广东省2024年九年级中考数学一轮复习：圆 模拟练习(含解析)

2024年广东省九年级数学一轮复习：圆模拟练习

一、单选题

1.（2023•广东广州•中考真题）如图，口48（：的内切圆I」/与8C,CA,分别相切于点。，E,尸，若U/

的半径为r,ZA^a,贝的值和NF/%的大小分别为（）

A.2r,90°aB.0,900-aC.2r,90°-—D.0,900--

22

2.（2023・广东・中考真题）如图，是II。的直径，ZBAC=50°,贝UZ/）=（）

40°c.50°D.80°

3.（2023•广东清远•二模）如图，在边长为4正方形4武力中,点E在以2为圆心的弧4c上，射线/）“

交于尸，连接CK,若CEAJ）&',则/）£=（）.

BC

A.2C.第D.

4.（2023•广东河•一模）如图，48为O。的直径，/C是O。的弦，点。是Uc上的一点，且

AD-C1).若4C=6,AB-10,则8/)的长为()

B

D

A.8B.3而c.10D.4x/10

5.（2023•广东湛江•一模）如图，AB、CD是口。的直径.,弦（龙〃仙,（方弧为loo。，则//oc的度数

为（）

D

C

A.30°B.39°C.40°D.45°

6.（2023-广东佛山•一模）如图，点/、B、C在上，NO8C=18°,则乙1=（）

A.18°B.36°C.72°D.144°

7.（2023-广东深圳•模拟预测）下列说法中正确的一项是（）

A.经过三点有且只有一个圆

B.在圆中，长度相等的弦所对的圆心角相等

C.有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

D.有两条边相等的直角三角形全等

8.（2023-广东清远・模拟预测）如图，48是半的直径,点（'在半11。上，Afi-2x/i3cn>»AC-6cm-

。是灯C上的一个动点，连接40,过点C作于月，连接加・.在点。移动的过程中，8〃•的最小

值为（）

D

c.<3D.2

9.（2023•广东云浮•一模）如图，切II。于C,点。从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，运

动1秒时O/）—2cm,运动2秒时0。长是（）

A.<5cmB.v6cmC.不cmD.2x12cm

10.（2023•广东深圳•二模）如图，在RtZkXBC中，ZACB900,tanfl=—,AB=10,。是8('上一动

3

点，C£J_/O于£,交8（’于点八贝立下的最大值是（)

A.空B.亚C.J3

D.53

56

11.（2023•广东阳江•二模）如果一个正多边形的中心角是45。，那么这个正多边形的边数是（）

A.4B.6C.8D.10

12.（2023•广东广州•二模）如图，正六边形48。九7••内接于110,点G是史上的一点，则4G/的度数

13.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，在1〃8c中，ZACB90°,4=60°,AH-2,以点8为圆心，BC

长为半径画弧，交边48于点。，则u/）的长为（）

D."

6333

14.（2023•广东珠海•一模）如图，切UO于4力两点，若NJ/行.60。，D〃的半径为3,则阴影部

A.18—3万B.9J3—3左C.9>/3—nD.9>y3—n

二、填空题

15.（2023・广东深圳・中考真题）如图，在II。中，为直径，C为圆上一点，/%（'的角平分线与II"

交于点D,若N4/JC-20°,则-°.

16.（2023•广东东莞•一模）如图，四边形48CD为口。的内接四边形，乙4一70°,则//X选的度数

为.

17.（2023•广东广州•一模）如图，48是U”的弦，OPLOi交AB于点、P,过点8的直线交OP的延长线

于点C,若CPCB,。4=3,OP1,则6c的长为

18.（2023•广东梅州•一模）如图，4B、。是DO上的三个点，48（7=26。，则//0C度数是

19.（2023•广东东莞•一模）如图，在平面直角坐标系中，已知。（3,4）,以点C为圆心的圆与y轴相切,

点/、2在x轴上，且。I二OB.点尸为UC上的动点，N/W归.90。，则48长度的最小值为.

20.（2023•广东广州•一模）如图，在IIO中，为直径，点M为力夕延长线上的一点，与1IO相切

于点C,圆周上有另一点。与点C分居直径48两侧，且使得MC="/）=＜（',连接//）.现有下列结论:

①与DO相切；②四边形4CA〃）是菱形；③AB二MO；®ZADM=\20P.其中正确的结论是

（填序号）.

