福建省泉州永春县联考2024届中考数学四模试卷含解析

福建省泉州永春县联考2024学年中考数学四模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.下列关于x的方程一定有实数解的是()

A.x2-mx-l=OB.ax=3

C.Jx—6-，4—x=0D.-=-

X-1X-1

2.如图，从圆。外一点P引圆。的两条切线K4,PB,切点分别为A,B,如果NAP3=60°，PA=8,那么弦

AB的长是()

A.4B.4百C.8D.873

3.射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次,平均环数均为8.7环,方差分别为s差=0.51,s|^=0.62,s,=0.48,

s：=0.45,则四人中成绩最稳定的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.如果将抛物线y=x?+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是

A.y=(x-l)~+2B.y=(x+l)~+2C.y=x?+lD.y=x?+3

5.已知平面内不同的两点A(a+2,4)和5(3,2a+2)到x轴的距离相等，则a的值为（）

A.-3B.-5C.1或-3D.1或-5

6.化简一9—+L的结果为()

a-11-a

A.-1B.1C.巴D.巴

a-11-a

7.下列计算正确的是()

A.x2+x2=x4B.X8-rX2=X4C.X2*X3=X6D.(-X)2-x2=0

8.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B,C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差

的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，贝胪矩面积"S=ah.例如：三点坐标分别为A(1,2),B(-3,

1),C(2,-2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积"S=ah=L若D(1,2)、E(-2,1)、F(0,t)三点的“矩

面积”为18,贝Ut的值为()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

9.在1，0,-1,这四个数中，最小的数是()

22

11

A.-B.0C.——D.-1

22

10.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，

二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车,

若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程()

A.3(%—2)=2x+9B.3(x+2)=2x-9

x+9

C.D.『2=

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知43=16机，半径。4=10机，高度。为m.

12.如图，正比例函数yi=kix和反比例函数丫2=4的图象交于A(-1,2),B(1,-2)两点，若yi>y2,则x的取

x

值范围是.

13.如图，将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周

长有最小值8,那么菱形周长的最大值是

14.计算：,（—3）-2+（|-3|）°=.

15.分解因式：4x2-36=.

16.如图，△ABC中，ZA=80°,ZB=40°,BC的垂直平分线交AB于点D,联结DC.如果AD=2,BD=6,那么△ADC

的周长为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A,B都分成3等份的扇形区域，并在每一小区

域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3,的

倍数，则甲获胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数，则乙获胜.如果指针落在分割线上，则需要重新转动

转盘.请问这个游戏对甲、乙双方公平吗？说明理由.

18.(8分)计算：瓜-4cos450+(-)1+1-21.

2

19.（8分）如图，在ABC中，CD±AB,垂足为D,点E在BC上，EF±AB,垂足为F./l=/2,试判断

DG与BC的位置关系，并说明理由.

20.（8分）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40。得到正方形ODEF,连接AF,求NOFA的度数

0

F

21.（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检

测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道1上确定点D,使CD与1垂直，测得

CD的长等于24米，在1上点D的同侧取点A、B,使NCAD=30。，ZCBD=60°.求AB的长（结果保留根号）；已

知本路段对校车限速为45千米〃J、时，若测得某辆校车从A到B用时1.5秒，这辆校车是否超速？说明理由.（参考数

据：V3-1.7,72-1.4）

22.（10分）（1）问题发现：

如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC

与AB的位置关系为；

（2）深入探究：

如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使

ZABC=ZAMN,AM=MN,连接CN,试探究NABC与NACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图③，在正方形ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF,点N为正

方形AMEF的中点，连接CN,若BC=10,CN=0,试求EF的长.

23.（12分）某化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不高于

每千克70元，不低于每千克40元.经市场调查发现，日销量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=70时，y

=80；x=60时，y=l.在销售过程中，每天还要支付其他费用350元.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的

取值范围；求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当销售单价为多少元时，该公司日

获利最大？最大利润是多少元？

24.解分式方程：一2—Xf+--1=1.

x~33—x

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解题分析】

根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得.

【题目详解】

A.x2-mx-l=0中△=m2+4>0,一定有两个不相等的实数根，符合题意；

B.ax=3中当a=0时，方程无解，不符合题意；

x-6>0

C.由匕八可解得不等式组无解，不符合题意；

4-%>0

1Y

D.--=—；有增根x=L此方程无解，不符合题意；

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根.

2、C

【解题分析】

先利用切线长定理得到上4=PB，再利用ZAPB=60可判断APB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解.

【题目详解】

解：PA,PB为。的切线，

:.PA=PB,

ZAPB=60，

APB为等边三角形，

,-.AB=PA=8.

故选c.

【题目点拨】

本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键.

