四川省德阳市2024届高三年级下册“三诊”考试（理科）数学试题（含答案与解析）

德阳市高中2024届高三下学期“三诊”考试

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合"={*"<%<2024},3={用<力，若化8,则实数°的取值范围是（）

A.(2024,+co)B.[2024,+oo)C.(-oo,2024]D.(-oo,2024)

2.欧拉公式e"=cosd+isin9把自然对数的底数e,虚数单位i,cosd和sin。联系在一起，充分体现了数

学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足K玩+。/=1+乙则正确的是（）

A.z的共朝复数为_iB.z的实部为1

C.z的虚部为iD.z的模为1

3.在（2+九）（1+x）6的展开式中*3的系数是（）

A.30B.35C.55D.60

4.已知函数/（%）=sinx+cosx,且/XxJ=^-/（x0）,则tan2%的值是（）

5.执行下面的程序框图，输出的s=（）

25

B.

24

1

D.

6

Q<OPOA<1

6.已知向量QA=（l,0）,O3=（l,l）,O为坐标原点，动点P«y）满足约束条件＜则

0<OPOB<2

z=x—2y的最大值为（）

A.-2B.2C.-3D.3

7.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配

到A,B,C三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口.若甲、乙要求去同一

个路口，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.24种C.36种D.48种

8.a,0,平为不同的平面，m,n,1为不同的直线，则m_L0的一个充分条件是

A.n.\_a.nA./3,mLaB.ar\y-m.aVy

C.aA.Y./3A.y.mLaD.aL/3.ary/3=l.mLl

9.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y（单位:

小时）与储藏温度其单位：。C）满足函数关系.y=cax+\a,b.为常数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为288

小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设

物流过程中恒温）最高不能超过（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

10.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称

美.如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的

阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为0,则该多面体外接球的表面积为（）

B.4兀

4

C.2兀D.一兀

3

r2y2

11.设耳,工是双曲线C:二=1（。＞0/＞0）的左、右焦点，。是坐标原点，点尸是。上异于实轴

a一手

端点的任意一点，若IP片IIPEJ-|OP|2=2〃，则c的离心率为（）

A.73B.72C.3D.2

12.已知函数/（%）及其导函数/'（九）的定义域均为R,且（％—2）［/'⑴—〃切＞0,

/（4-%）=/（%）e4-2\则不等式03/（山£）＜4（3）的解集是（）

A.（0,e3）B.（l,e3）C.（e,e3）D,（e3,+oo）

第II卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.

13.已知函数加）=cos（x+e）是奇函数，则e的最小正值为.

JT

14.在中，角C的对边分别为a,4c；已知,若向量〃z=（c—4,a—Z?）,〃=（a-Z?,c+4）

满足力/；?，则-ABC的面积为.

15.己知两点M（—l,0）,N（L0）,若直线X—y+根=0上存在唯一点尸满足PMPN=0,则实数相的

值为.

16.已知尸为抛物线。：炉=4丁焦点，过点尸的直线/与抛物线C相交于不同的两点A、B,若抛物线C

在A、B两点处的切线相交于点P,则怛司2+吃的最小值为

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，且也｝的前w项和为S“,2q=4=2,%=5（a4—g），在①

々=4（d一4）,②2+i=S〃+2这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.

（1）求数列｛%｝和也｝的通项公式；

（2）设数列3的前〃项和为7；,是否存在加,〃eN*,使得q=（若存在，求出所有满足题意的

他J

以〃；若不存在，请说明理由.

18.某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益

M单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）：

月份123456

广告投入量27810

收益20303437

他们分别用两种模型①丁二法+即②了=恁麻进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图

所示的残差图及一些统计量的值.

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？

（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除.

（i）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；

（ii）若广告投入量x=19,则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元?（精确到0.01）

附：对于一组数据（西3），（9，%），，（土,”），其回归直线夕=晟+&的斜率和截距的最小二乘估计分别

n__〃__

,2（x,.-x）（y,-y）Y.x^-nxy__

为：5=归一^------------=号---------a=y-bx.