21.（2023•广东揭阳•一模）一个正多边形的中心角为36。，则这个正多边形的内角和为度.

22.（2023•广东东莞•三模）如图，IX8C和[]/'肥。是两个完全重合的直角三角板，4=30°,斜边长为

12cm.三角板4/TC•绕直角顶点C顺时针旋转，当点/落在46边上时，则点看所转过的路径长为cm.

23.（2023・广东潮州•一模）如图，正方形的边长为2,分别以4。为圆心，以正方形的边长为半径的圆

相交于点〃，那么图中阴影部分的面积为.

三、解答题

24.（2023•广东广州•中考真题）如图，在平面直角坐标系v中，点-2,0）,8（0,2）,。力所在圆的圆心

为。.将向右平移5个单位，得到P/）（点/平移后的对应点为C）.

（1）点D的坐标是,H/）所在圆的圆心坐标是；

（2）在图中画出曲），并连接4C,HD-,

（3）求由HD,OC',C/首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.（结果保留万）

25.（2023•广东•中考真题）综合探究

如图1,在矩形<加力中（彳8>/。），对角线/C,叨相交于点。，点A关于W）的对称点为4,连接

交8。于点£,连接C4'.

A'A'A'

:匚£5

图1图2图3

(1)求证：AA'1CA';

(2)以点。为圆心,0E为半径作圆.

①如图2,11〃与(力相切，求证：AA=y/3CA';

②如图3,II。与(R相切，4/)=1,求1)0的面积.

26.(2023•广东东莞•一模)如图，在中，ZACB-90°,延长C4到点，以//)为直径作DO,

二交助的延长线于点E,延长8C到点孔使8〃="二

D

FCB

(1)求证：£/，,是110的切线；

(2)若IJO的半径为5,AC4,AE8,求M的长.

27.(2023•广东汕头•一模)如图，ELWC内接于00.是直径,过点A作直线MN,且MN是II。的切

线.

⑴求证：ZMAC=ZABC.

⑵设。是弧4C的中点，连接以）交4C于点G,过点。作。£4/8于点E，交4C于点”.

①求证：FD=FG.

②若8（\3,AB5,试求力月的长.

28.（2023•广东肇庆•二模）如图，在RiZ\48（：中，ZC=90°,力。平分N2MC交8（'于点/）,（）为上

一点，经过点A,〃的UO分别交45,4C于点E,〃连接。尸交//）于点G.

（2）若NOFA60°,半径为4,在圆。上取点尸，使〃"）£一15。，求点P到直线的距离.

29.（2023•广东茂名•一模）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦的垂

直平分线交弧48于点C,交弦48于点/）,测得48-24cm,Cl）8cm.

（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

⑵求（1）中所作圆的半径.

30.（2023•广东河•三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图Q）,点。为坐标原点，I）”的半径为1,点4（3,0）.动点8在上，连接45,作等边（A,

H,（'为顺时针顺序），求。（'的最大值；

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路在图CD中，连接OB,以08为边在08的

左侧作等边△8OE,连接花.

（1）请你找出图中与（X'相等的线段，并说明理由；

（2）线段。C的最大值为

【灵活运用】

（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点〃的坐标为（5,0），点。为线段48外一动点，

且/”=2,PM-PB,ZBPM=9QP,求线段4M长的最大值及此时点〃的坐标.

【迁移拓展】

（4）如图③，BC4、5,点。是以8c为直径的半圆上不同于8、C的一个动点，以加）为边作等边

△48/）,请直接写出/（：的最值.

图③

参考答案：

1.D

【分析】如图，连接〃；IE.利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可.

【详解】解：如图，连接"；IE.

•••口/SC的内切圆口/与SC,CA,48分别相切于点。，E,F,

..BE=Bl),CD=CE,II-1AB,IE1AC,

..BI+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=O,ZAFI=ZAE1,

..Z£〃r_180°a,

AEDl'=-Z£//,=90°-a.

22

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性

质，属于中考常考题型.

2.B

【分析】根据圆周角定理可进行求解.

【详解】解：•・•/B是II。的直径，

..ZACB90°,

.N8/C5O。，

■.ZABC900-ZBAC4(f,

..IIII

-AC=AC'

：/)=ZABC=40°；

故选B.