3、D

【解题分析】

根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与

其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案.

【题目详解】

V0.45<0.51<0.62,

二丁成绩最稳定，

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大.

4、C

【解题分析】

根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案.

【题目详解】

•••抛物线y=x2+2向下平移1个单位，

二抛物线的解析式为y=x2+2-l,即y=x2+l.

故选C.

5、A

【解题分析】

分析：根据点A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x轴的距离相等，得到4=|2a+2|,即可解答.

详解：•••点A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x轴的距离相等，

；.4=|2a+2|,a+2/3,

解得：a=-3,

故选A.

点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x轴和y轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数.

6、B

【解题分析】

先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案.

【题目详解】

a1a1a-1,

解：——+——=----------=——=1.

a-11-aa-1a-1a-1

故选B.

7、D

【解题分析】

试题解析：A原式=2x2,故A不正确；

B原式=x，，故B不正确；

C原式=x5,故C不正确；

D原式=x2-x2=0,故D正确；

故选D

考点：1.同底数塞的除法；2.合并同类项；3.同底数幕的乘法；4.塞的乘方与积的乘方.

8、C

【解题分析】

由题可知“水平底”a的长度为3,则由“矩面积”为18可知“铅垂高”h=6,再分>2或tV1两种情况进行求解即可.

【题目详解】

解：由题可知a=3,则h=18+3=6,则可知t>2或tVl.当t>2时,t-l=6,解得t=7；当tVl时,24=6,解得t=-4.综

上,t=-4或4

故选择C.

【题目点拨】

本题考查了平面直角坐标系的内容，理解题意是解题关键.

9、D

【解题分析】

试题分析：因为负数小于0,正数大于0,正数大于负数，所以在工，0,-1,-4这四个数中，最小的数是一1,故

22

选D.

考点：正负数的大小比较.

10、A

【解题分析】

根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余1个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可.

【题目详解】

设有x辆车，则可列方程：

3(x-2)=2x+l.

故选：A.

【题目点拨】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1.

【解题分析】

由CDJ_AB,根据垂径定理得到AD=DB=8,再在RtAOAD中，利用勾股定理计算出OD,则通过CD=OC-OD

求出CD.

【题目详解】

解：'：CDLAB,HB=16,

：.AD^DB^8,

在RtAOAO中，AB=16m,半径。4=〃0»1,

22

OD=7OA-AD=7102-82=6，

:.CD=OC-OD=1Q-6=\Cm).

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了切线的性质定理以及勾股定理.

12、x<-2或0VxV2

【解题分析】

仔细观察图像，图像在上面的函数值大，图像在下面的函数值小，当刈>以，即正比例函数的图像在上，反比例函数

的图像在下时，根据图像写出x的取值范围即可.

【题目详解】

结合图象可得:

①当xV-2时，j2>j2；②当-2<xV0时，j2<j2；③当0VxV2时，j2>j2；④当x>2时，yi<yi.

综上所述：若则x的取值范围是比V-2或0<xV2.

故答案为尤<-2或0<x<2.

【题目点拨】

本题考查了图像法解不等式，解题的关键是仔细观察图像，全面写出符合条件的x的取值范围.

13、1

【解题分析】

画出图形，设菱形的边长为x,根据勾股定理求出周长即可.

【题目详解】

当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm,

在RtAABC中，

由勾股定理:x2=(8-x)2+22,

解得：X=二,

4

/.4x=l,

即菱形的最大周长为1cm.

故答案是：L

【题目点拨】

解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程.

4

14、

3

【解题分析】

原式=,1而+,1§,4+耳•

15、4(x+3)(x-3)

【解题分析】

分析：首先提取公因式4,然后再利用平方差公式进行因式分解.

详解：原式=4（尤2—9）=4（x+3）（x—3）.

点睛：本题主要考查的是因式分解，属于基础题型.因式分解的方法有提取公因式、公式法和十字相乘法等，如果有

公因式首先都要提取公因式.

16、1.

【解题分析】

试题分析：由BC的垂直平分线交AB于点D,可得CD=BD=6,又由等边对等角，可求得NBCD的度数，继而求得

NADC的度数，则可判定△ACD是等腰三角形，继而求得答案.

试题解析：；BC的垂直平分线交AB于点D,

/.CD=BD=6,

.,.ZDCB=ZB=40°,

，ZADC=ZB+ZBCD=80°,

,,.ZADC=ZA=80°,

；.AC=CD=6,

AADC的周长为：AD+DC+AC=2+6+6=L

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定与性质.

三、解答题（共8题，共72分）

17、见解析

【解题分析】

解：不公平，理由如下：

列表得：

123

21,22,23,2

31,32,33,3

41,42,43,4

由表可知共有9种等可能的结果，其中数字之和为3的倍数的有3种结果，数字之和为4的倍数的有2种,

312

则甲获胜的概率为§=耳、乙获胜的概率为E，

,这个游戏对甲、乙双方不公平.