X（x,-x）2^%,2-nx

i=li=l

19.如图，在三棱柱ABC-4与G中，底面ABC是等边三角形，ZA.AB=ZAXAC,D为BC中点，过

8c的平面交棱AB于E,交AC于足

(1)求证:平面\AD，平面EBgF；

(2)若是等边三角形，A5=4,求二面角。―A4J—C正弦值.

20.已知椭圆：三+与=1(。〉5〉0)的离心率为立，其左右焦点分别为%、尸2,下顶点为A,右顶点

«2b22一

为B,钻的的面积为1+*1.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不过原点。的直线交C于M、N两点，且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列，求

△MON面积的取值范围.

21.设函数/(x)=6盂+cosx,g(x)=sinx+2.

(1)试研究尸(x)=，/—x+g(x)在区间(0,+oo)上的极值点；

(2)当尤20时，/(%)>.?(%),求实数a的取值范围.

请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第

一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

［选修4-4坐标系与参数方程］

2t

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为<,。为参数)，直线/的方程为x-y-1=0.以

1-r

坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线c的普通方程和直线/的极坐标方程；

3兀

(2)点P的极坐标为(1,万)，设直线/与曲线C的交点为A、B两点，若线段的中点为。，求线段

PD的长.

［选修4--5:不等式选讲］

23.已知a、b、c、［均为正数，且以/=Z?c.

(1)证明:若a+d>〃+c,则Ia-d|>|b-c|;

(2)若W/+/2q+/=+扬+/,求实数t取值范围―

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人=卜"<*<2024},3={用<4，若化8,则实数0的取值范围是()

A.(2024,+oo)B,［2024,+oo)C.(—8,2024］D.(—8,2024)

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.

【详解】集合A={x［l<x<2024},B={x\x<a},又AaB,贝UaN2024,

所以实数a的取值范围是［2024,+s).

故选：B

2.欧拉公式y=cose+isin6把自然对数的底数。，虚数单位i,cos。和sin。联系在一起，充分体现了数

学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数Z满足卜配+。/=1+乙则正确的是()

A.z的共朝复数为_iB.z的实部为1

C.z的虚部为iD.z的模为1

【答案】D

【解析】

【分析】由欧拉公式计算可得z=-i，再根据共辗复数、实部、虚部定义以及模长公式可得结果.

【详解】由e"=cos0+isin6（era=cos兀+isin兀=-1，

可彳日z=1+i=(1+D(T—D=T-"2i

所以(e'"+i)-z=(-l+i)-z=l+i“侍-一1+「(_L+i)(T—i)-l-P

所以z的共轨复数为i,即A错误;

z的实部为0,即B错误；

z的虚部为-1,所以C错误；

z的模为1,可知D正确.

故选：D

3.在（2+耳（1+尤）6的展开式中d的系数是（）

A.30B.35C.55D.60

【答案】C

【解析】

【分析】利用二项式定理求出所有含丁的项，计算可得系数.

【详解】由二项展开式的通项可得展开式中含/的项包括两项，

即2C：•『•/+V：.一.炉=Re：+C：）d=55%3,

所以展开式中V的系数是55.

故选：C

r

4.已知函数/（%）=sinx+cosx,且/（x0）=-1/（x0）,贝（JtanZ/的值是（）

232

A.--B.-C.-D.

343

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数"X）的导函数，利用给定等式求出tan%,再利用二倍角的正切计算即得.

【详解】函数/(%)=5111%+(：05%,求导得/(x)=cosx—sinx,

x=cosxsnx

由/'(毛)cosx0-sino~(o+io))解得tanx()=g,

2xl

故选：B

5.执行下面的程序框图，输出的s=()

1125

A.—B.

1224

3

C.一D.

46

【答案】A

【解析】

【分析】由程序框图循环结构，代入计算可得结果.

【详解】根据流程框图可知，第一次计算结果为5=0+工=」,"=4<8；

22

113

第二次循环计算可得s=—+—=—,〃=6<8；

244

3111

第三次循环计算可得s=—+—=—,72=8=8,不满足〃<8,循环结束,

4612

此时输出s=一

12

故选：A

Q<OPOA<1

6.已知向量QA=(l,0),O3=(l,l)，。为坐标原点，动点？(龙广)满足约束条件,则

Q<OPOB<2

z=x—2y的最大值为()

A.-2B.2-3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量数量积的坐标表示得出约束条件，画出可行域并利用直线的截距的几何意义求得结果.