【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键.

3.B

【分析】如图，连接8斤，过点2作8〃_LC出于点〃，根据圆的性质和等腰三角形的性质可定

EH=CH,ZWBC+ZHCB=90°,再结合正方形的性质可得N//BC=NDCE；再证口〃8C41£a)(AAS)

可得C〃即CK一2。£；然后再根据勾股定理列方程即可解答.

【详解】解：如图，连接W"过点8作8〃1（为于点〃,

•・•点E在以2为圆心的弧4C上，

-HCBE,

BHICE,

EH=CH,NHBC+zLHCB=90°,

••・四边形48C7)是正方形，

ZBCD=ZBCH+ZDCE=90°,

.ZHBC=ZDCE,

■fiC=CD,ZBHC=ZDEC=90°,

.山〃8c匈岚7)(AAS),

-CHDEEH,

：CE2DE,

在RtACD£中，（犷=CE1+DE1,

-42=（2DE）\DE2,

."用&5或/足（舍去）.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识

点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.

4.B

【分析】连接交4C于£,根据垂径定理推论再由垂径定理/"=1/C=3,再由勾股定

2

理计算0£,力。的长，从而求得的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正确作

出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接0Q,交/C于£,

R

2

D

.ADCD,

.・・点。是Be的中点,

..AE=-AC=3,()1)LAC,

2

.■.ZAE()=ZA1LD=9QP,

••,OA--AH-5,

2

•OE=&)A2OE'=4,

.♦"=5-4=1,

••-AD=M'AE1+DE1=50，

••・M?为UO的直径，

；.ZADB90°,

Bl)=>JAB2-Al)1=3x/l0，

故选：B.

5.C

【分析】连接。利用等边对等角，弦，圆心角，弧的关系，平行线的性质计算即可.

【详解】连接。£,

解：“先弧为100。，

..ZCOE100°,

■■(X=OE,

.NOCE=NQEC=.T00。=40。,

2

・；CE〃AB,

.ZAOC4X?£=40。，

故选：C.

【点睛】本题考查了等边对等角，弦，圆心角，弧的关系，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，圆的

性质是解题的关键.

6.C

【分析】本题考查圆周角定理，根据对边对等角，三角形的内角和定理，求出（'的度数，根据同弧所

对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出结果.

【详解】解：•.・点/、B、C在II。上，

.OB（X：,

..NOOiZOtiC=18°,

：.ZB（X：I800-2XI8°144°,

..乙4=1NW=72。；

2

故选C.

7.C

【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据弦与圆心角关系对B进行判断；根据平行四边形的判定方

法对C进行判断；根据全等三角形的判定对D进行判断.

【详解】解：A、经过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故此选项错误；

B、在同圆或等圆中，长度相等的弦所对的圆心角相等，故此选项错误；

C、有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故此选项正确；

D、有两条边相等的直角三角形不一定全等，故此选项错误.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了确定圆的条件、弦与圆心角的关系、平行四边形的判定及全等三角形的判定方法

等知识，正确有关图形的判定与性质是解题关键.

8.D

【分析】以/（'为直径画圆，圆心为"，连接8"、BC,在点/）移动的过程中，点”在以4（'为直径的

圆上运动，当"、〃、8共线时，/步.的值最小，最小值为（加一。%,利用勾股定理求出80即可解决问

题.

【详解】解：如图，以4C为直径画圆，圆心为"，连接8。、BC,

■.CE1A1）,

.ZAEC90°,

••・在点。移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，

・•・恕是直径，

ZACB900,

在山△4*'中，•.•JC=6cm,=2限m,

•••BC=^AB1-AC2=^（2<B）2-62=4（cm）,"E=3（cm）,

在RtA^CY/中，B"=xl（yCz+/iC2=7F+47=5，

■.（rE+BE>（XB,

・•・当。、"、8共线时，励:的值最小，最小值为。6—。£=5—3=2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点”的运动轨迹是在以

/（'为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题.

9.C

【分析】本题考查切线的性质、勾股定理，掌握切线性质是关键.先证得NOCO=%。，再利用勾股定理求

解即可.

