人教版高中数学必修五学案 突破四 数列求和

专题突破四数列求和

【学习目标】1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题

要点2掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点3

掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步

熟悉错位相减法.

I自主学习-----------------预习新知夯实基础

知识点一分组分解求和法

思考求和：g+2=+351-----F(〃++).

答案lT+2*+3*H------F(〃+/)=(l+2+3H------l-/2)+(j+^2+pH------

〃("+1),一呼)

12

»(»+!),._J_

21

总结分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求

和.

知识点二奇偶并项求和法

思考求和一一22+32-42-1------F99*2-1002.

答案l2-22+32-42H------1-992-1002

=(l2-22)+(32-42)H------k(992-1002)

=(1-2)(1+2)+(3—4)(3+4)H----1-(99-100)(99+100)

=一(1+2+3+4+“・+99+100)

=-5050.

总结奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的

等差数列、等比数列求和.但当求前”项和而〃是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.

知识点三裂项相消求和法

思考我们知道借15=5一击,试用此公式求和：土+壶+-+木.

答案由拓1nrlWr得

■,।,,_!_

IX22X3n(n+l)

=1—.•+—

总结如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂

法，然后仿照裂开每一项.裂项相消求和常用公式：

⑴〃(〃+%)=焉一扃R；

⑵局+3―)；

(3)(2n-l)(2n+1)=2(2H-1-2n+P；

(4)——!——=lr—______!―1.

n(n+l)(n+2)2«(«+1)(«+l)(n+2)

知识点四错位相减求和法

思考记儿=〃・2",求数列出“｝的前〃项和&.

答案V5„=1-2+2-22+3-23+-+n-2n,①

2S„=l-22+2-23+3-244-----卜(〃-l)-2n+n-2n+l,②

①一②，得一S“=2i+22+23+24H-----F2,,-n-2n+l

=-2-(»-l)-2n+l.

.*.S„=2+(n-l)-2,,+I,rt£N*.

总结错位相减法主要适用于｛斯｝是等差数列,｛力,｝是等比数列，求数列｛斯瓦｝的前〃项和.

利用“错位相减法”时，先写出S“与qS”的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1-4)&

的表达式：(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1).

思考辨析判断正误

1.并项求和一定是相邻两项结合.(X)

2.裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消.(X)

|题型探究启迪思维探究重点

题型一分组分解求和

例］求和：5“=(》+!)2+(/+5)2*1----b(x"+5)2(xW0).

解当xW±l时，

S"=G+5+(?+抄+…+('"+身

=仅+2++)+3+2+3+…+仗"+2++)

=(X2+X4H---Fx2n)+2n+Qi+H----1-5)

》28"一I),/'］一”")

=-?=T-+i-x~1+2n

(X2II-1)(A-2"+2+1)^

_x2,,(x2-l)+2"；

当x=±l时，Sn=4n.

综上知，

⑷3X=±l,

吊=4(钟一1)(，"+2+1)

卜2〃，xN±l且xWO.

反思感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等

差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和.

跟踪训练1已知正项等比数列｛%｝中，m+的=6,的+如=24.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)数列｛bn｝满足bn=log2aw，求数列｛斯+｝的前i项和.

解(1)设数列｛〃“｝的公比为夕(力0),

ci\+a］，q=6,

(”•才+。「夕3=24,

。1=2,

0=2,

an=a｝-/li=2,2“T=2”.

n

(2A=10g22=H,设｛斯+瓦｝的前〃项和为Sn，

则S”=31+/)+(°2+/)T---卜(%+bn)

=(〃］+做+…+〃“)+("+历+…+6)

=(2+2?+…+2")+(1+2+…+〃)

2X(2〃T)项+〃)

2-1-2-

-2"+,-2+1n2+1n.

题型二裂项相消求和

例2求和：—^^丁心2,“GN*.

32〃+1*

二厂而由?心2,〃GN).

引申探究

求和：用彳+产彳+产----帝二T，"22,〃WN・

=(〃T)+(昌+/+七+…+土)

以下同例2解法.

反思与感悟求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为火”+1)

-A〃)的形式，常采用裂项求和法.