【详解】易知OP=（x,y）,

Q<OPOA<10<%<1

所以约束条件〈即为《

0<OPOB<20<x+y<2

画出可行域如下图阴影部分所示:

将目标函数z=x—2y变形可得,=gx—；z,

当其在>轴上的截距最小时，z的取值最大；

对直线y=—%,令x=l,则y=—1,则A（1，T，

显然当直线y=gx平移到过点A（l,-1）时，Z取最大值3.

故选：D

7.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配

到A,B,C三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口.若甲、乙要求去同一

个路口，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.24种C.36种D.48种

【答案】C

【解析】

【分析】按照分组分配问题先将5人分情况讨论并分成三组，再分配到三个路口进行计算可得结果.

【详解】第一步：先将5名大学生分成三组，每组人数为1,1,3或1,2,2；

当分为1,1,3时，且甲、乙要求去同一个路口，则甲、乙必须在3人组，

因此只需从剩下的3人中任选一人，其余两人各自一组，共有C；种分法；

当分为1,2,2时，且甲、乙要求去同一个路口，则将剩下的3人分成两组即可，共有C；C；种分法；

第二步：再将分好的三组人员分配到三个路口，共有A；种分配方案；

因此共（（4+（2£；卜；=36种.

故选：C

8.a,P，丫为不同的平面，m,n,1为不同的直线，则m_L|3的一个充分条件是

A.n-La,n-Lj3,mB.ar\y=m,aVy,pVy

C.a-Ly,m±aD.aL/3,aC\/3—l,mLI

【答案】A

【解析】

【详解】解:因为a，B，y为不同的平面,m,n,l为不同的直线，则m_L|3的一个充分条件是〃_Ltz,"_L_L。,

选A

9.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：

小时）与储藏温度x（单位：。C）满足函数关系.y=cax+b{a,b.为常数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为288

小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设

物流过程中恒温）最高不能超过（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.

7fl+fo

e=288M171

【详解】依题意，\„+,,则,即e70=—,显然a<0,

e21a+b=3293

ar+b2la+b14fl+6

设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃,于是e>96=3.e2i“+&=『Je=e，

解得因此/W14,

所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.

故选：A

10.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称

美.如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的

阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为0,则该多面体外接球的表面积为（）

A.8兀B.4兀

4

C.2兀D.一兀

3

【答案】A

【解析】

【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体ABC。-44GR的棱切球，求出

该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.

【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示:

不妨取两棱中点为及尸，由题知=

易知BE上BF,BE=BF,可得BE=BF=1,

所以正方体的棱长为2,该多面体的外接球即为正方体ABCD-4耳。10的棱切球,

所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为2&，

因此该多面体的外接球的半径为四，所以其表面积为S=4兀（、历了=8兀.

故选：A

22

11.设片是双曲线c：\y=1（。>0/>0）的左、右焦点，。是坐标原点，点尸是。上异于实轴

a

端点的任意一点，若IPEIIPKI-1"『=2〃，则c的离心率为（）

A.73B.72C.3D.2

【答案】D

【解析】

【分析】设出点P坐标，利用两点间距离公式，结合点尸在双曲线上及给定等式化简计算即得.

2,2

【详解】令双曲线。:三—―二1的焦点耳（一。,0）,8（C,O），设尸（%,%）,%*0,

ab

-.212

2

|Pf；|=7(x0+c)+

auava

=J，■片+2/+/=1(X。+a1，同理IPF?1=1?x。—a|,

2

而故焉一。22c2一。2〉O,

a

2J2

因此2(r=|P4||Pg|-1OP『=—7片-a~-x；-y；=—7x；-%-cj2=b"-a2,

a'a"

即b~=3a2，所以双曲线C的禺心率6=g=Jl+%■=2.

a)la

故选：D

12.己知函数f(x)及其导函数fr(x)的定义域均为R,且(%-2)[r(%)-"%)]>。，

/(4-x)=/(x)e4-2\则不等式e3〃lnx)<4(3)的解集是()

A.(0,e3)B.(l,e3)C.(e,e3)D.(e)+oo)

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意可构造函数?（尤）=与，求得/（X）的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结

果.