【详解】解：•.•加切口。于C,

■AOC1）=^0°,

•••点。从C出发，以每秒1cm的速度沿C8方向运动，

・,.运动1秒时C/）—1cm,

又•.,运动1秒时OQ二2cm,

・•・在RtZ\O（力中，由勾股定理得：（）C=\JoD2-CD2=V22-I2=由，

•・・运动2秒时（力长为2cm,

••此时0〃=^oc2+Cl）2=丫+21=日.

故选：C.

10.B

【分析】取/c的中点O,连接OK,“-，延长/，我交48于7.证明。“二。4一",推出点E在以。为圆

2

心，2为半径的圆上运动，推出当/•.7与UO相切时，CF的值最大，根据切线的性质、平行线的性质及含

2

30度角的直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，取4C的中点。，连接O£,OF,延长/<‘£交于r.

・•.430°,

■.ZCAB=60°,AC=\AB^5,

2

■：CELAD,

.ZAC900,

•••E在口。上,

AO0('—,

2

■()E=()A=-,

2

二点E在以。为圆心，，为半径的圆上运动，

2

-11LAB,

・••当FT与00相切时,CF的值最大，

•••直线(方，直线”“都是II”的切线，

.FCME,

■ZJ-CE-ZFEC,

■.-ZCAE+ZACE=90P,ZACE+ZECF=90°,

■ZCAE^ZFCE,

NC/少+ZAET=90°,ZAET+N"T=90°,

ZJ；EC=2EAT,

.•./(：〃：4"30°,

：CF=FE,OC=OE,

■01-1EC,

■.AD1CE,

.■.()!­//AD,

■ZCOIZCADiO0,

-0F=2CF,

./，,5G

6

.•.C”的最大值为亚■.

6

故选：B.

【点睛】本题考查直角三角形30°角的性质、直线与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质等知识，解

题的关键是发现点£在以。为圆心，*为半径的圆上运动，并推出/，7与II"相切时，(？.的值最大.

2

11.C

【分析】根据正多边形的边数周角：中心角，计算即可得解.

【详解】解：这个多边形的边数是360°t45。=8,

故选：C.

【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关

键.

12.B

【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所多对的圆周角是圆心角一半定理即可.

•••六边形48Q见7•,是圆内接正六边形,

360°

,・ZAOB=——=60。，

6

.ZBGA=-ZAOH=30°,

2

故选：B.

【点睛】本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和

圆周角定理角度计算.

13.B

【分析】根据直角三角形的性质得到==根据已知条件得到△BCD是等边三角形，由等边三

角形的性质即可得到结论.

【详解】解：连接CD,

•.•〃1C8=9O°,4=60°,AB=2,

.•Z=30°,==

2

・・,以点"为圆心，8c长为半径画弧，交边4％于点。,

.・△8C7)是等边三角形，

.BD=BC=l,

故选：B.

【点睛】本题考查了含30。角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质及弧长公式，熟练掌握直角

三角形的性质是解题的关键.

14.B

【分析】如图所示，连接。可证△4OP出△80P(HL),,以皿=&皿，NJPO=30。，根据含30。

角的直角三角形的性质可计算出的值，由此可算出四边形3P8的面积，再根据四边形的性质，算出

/408的角度，可算出扇形。18的面积，由此即可求解.

【详解】解：如图所示，连接风

•••/M,尸8切口。于48,ZAPB-60°,

OA1AP,OB18尸，OA=OB,

。尸是的角平分线，则ZAPO=ZBPO=30°,

=OP是公共边，

啜△8OP(HL),

—S41top,

在Rt^AOP中，NOAP=90°,ZAPO=30°,OA=3,

AP=-JiOA=6x3=3G,

SwjMW'RxB万考,

'•=25/UOP=2x=9向,

在四边形OAPB中，ZAPB=60°,ZOAP=9Q°,ZOBP=90°,

...ZA()B=360°(90°+90°+60°)=l20°,

2

••S4MAit=^^x^x()A二］4x3?=3乃，

蹒取MT3603

・•・%影二S四边也“尸a—Sjji形3〃=9百一3乃，

故选：B.

【点睛】本题主要考查扇形，不规则图像面积的计算方法，掌握圆的基础知识，扇形的面积计算方法，不

规则图形面积的计算方法是解题的关键.

15.35

【分析】由题意易得N/CB=90°,ZADC=ZABC^20°,则有N8/C-70。，然后问题可求解.