【题目点拨】

考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知

识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18、4

【解题分析】

分析：

代入45。角的余弦函数值，结合“负整数指数塞的意义”和“二次根式的相关运算法则”进行计算即可.

详解：

L、历

原式=2近—4x工+2+2=4.

2

点睛：熟记“特殊角的三角函数值、负整数指数幕的意义：ap=^~（a/0,，为正整数）”是正确解答本题的关键.

a1

19、DG〃BC,理由见解析

【解题分析】

由垂线的性质得出CD〃EF,由平行线的性质得出N2=/DCE,再由已知条件得出/1=/DCE,即可得出结论.

【题目详解】

解：DG/7BC,理由如下：

VCD1AB,EF_LAB,

；.CD〃EF,

Z2=ZDCE,

VZ1=Z2,

/.Z1=ZDCE,

；.DG〃BC.

【题目点拨】

本题考查平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明N1=NDCE是解题关键.

20、25°

【解题分析】

先利用正方形的性质得OA=OC,ZAOC=90°,再根据旋转的性质得OC=OF,ZCOF=40°,贝!IOA=OF,根据等腰三

角形的性质得NOAF=NOFA,然后根据三角形的内角和定理计算NOFA的度数.

【题目详解】

解：•四边形OABC为正方形，

.\OA=OC,ZAOC=90°,

•.•正方形OABC绕着点O逆时针旋转40。得到正方形ODEF,

/.OC=OF,ZCOF=40°,

/.OA=OF,

.,.ZOAF=ZOFA,

■:ZAOF=ZAOC+ZCOF=90°+40°=130°,

AZOFA=-（180°-130°）=25°.

2

故答案为25°.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.也考查了正方形的性质.

21、（1）16百；（2）此校车在AB路段超速，理由见解析.

【解题分析】

（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD和BD的长度，计算结果，即可.（2）在第一问的基础上，

结合时间关系，计算速度，判断，即可.

【题目详解】

解：（1）由题意得，在RtAADC中，tan3（F=CB=竺，

ADAD

解得AD=24证.

rn9d

在RtABDC中，tan60°=—=—,

BDBD

解得BD=8«

所以AB=AD-BD=24证-8证=16遂（米）.

（2）汽车从A到B用时1.5秒，所以速度为16后1.5M8.1（米/秒），

因为18.1（米/秒）=65.2千米/时＞45千米/时，

所以此校车在AB路段超速.

【题目点拨】

考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等.

22、（1）NC〃AB；理由见解析；（2）ZABC=ZACN；理由见解析；（3）2741；

【解题分析】

（1）根据△ABC,AAMN为等边三角形，得至!|AB=AC,AM=AN且/BAC=NMAN=60。从而得到

ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM,即NBAM=NCAN,证明ABAM^^CAN,即可得到BM=CN.

(2)根据AABC,AAMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且NABC=NAMN,根据相似三角形的性质得到

ABAC

，利用等腰三角形的性质得到NBAC=NMAN,根据相似三角形的性质即可得到结论;

AMAN

(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到NABC=NBAC=45。，ZMAN=45°,根据相似三角形的性质得出

BMAB

,得到BM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案.

CNAC

【题目详解】

(1)NC〃AB,理由如下:

VAABC与4MN是等边三角形,

，AB=AC,AM=AN,NBAC=NMAN,=60°,

/.ZBAM=ZCAN,

在小ACN中,

AB=AC

ZBAM=ZCAN,

AM=AN

.♦.△ABM也△ACN(SAS),

:.ZB=ZACN=60°,

,.•ZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60°+ZCAN=180°,

.,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60°+ZCAN=ZBAN+ZANC=180°,

ACN/ZAB；

(2)ZABC=ZACN,理由如下:

ABAM

—=------=1且nNABC=NAMN,

BCMN

/.△ABC-AAMN

ABAC

AMAN

VAB=BC,

/.ZBAC=-(180°-ZABC),

2

；AM=MN

,*.ZMAN=-(180°-ZAMN),

2

,/ZABC=ZAMN,

:.ZBAC=ZMAN,

ZBAM=ZCAN,

,.△ABM-AACN,

\ZABC=ZACN；

(3)如图3,连接AB,AN,

••四边形ADBC,AMEF为正方形，

,.ZABC=ZBAC=45°,ZMAN=45°,

\ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC

即/BAM=/CAN,

•.•理=州=0

BCAN

•AB_AC

"AMAN"

/.△ABM~AACN

•B--M-----AB

CNAC叵

------=------=cos45°=---