【详解】构造函数尸（0=竽，则卢;

因为。一2）［/（同一〃切>。

所以当x>2时，/'（%）—/（X）>0,即尸（%）>0,此时方（％）在（2,+s）上单调递增；

当x<2时，/,（x）-/（x）<0,即〃（x）<0,此时方（%）在（—,2）上单调递减；

又/（"无""刀烂""所以/（：_同=小1,即网4一力=网力；

所以函数尸（九）图象上的点（x,尸（x））关于x=2的对称点（4—乂/（司）也在函数图象上，

即函数/（九）图象关于直线x=2对称，

不等式e7（lnx）<V（3）变形为"In：<,即</（3）；

xeee

可得E（lnx）<E（3）=E（l）,

又厂（左）在（2,+8）上单调递增,在（-8,2）上单调递减，

所以l<lnx<3,解得e<x<et

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据——/（%）］>0的结构特征构造函数

判断出其单调性，再由"4—x）=/（x）e4-2,得出其对称性解不等式即可.

第II卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.

13.已知函数y（x）=cos（x+e）是奇函数，则e的最小正值为.

JT

【答案】-

2

【解析】

JT

【分析】根据题意可得8=—+E,keZ,可求。的最小正值.

2

JT

【详解】由函数y=cos(x+，)为奇函数，可得8=—+E,左eZ,

2

TT

则6的最小正值为一.

2

TT

故答案为：—.

2

JT

14.在ABC中，角A5C的对边分别为a,4c；已知,若向量〃z=(c—4,a—Z?),〃=(a-Z?,c+4)

满足力/；?，则-ABC的面积为.

【答案】4月

【解析】

【分析】利用向量平行的坐标表示可得/+^-^=2^-16，再由余弦定理解得"=16,利用面积公式

可得结果.

【详解】根据题意由为友可得(c—4)(c+4)—(a—万)(a—9=0,

整理可得a?+。2_。2=2ab—16;

又。=/可知/+。2一=2而85c，即可得2"—16=ab,解得而=16；

33

所以ABC的面积为5=工。65山。=4百.

2

故答案为：

15.已知两点M(—l,0),N(l,0),若直线x—y+机=0上存在唯一点尸满足PM-PN=4，则实数机的

值为.

【答案】土行

【解析】

【分析】设出点P的坐标，求出点P的轨迹，再根据直线与圆相切求出机的值.

【详解】设点P(x,y),则PM=(—l—x,—y),PN=(l—x,—y),由PM.PN=0，得d+y'l，

因此点尸在以原点为圆心，1为半径的圆上，显然直线x-y+%=。与此圆相切,

\m\

则E?—1，解得m=土J5,

所以实数机的值为土0.

故答案为：土虚

16.已知尸为抛物线。：炉=4y的焦点，过点尸的直线/与抛物线C相交于不同的两点A、B,若抛物线C

在A、8两点处的切线相交于点P,则|PB『+向的最小值为.

【答案】5

【解析】

【分析】设出直线方程并于抛物线联立，利用焦点弦公式求得|/回=|”|+忸盟的表达式，再利用导数求

得切线方程得出P点坐标，可得「目2+告=442+4+"7彳，再由对勾函数性质即可得出其最小值.