跟踪训练2求和：

F+2+l+2+3-1l-l+2+3H------\-nnGN

2

解；斯=1+2+・“+”=

n(n+l)

•••S，=2(T+A%“+5—1=系.

题型三奇偶并项求和

例3求和：S〃=—1+3—5+7------F(—1)”(2〃-1).

解当〃为奇数时，

5〃=(-1+3)+(—5+7)+(—9+11)+・・・+[(-2〃+5)+(2/-3)]+(—2九+1)

n—1,

=2--2—+(­2〃+1)=-n.

当“为偶数时，

S〃=(—1+3)+(—5+7)+,,,+[(—2〃+3)+(2〃-1)]=2片=〃.

反思与感悟通项中含有(一1)”的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇

数和偶数分别进行求和.

跟踪训练3已知数列一1,4,-7,10,(-1)”-(3〃-2),…，求其前w项和

解当〃为偶数时，令〃=2A(AeN*),

S,尸52*=—1+4—7+10+…+(-1)%(3〃-2)

—-1+4)+(—7+10)+,,,+[(一6%+5)+(6%—2)]

°,3

=3k=5〃；

当〃为奇数时，

令”=2k+l(AWN*).

—3〃+]

S”=S2«+i=S2*+a2«+i=3%-(6/+1)=5-

-3：'],"为奇数,

S"=

当，”为偶数.

题型四错位相减求和

例4(2018・佛山检测)已知数列｛斯｝的前n项和为S”且满足%=3S“一2(〃GN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求数列｛〃斯｝的前"项和Tn.

解(1)当〃=1时，ai=3Si—2=3〃i—2,解得。1=1.

当时，an=3Sn—2,an-j—3S„-i—2,

=

两式相减得四一an-\3anf化简得—呼〃-1，

所以数列｛斯｝是首项为1,公比为一3的等比数列,

所以a„-"T,"GN".

(2)由⑴可得'"=〃•1

=A(〃+D,(-

所以数列｛”｝的前n项和

反思感悟用错位相减要“能识别，按步走，慎化简”.

跟踪训练4已知数列的通项公式为斯=3”T,在等差数列｛b｝中，为>0,且加+历+生

—15,又见+历,例+岳，的+仇成等比数列.

(1)求数列｛%历)的通项公式；

(2)求数列(七瓦｝的前”项和乙

解(1)：4"=3"1,■'•6Z|=1,。2=3,tZj=9.

;在等差数列出“｝中，仇+历+仇=15,二3历=15,则岳=5.

设等差数列｛儿｝的公差为d,又见+仇,a2+b2,的+仿成等比数列，

.♦.(1+5一或(9+5+办=64,解得d=-i0或d=2.

'：b„>0,.•"=一10应舍去，：.d=2,

b\—3,

故4瓦=(2"+l)-3"T,nGN*.

(2)由(1)知T„=3X1+5X3+7X32+-+(2n-l)3n-2+(2n+1)3"-1,①

37],=3X3+5X32+7X33H------F(2〃-1)3"一+(2〃+1)3",②

①一②，得

23nl

-27；(=3X1+2X3+2X3+2X3H------|-2X3--(2n+1)3"

=3+2(3+32+334------F3"T)—(2〃+1)3"

3-3"

=3+2X----(2n+l)3"

1—3

=3"_(2〃+1)3”

=~2n-3".

n

：.Tn^n-3,nSN*.

|达标检测-----------------检测评价达标过关

1.数列｛1+2〃T｝的前〃项和为.

答案S〃=〃+2"—1,

解析・・,斯=1+2〃T,

1—2"

S=n4--：〃+2"-1.

n1—2

2.数列[疝2M))的前2018项和为.

2019

解析因为舟=2七一制,

所以§2018=2(1—|-2018-2019,

4036

2019

n-1〃为奇数,

3.已知数列斯=则S](x)=

丸,〃为偶数,

答案5000

解析由题意得S\oo=a\+a2-\----Hc^+aioo

=(〃1+的+〃5~1F的9)+(〃2+〃4-l1~〃100)

=(0+2+4H——F98)+(2+4+6H——F100)

=5000.

4.在数列｛斯｝中，01=1,斯+]=2为+2〃，