【详解】解：•••血是口。的直径，

■ZACB90°,

•〃=〃：，4DC=20%

■.ZA1X：ZABC^2G0,

.•.N8/C=70°,

AD平分NBAC,

..AHAD=-^BAC^35°；

2

故答案为35.

【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键.

16.700/70度

【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键.直接利用圆内接四边形

对角互补与邻补角的性质推导可得出答案.

【详解】解：•••四边形做»为口。的内接四边形,

ZA+NBQ)=180°,即ZJiCD=18O0-Z4=11O°,

ZJX：E-1800ZBCD700,

故答案为：70°.

17.4

【分析】由垂直定义得乙l+4TO=90。，根据等腰三角形的性质由C7>=C8得NC力，-NC/冷，根据对顶角

相等得=所以〃fP0=NC8P,而4=NO8/,所以

ZOBC=ZCBP+AOBA=ZAPO+Z4=90°,设5C=x,则PC=x,在RtZXOBC中，根据勾股定理得到

32+X2=(X+1)2,然后解方程即可.

【详解】解：连接如图所示：

■.■OPLOA,

；.NA()P90°,

.■■AA+ZAPO-900,

CP=CB,

"CBP:NCPB,

而NCPB；ZAPO,

.-.ZAPOZCBP,

-OAOB,

：.ZANOBA,

.ZOBC=NCBP+NOBA=ZAP0+ZA=90°,

••.△Q8C为直角三角形，

设5C=x,则PCx,

在Rt/XOSC中，()B=3,0C=CP+0P=x+l,

OH1+BC1=OC"

.-.32+x2=(x+l)2,

解得：x=4,

即8c的长为4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质以及勾股定理，垂线定义理解，正确应用勾股定理

求出8('的长是解题关键.

18.52°

【分析】由圆周角定理即可得到答案.

【详解】解：26°,

:.ZAOC^2ZABC-52°,

故答案为：52°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解

题的关键.

19.4

【分析】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最小值是解题的关键.

连接OC,交lie上一点尸，以。为圆心，以。〃为半径作交X轴于/、3,此时的长度最小，根

据勾股定理和题意求得0P=2,则加？的最小长度为4.

【详解】解：连接。C,交OC上一点尸，以O为圆心，以。，为半径作U0,交x轴于/、B,此时的

.('(3,4),

OC=V32+42=5.

•••以点C为圆心的圆与y轴相切.

・•.DC'的半径为3,

-OI,=OC-3=2,

■OPOAOB2,

,•・恕是直径，

.ZP890。，

•••MJ长度的最小值为4,

故答案为：4.

20.①②③④

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含30°角的直角

三角形的特征，利用SSS得HC'Af。刍/M。，可得=再根据切线的判定及性质可判断①,

利用三角形的判定及性质得4('-A1),再根据菱形的判定即可判断②，利用含30。角的直角三角形的特征

可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键.

【详解】解：连接OC,OD,

OC=01),CM=DM,OM=OM,

.jl(W^I/W<?(SSS),

ZODM-ZOCM,

•.•MC与UO相切于点C,

：.Z(X：M=90°,

:.£0DM90°,

•••o/)是uo的直径，

.•.”。与110相切；故①正确；

CMO^DMO,

:"COMZOOM,

ZA(X：=ZAOD,

vOAOA,

幻UO/)(SAS),

:.AC^AD,

:.4C=AD=CM=DM,

.•・四边形ACM/)是菱形，故②正确；

■/AC=CM,

:.Z('AM=ZCMA,

:ZCOM-2ZCAM,

:.Z.C0M=2ACM0,

;.ZCW=30o,

:.OC=-()M,

2

:()C=-AB,

2

：.AB^OM,故③正确；

•.•四边形4cM/)是菱形，

ADAM=/DMA=ZAMC=Z.CAM=30°,

二乙〃W=120°,故④正确；

故答案为：①②③④.

21.1440

【分析】依据正多边形的中心角和为360。求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可.

【详解】解：因为正多边形的中心角为36。，且中心角和为360。，

所以这个多边形边数：360°^36°10,

则这个多边形的内角和为：(10-2)xl800=1440°.

故答案为：1440.

【点睛】本题考查了正多边形内角和公式、中心角性质，通过中心角求得边数是解题的关键.