An4/c+4

【详解】由抛物线。：f=4丁可知/（0,1）,

显然直线/的斜率一定存在，可设直线/的方程为丁=米+1,A（%,％）,6（%2，%）；

如下图所示：

X2=4y八

联立抛物线和直线/的方程〈，消去y可得12—4西—4=0；

y=kx+\

由韦达定理可得X+%2=4左，王%2=-4；

利用焦点弦公式可得I=IAF|+1跳1=乂+1+%+1=y1+y2+2=左a+%）+4=4〃+4；

由炉=4丁可得p=亍，求导可得y=］，

所以抛物线在点A处的切线方程为y—%=」（x—斗），由片=4打,

整理可得丁=4-]

同理可得点8处的切线方程为y=£x-十；

联立解得P12产，个;即。（2人1）；

可得忸叶=（2左）2+（―1—1）2=4左2+4;

,944

所以|尸尸|+­：---：=4k2+4H----------------

切力।\AB\4r+4'

44

令4%2+4=/«4,+8）,贝！）|尸典2+\AB\=t+l：

利用对勾函数性质可知函数y=f+；在[4,+“）上单调递增，

所以怛司+\AB\=t+7~4+4=5,当且仅当后二°时，等号成立；

24

即|尸盟+画的最小值为5.

故答案为：5

【点睛】关键点点睛：在求解抛物线在某点处的切线方程时，经常利用导数的几何意义得出切线方程表达

式即可解得交点坐标，再由焦点弦公式得出+向的表达式可求得最小值.

三、解答博：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，且也｝的前w项和为邑,24=4=2,%=5（%—生），在①

4=4（d—4），②%+i=S〃+2这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）设数列》的前”项和为7"，是否存在相,“eN*,使得<=册若存在，求出所有满足题意的

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)a,="(〃eN*),2=2",(〃wN*)

(2)m—l,n—2

【解析】

【分析】(1)根据等差数列定义可求得4=〃，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得

%=2";

〃+2

(2)利用错位相减法求出7；=2———,易知%,=根，又见"eN*可得机=1,"=2.

【小问1详解】

设等差数列｛%｝的公差为d,

由2al=2,%=5(%―%)可得4+4d=5(q+31—%—2d),解得弓=d=l-

所以4=%+(〃_l)d=〃，

即数列｛4｝的通项公式为凡="("cN*)

设等比数列也｝的公比为《，

若选择条件①，佐=4(%-4)，

由伪=2且&=4仅4一83)，可得加4=4仅1/一如2),

即4“+4=0,解得q=2,

所以｛勿｝是以伪=2为首项，公比为2的等比数列，可得々=2x2"T=2"("eN*)；

即数列｛0｝的通项公式为2=2"eN*)；

若选择条件②，bn+i=Sn+2,

令〃=1,则"=H+2=4,所以公比4=3=2,此时S“=2"i—2,经检验满足题意，

一4

即他“｝是以伪=2为首项，公比为2的等比数列，

所以々=2"(〃eN*)

【小问2详解】

假设满足题意得私〃存在,

■+“之+-.+。2

匕i1灯123n-1n

所以/=尹+声+及+…+下+尸'

两式相减可得!

因为岁〉0,所以4=2—5」＜2；

乙乙

〃+2

所以由北二册可得2—二1二加，即机＜2,又加wN*，

2

〃+2

所以m=1,即2—亍=1,解得〃=2,

因此满足题意的私〃存在，且m=1,"=2.

18.某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益

M单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）：

月份123456

广告投入量27810

收益20303437

他们分别用两种模型①丁二法+即②丁二痣麻进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图

所示的残差图及一些统计量的值.

(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？

(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除.

(i)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；

(ii)若广告投入量产19,则(1)中所选模型收益的预报值是多少万元?(精确到0.01)

附：对于一组数据(七，(X"，K)，其回归直线夕=良+&的斜率和截距的最小二乘估计分别

n__〃__

,Y.x^-nxy__

为：5=归一^------------=号-------1a=y-bx.

-nx

i=li=l

【答案】(1)模型①；

、105405

(2)(i)2一x+—；(ii)63.16.

3838

【解析】

【分析】(1)观察残差图，利用残差波动大小选择.

(2)(i)利用给定数据，计算最小二乘法公式中相关量，求出回归直线方程；(ii)利用求得的回归方程进

行数据估计.

【小问1详解】

由于模型①残差波动小，应该选择模型①.

