的距离，那么.其中真命题是__________（写出所有真命题的序号）.14．已知角的终边上一点P的坐标为，则____.15．己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：单位：万元01234单位：万元1015203035若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为_____16．函数的最小正周期为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱锥中，底面ABC，D是PC的中点，已知，，，，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的余弦值大小.18．已知数列满足，.(Ⅰ)求，的值，并证明：0<≤1；(Ⅱ)证明：；(Ⅲ)证明：.19．已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．20．(1)已知，且为第三象限角，求的值(2)已知，计算的值.21．已知向量.(1)若，求的值；(2)当时，求与夹角的余弦值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由已知等式求出，再根据模的坐标运算计算出模．【详解】由得，解得．∴，，．故选：A．【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础．2、A【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【详解】解：∵角α的终边上有一点P（sin，cos），∴x＝sin，y＝cos，∴则tanα，故选A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3、C【解析】

利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值．【详解】，，则，，则，所以，，因此，，故选C．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．4、D【解析】

利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数的值.【详解】，，，，解得，故选D.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.5、A【解析】

由在R上是奇函数且周期为4可得，即可算出答案【详解】因为在R上是奇函数，且满足所以因为当时，所以故选：A【点睛】本题考查的是函数的奇偶性和周期性，较简单.6、A【解析】

由圆心在轴上设出圆心坐标,设出圆的方程,将,两点坐标代入,即可求得圆心坐标和半径,进而得圆的方程.【详解】因为圆心在轴上,设圆心坐标为,半径为设圆的方程为因为圆经过,两点代入可得解方程求得所以圆C的方程为故选:A【点睛】本题考查了圆的方程求法,关键是求出圆心和半径,属于基础题.7、B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.8、D【解析】

根据样本的平均数计算出的值，再利用方差公式计算出样本的方差.【详解】由题意可知，，解得，因此，该样本的方差为，故选：D.【点睛】本题考查方差与平均数的计算，灵活利用平均数与方差公式进行求解是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.9、D【解析】

根据对数运算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.【详解】由得：且，（当且仅当时取等号）本题正确选项：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用对数运算得到积的定值，属于基础题.10、D【解析】

根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能在平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题意得出，利用累加法可求出.【详解】数列满足，，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.12、【解析】

根据折叠后不变的垂直关系，结合线面垂直判定定理可得到为三棱锥的高，由此可根据三棱锥体积公式求得结果.【详解】设点重合于点，如下图所示：，，又平面，平面，即为三棱锥的高故答案为：【点睛】本题考查立体几何折叠问题中的三棱锥体积的求解问题，处理折叠问题的关键是能够明确折叠后的不变量，即不变的垂直关系和长度关系.13、①②④【解析】

根据新定义的直角距离，结合具体选项，进行逐一分析即可.【详解】对①：因为是轴上的两点，故，则，①正确；对②：根据定义因为，故，②正确；对③：根据定义，当且仅当时，取得最小值，故③错误；对④：因为，由不等式，即可得，故④正确.综上正确的有①②④故答案为：①②④.【点睛】本题考查新定义问题，涉及同角三角函数关系，绝对值三角不等式，属综合题.14、【解析】

由已知先求，再由三角函数的定义可得即可得解．【详解】解：由题意可得点到原点的距离，，由三角函数的定义可得，，，此时；故答案为．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15、【解析】

由已知表格中数据求得，，再由回归直线方程过样本中心点求得，得到回归方程，取即可求得答案．【详解】解：，，，．则，取，得．故答案为：【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．16、【解析】

先将转化为余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.【详解】解：最小正周期为.故答案为【点睛】本题考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】

（1）先求出，然后由底面ABC得，即可算出答案（2）取的中点，可得是异面直线BC与AD所成的角（或其补角），然后在中，用余弦定理即可算出【详解】（1）因为，，所以因为底面ABC，所以（2）如图，取的中点,连接，则所以是异面直线BC与AD所成的角（或其补角）在中，所以由余弦定理得所以异面直线BC与AD所成的角的余弦值大小为【点睛】求异面直线所成的角是将直线平移转化为相交直线所成的角，要注意异面直线所成角的范围是.18、(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)见证明；(Ⅲ)见证明【解析】

（I）直接代入计算得，利用得从而可证结论；（II）证明，即可；（III）由（II）可得，即，，应用累加法可得，从而证得结论．【详解】解：(Ⅰ)由已知得，.因为所以.所以又因为所以与同号.又因为＞0所以.(Ⅱ)因为又因为，所以.同理又因为，所以综上，(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可得所以，即所以，，...，累加可得所以由(Ⅱ)可得所以，即所以，，...，累加可得所以即综上所述.【点睛】本题考查数列递推公式，考查数列中的不等式证明．第（I）问题关键是证明数列是递减数列，第（II）问题是用作差法证明，第（III）问题是在第（II）问基础上用累加法求和（先求）．19、(1)；（2）.【解析】试题分析：(1)由于为等差数列，根据已知条件求出的第一项和第三项求得数列的公差，即得数列的通项公式，移项可得数列的通项公式；（2）由（1）可知,通过分组求和根据等差数列和等比数列的前项和公式求得的前项和.试题解析:（1）设数列的公差为，∵，∴，∴，∴．（2）考点：等差数列的通项公式及数列求和.20、（1）；（2）【解析】

（1）由，结合为第三象限角