22.2n

【分析】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性

质，根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到4=60°,/<C=；MJ=6cm,再根据旋转的

性质得('<=于是可判断IICN/为等边三角形，所以41。'=60。，然后根据弧长公式计算弧的长

度即可.

【详解】解：•••4C890°,"=30°,AB-12cm,

=60°,"-；AH6cm,

•.•三角板A'H'C绕直角顶点C顺时针旋转，点/落在48边上，

■CA'=CA,

・•.uW为等边三角第,

43=60°

：•弧4f的长度=铝：6=2gn,

1oO

即点所转过的路径长2;rcm.

故答案为：2%.

23.-n+4-2^3

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、扇形面积、弓形面积的计算，连接4，，过点A作

AE1PD，易得△//'/)为等边三角形，从而利用割补法求得阴影部分的面积即可，准确识图，添加适当

的辅助线构造规则图形是解此题的关键.

【详解】解：如图，连接4RDP,过点A作/“1尸/),

由题意可得=

.山初0为等边三角形，

:.ZJR)=ZADP=60。,

QAELPD,

:.I)E=-PC\,Z1)AE-30°,

2

:.AE=y[iDE=B

••・弓形p〃的面积为60nx2-1X2X=2k一6,

36023

••・空白部分的面积为2隹沪2(*可_*叶21g+2G同=2品声,

・•・阴影部分的面积为4-(2方-声)=京+4-26

2L

故答案为：—7t+4-2\/3.

24.(1)(5,2),(5,0)

(2)见解析

(3%+10+2五

【分析】（1）根据平移的性质，即可解答；

（2）以点（5,0）为圆心，2为半径画弧，即可得出曲）；

（3）根据弧长公式求出［8,根据平移的性质得出4c=8。=5,根据勾股定理求出C7）,最后相加即

可.

【详解】（1）解：•••8（0,2）,知?所在圆的圆心为0（0,0）,

；・〃（5,2）,也）所在圆的圆心坐标是（5,0）,

故答案为：（5,2）,（5,0）；

•”(-2,0),8(0,2),

.・“8的半径为2,

•4”,

,•・将融向右平移5个单位，得到也）,

./C=M=5,C(3,0),O(5,2),

••CDV22+22-2v2，

;由融，BD,IX：,。首尾依次相接所围成的封闭图形的周长=四+5*2+26="10+2c.

【点睛】本题主要考查了平移的性质，求弧长，勾股定理，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等,

弧长公式/二"巴，以及勾股定理的内容.

180

25.（1）见解析

（2）①见解析；②竺在■乃

【分析】（1）由点A关于用）的对称点为彳可知点£是/4的中点，ZAEO90°,从而得到。后是

的中位线，继而得到QE〃/C,从而证明

（2）①过点。作O/U四于点人延长"）交。）于点G,先证明nOCG4JtM/（AAS）得到

由口。与CD相切，得到（）G=0射，继而得到OE=OF,从而证明/（）是//）”的角平分线，即

ZOAE^ZOA1-,NOAE=NOAF=x,求得N/O£=2x,利用直角三角形两锐角互余得到

ZAO1：+ZOAE^90°,从而得到/。4£=30°,即44'47=30。，最后利用含30度角的直角三角形的性质

得出Ger;

②先证明四边形是正方形，得到（九'=0/7=4〃，再利用是EUC4'的中位线得到（〃：.一；"（’,

从而得到O〃=C〃，NOC〃=45°,再利用平行线的性质得到&OK=45。，从而证明△4*0是等腰直角

三角形，AE-OE,设AE=OE=r,求得/用=（后l）r,在电△>!/明中，川？+谶=心即

/+（及_1丫/=产，解得产=2;金，从而得到J。的面积为8=仃2=邛3r.

【详解】⑴•••点A关于8/）的对称点为4,

.・•点E是4f的中点，440=90。，

又•.•四边形力以'/）是矩形，

■-0是AC的中点，

.•・0£是"40'的中位线，

■OE/ZA'C

■ZAA'C=ZAEO=90P,

■.AA'LCA'

(2)①过点。作0*146于点尸，延长”。交C7)于点G,则N0/，N=90°,

••・四边形48c7)是矩形，

.­.ABii(l),A()^BO=CO=DO,

"0CG=N0AF,N0G€=N0FA=9QP.