【小问2详解】

-1

(i)剔除异常数据，即3月份的数据，剩下数据的平均数为x=gx(7x6-7)=7,

_155一

y=-x(30x6-30)=30,=1470-210=1260,-5xy=210,

5i=ii=i

55_9

Ex；=370-49=321,5必=76,

i=li=l

；105、-厂。八105r405

b=---,a=y-bx=30-----x7=---,

383838

所以所选模型的回归方程为亍=粤工+要.

3838

(ii)若广告投入量x=19,

1054051200

则该模型收益的预报值是X19+=®63.16（万元）.

383819

19.如图，在三棱柱ABC-AAG中，底面ABC是等边三角形，Z^AB^Z^AC,D为的中点，过

瓦G的平面交棱AB于E,交AC于足

(1)求证:平面平面后5。/；

(2)若.4A。是等边三角形，AB=4,求二面角。一相―C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

13

【解析】

【分析】(1)先证明3C_Z平面AA。，再证明面面垂直即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系得解.

【小问1详解】

连接

因为/耳AB=AAiAC,AB=AC,=AA^,

所以△4A3注△AAC,所以A5=AC.

因为。为BC的中点，所以

因为A5=AC,。为BC的中点，所以6CJ.AD

因为4。4。=。，4。,4。<=平面44。，

所以平面44。，

又B'CJIBC,所以Bg±平面AXAD,

又4clu平面E3jC/,

所以平面AA。，平面EBXCXF.

【小问2详解】

取AD的中点。，连接A。，

因为AA。是等边三角形，所以A。LAD,

由(1)可知平面则3C,AD，A。两两垂直,

故以。为原点，Q4所在直线为无轴，过。

作的平行线为y轴，。4所在直线为z

轴建立空间直角坐标系。-孙z,如图，

因为底面ABC是边长为4的等边三角形，所以4£>=2力，

因为&A。是等边三角形，所以4。=3,

所以A(后0,0),A(o,0,3)，网―后2,0),。卜后—2,0)

则A4,=(-AO,3),AC=(-2A-2,0),

设平面AAXC的法向量为〃=(%,y,z),

n-AAi=—y/3x+3z=0

由<令Z=l，得〃=（后

ri-AC=-2y/3x-2y-0

易知平面441c的一个法向量为BC=（0,-4,0）,

记二面角D-A^-C的大小为0,

…\n-BC\123

则nll|cos0\='-----=-7=—=—j=，

\n\\BC\y/13x4V13

故二面角D-A4-C正弦值为sin0=Vl-cos20=.

13

20.已知椭圆：三+1=1（。〉6〉0）的离心率为且，其左右焦点分别为%、&,下顶点为A,右顶点

ab2

为B,筋片的面积为1+3.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）设不过原点。的直线交C于M、N两点，且直线的斜率依次成等比数列，求

^MON面积的取值范围.

尤2

【答案】（1）土+丁=1

4-

（2）（0,1）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆离心率及，A3K的面积列式可得结果；

（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及条件得到相与左的关系，由点到直线的距离公

式、弦长公式表示面积，构造函数可得结果.

【小问1详解】

依题意e=-=—^>c=—a，又/+，=〃+—a2=>b=—a,

a2242

no1/A,if百）1a2Q01出

ABFl2\j222422

\J\J

所以〃2=4万=1,

所以椭圆C的方程为工+y2=l.

4-

【小问2详解】

由题意可知，直线的斜率存在且不为0,故可设直线：丁=履+m（加/0）,

工+2=1

用■（石，联立直线和椭圆<4+'一，

y=kx+m

化简得（1+4左之）d+Sknvc+4机2—4=0,

由题意可知A=（8Am）2—4（1+4左2）（4疗—4）>0,即1+4左？>/，

口—8km4m*2-4

且

则=（何+间（辰2+根）二左2石％2+加（石+%2）+4

(%Y―m2-4k2

=k2

1+4左21+4F1+4左2

又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列。即又•&=公，

石x2

则----二左2n4左2=1,所以0〈加2<2且加2w1，

4m—4

m2m

设点。到直线脑V的距离为2=万二+，

J1+左2V5

又IM=J（1+/）［（X］+X2）2—=J（l+F）］常^-4猾^

=J：x4(2—加2)={