：N0CG=N0用;,Z0GC=ZOEA=90P,A()=C0,

.•.IIOCG9I6M”(AAS),

.(X；()1\

•・•口0与('/)相切，(加为半径，Z()(；C=9QP,

..(X,0E,

：.OE=OI-

又.Z/f£0=90°即0E14E,OF1AB,

.AO是NEAF的角平分线，即NOA卜,

设ZOAE=AOAb二x,则ZOCG=/"/*'=x,

又a)-zx)

：N0CG=N0DG=x

ZAOE=Z0CG+Z0DG=2x

又；ZAEO90°,即是直角三角形，

.ZAOE+ZOAE=90P,即2x+x=90°

解得：x=30°,

■.ZOAE=30P,即4'/C=30°,

在RtZ\4ZC中，ZA'AC=30P,ZAA'C=90P,

■AC-2CA),

・AA'=>JAC2-CA,2=yl(2CA')2-CA'2=GCf;

②过点。作OH1A'C于点H,

A'

H

•••口。与C才相切,

-OE^OH,ZA'H()^9QP

•••ZAA'C=ZAEO=ZA'EO=ZA'HO=90°

••・四边形是矩形,

又-OH,

四边形是正方形，

.-.()E=OH=A'H,

又「OE是口4。'的中位线,

..OE-AC

2

：.A'H=CH=-A'C

2

.OH=CH

又

"OCH=45。

又。£〃/C,

.-.ZAOE=45°

又yZAE()90°,

・•.△4KO是等腰直角三角形，AE=OE,

设AE=OE=r,则A()=DO=4AE,+OE2=>lir

..l)E^DO-OE=42r-r=U2-l)r

在Rt^ADE中，AJ产+DE1=AD1，Al)=\

即/+(&-1丫/=P

2_]_I_2+&

.由0的面积为：5=42="也万

4

【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质

与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关

键.

26.(1)见详解

⑵防

【分析】(1)连接。〃，根据初•="，OE^OA,可得4£F=N£E/J,Z()EA=ZOAE,再根据

ZEBF+ZC^?=90o,ZCAB^ZOAE,可得/%尸+/*=90。，即有半径。问题得证；

(2)连接过。点作ON_L4£于点片,利用垂径定理可得祐=AM=4=4C,OC=OA+AC=9,即

NO=3,再证明UO4N空N1MC,即有BC=NO=3,设BF=EF=X,即/；C=M-BC=x-3,在

和RHJOC7-中，有0尸=0Et+斯2,OFi=0cz+.,即9+丁=9,+(x-3『，解方程即可求解.

【详解】(1)证明：连接OE,如图，

：BF=EF,()E=()A,

ZBEF=Z£BF,NOEA=NOAE,

：ZACB900,

："EBF+NCAB=90。,

ZCAB=ZOAE,ZOEA=ZOAE,ZBEF=ZAW,

.•"BEF+NOEA=90°,

.•半径

•是的切线；

(2)解：连接Ob,过O点作ON±AE于点E,如图,

■.AE=S,ONLAE,AC=4,DO的半径为5,

,-.NE=NA=\AE=A=AC,()C=()A+4C=9,

2

即：NO=y/AO2-AN2=3.

■:〃CB=ZONA-时，Z.OAE=Z.CAB,NA=AC,

：.\\OAN^ABAC,

・BC=N()=3,

设BF=EF=x,即FC=BF-BC=x-3,

OELEI-,ZACB=ZACF=9&3,

・•・在RtAOAA中，有OF1=OE2+EF1；

在Rti\(X'I'中，tOF2=OC2+CF1

.­.52+X2=92+(X-3)\

解得：x=—,

6

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌

握切线的判定与性质是解答本题的关键.

27.(1)见解析

(2)①见解析；@1

【分析】(1)由直径所对的圆周角等于90。得出NC48+N/HC=90°,由切线的性质定理得出M4145，

ZMAC+ZCAB-90。即可得出结论；

(2)①由等弧所对的圆周角相等得出N/MC=N48/),由直角所对的圆周角为90。得出

ZCBG+ZCGB^90P,由垂直的定义得出4DG+4SD=90°,等量代换得出ZFDG=NCGB=NFGD,

即可得出结论；②连接//)、CD,作DH18C,交8C的延长线于，点，由角平分线的性质得出

DE=DH,由全等三角形的判定得出R»।碗/运RH和RtlIADE^M\CDH(HL),得出

AE=CH,BE=BC+CH=AB-AE=BH,代入计算即可求出的值.

【详解】(1)证明：：彳8是直径，

乙优8=90。，

:.Z.CAB^ZABC=W,；

:MN是II。的切线；

■MALAB,

.•.ZWI(：+NG18900,

.-.ZMACZABC；

(2)解：①是弧4('的中点，

:.ZDBC=ZABD,

•.•/B是直径，

:.ZCB(；+ZCGB=90°,

■DEIAB，

:.ZJ'1X；+ZAB1)9Q0,

:ZJ)BC=ZAHD,

“IX；-ZCGB=ZFGD,

:.FD=FG.

②连接//)、CD,作。〃18(7,交8c的延长线于，点.

•:ZDBC=ZABD,1)HIBC,DEIAB,

:.DE=DH

在RS/兄与RtABD/l中，

l)H=DE

Bl)Bl)'

二RtHB/i蛇RUIBO〃(HL),

；,BE=BH,

：/)是弧/('的中点，

:.AD=DC,

在Rt/\A1)E与RtACD//中，

DE=I)H

AD^CD'

Rtn/O£gRtf]CW/(HL).

..AE=CH.

BE=B€+CH=AB-AE=BH,即5—4£=3+Afe,

:"E=l.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握各

性质定理是解答此题的关键.

28.(1)见解析

⑵2万-2或4-2万

【分析】(1)连接。可得NO/M=N3O,从而可证0/)〃/。，即可求证；

(2)①过点。作/W1/儿'交加的延长线于点N,并连接0ZXOP,DE，过。作。〃1/九'交于〃，

可求ZE(M=60。，从而可求0K=2,DH=2,选而可求OH=8^-DH，=2®即可求解；②连接

01),OP,DE,过点、()作()L工DE交DE于点、L，连接。。，同理可求/EO0=6O°,NPO£=30°,可证

ZD0P=ND0L,可得0P与0/重合，可求。/,=2,即可求解.

【详解】(1)解：如图，连接

：.OA=OD,

ZODA=Z0A1),

•••//)是/"C的平分线，

NOAD=NCAD,

：.Z.ODA二ACAD,

：.()1)//AC,

：.N()DB=NC=%°,

•.•点。在UO上，

•••BC是1」。的切线；

(2)解:①如图，过点〃作AW_L。后交班的延长线于点N,并连接。/)、OP,DE,过。作

交于，，

•:ZPDS。,也=也，

;.ZP0E=3十

•・•/*=60°,OA^OF,

:.ZOAI'=60°,

•.•/O是/B/C的平分线，

：.ZOAD=-ZOAF=30°,

2

v成-加，

.".Z£OD=60°

■：()HLDE,()1)^OE,

.•.Z£O〃30。，

:.ZJ,()K=W>+3OP6OP,

在RdlOPK中,OP=4,NOPK=30°,

:.OK2,

在Rd1。〃/)中，A1X)H=30°,OD=4,

：.DH=2,

OH=yJOiy-DH1=2G，

:.KH=()H-OK，2G-2,

:.PN=KH=2y[i-2,

■■点P到直线O*的距离是24一2;

②如图，连接。/),OP,DE,过点。作。/，1/兄,交/)*于点连接0P,

同理可求N/〃M=60。,

Z/'O£=30°,

ZJX)L=-ZEOD=30°,

2

ZJX)P-ZEOD-AJVE30°,

;.UX)P=NDOL,

..0尸与0〃重合，

••期=刖，

在RWO〃)中，NP〃/)=30。，OD4,

：.DL=2,

：.OL=>JOI)2DI)=2J3，

：.PL=OP-OL=4-2>/3,

点P到直线/)〃的距离是4-26；

综上所述：2行-2或4-2档.

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，根据题意作出辅助

线，掌握相关的性质是解题的关键.

29.⑴见解析

(2)13cm

【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作4C,8c的中垂线交于点0,则点O

是弧人方所在圆的圆心；

（2）在RtAO/Q中，由勾股定理得出方程，解方