四川省眉山市2024届高三年级下册第三次诊断考试理科数学试题+答案

秘密★启用前

眉山市高中2024届第三次诊断性考试

数学（理科）

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.在复平面内，上2对应的点位于（）

l-i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.设全集。={-3,—2,-1,0,1,2,3},集合/={—2,—1,0,1},5={-1,1,3},则{-3,2}=（）

人.（为小8B.（0Z）u3

D.街

3.采购经理指数（PMI）,是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作

用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，

指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于50%,则反映企业生产经营活动较上月收

缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：

根据该折线图判断，下列结论正确的是（）

A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53%

B.2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张

C.2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩

D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差

4.已知向量比满足同=网=1,向=K，且@+3+5=0，则cos,一己,3—@=（）

133G3>/313

A.——D.——

14ITIT14

5.（1—2x）（1+叶的展开式中d的系数为（）

A.20B.10C.-10D.-20

6.已知aU，cos'+m5

——，则sina二（

13

12+5百012-573C12百+5口12百-5

--------------------------D.--------------------------

2626'-26-'-26-

7.设。为坐标原点，过点（2,0）的直线与抛物线C：/=2内（夕〉0）交于两点，若西.而=—4,

则。的值为（）

11

A.—B.—C.2D.4

42

8.如图，该组合体由一个正四棱柱4BCD-和一个正四棱锥尸-481G2组合而成，已知

AB=2,刊="尸4=2,贝IJ（

A.尸4//平面ABCRB.PBI//平面ABCQi

C.PG1平面BDC[D.PD]1平面BDC1

9.四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从4民。三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择

相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（）

15211420

A.—B.—C.—D.—

16322727

10.给出下述三个结论：①函数/（X）=cos|x|的最小正周期为兀；②函数/（x）=|cos2x|在区间单

调递增；③函数/（x）=cos2x的图象关于直线x=m对称.其中所有正确结论的编号是（）

A.①②③B.②③C.①③D.②

11.已知双曲线C：j—勺=1（。〉0,6〉0）的左，右焦点分别为片，鸟.点/在C上，点5在〉轴上,

ab

—►4—»—►—►

A4=—片,则。的离心率为（）

3

A372B6V14+V2D屈+6

443

12.若关于X的不等式皿，依3一云2-1（。NO）恒成立，则2的最大值为（）

a

1212

A.—-B.—-C.—D.一

eeee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-y+2...0,

13.若xj满足约束条件<2x-y-2”0,则z=—3x+y的最小值为.

2x+y-2...0,

14.已知AABC的三边长AB=4cmlc=2cm,AC=3cm,则4BC的面积为cm2.

15.若/（x）=2cos（x+e）+cosx为奇函数，贝1］。=.（填写符合要求的一个值）

16.已知球。的半径为3,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆a，Q，其半径分别为生々，若

OiQ=C,与=W，两圆的公共弦的中点为则/&=.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）

某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润〉（单位：亿元）与年份代

码x共5组数据（其中年份代码x=l,中3,4,5分别指2019年,2020年,…,2023年），并得到如下值:

55

2

y=70.5,（Z.-y）=65,（Z.-y）（%,.-x）=25

Z=1Z=1

（1）若用线性回归模型拟合变量V与X的相关关系，计算该样本相关系数「，并判断变量歹与X的相关程

度（外精确到0.01）；

（2）求变量y关于x的线性回归方程，并求2024年利润》的预报值.

附：①7^?m2.55；

②若H.O75,相关程度很强；0.3„|r|<0.75,相关程度一般；—，0.3,相关程度较弱；

③一组数据（石,弘）,（工2，%），…，（%,%），其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为

^（x,.-x）（v,.-V）-无）（.匕-刃

b=『------------,a=y-bx；相关系数r=——且----------------

£（七一元『

i=l

18.（12分）

已知数列｛4｝的前〃项和为S",且2S"=3%-3,〃eN*.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若,求数列也｝的前〃项和却

3nx9nn

从①句=3"iog3。"；②a=—；③3=不（%“-％）,这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并

an+\2

解答问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（12分）

如图，在多面体48CDEE中，四边形48CD为菱形，平面RCD，平面48CD,平面£48,平面

TT

ABCDQAEBQCFD是等腰直角三角形，且NDFC=NBEA=

2

（1）证明：平面厂〃平面CDE；

TT

（2）若NBAD”求平面与平面8CE所成锐二面角的余弦值的取值范围.

3

20.（12分）

已知椭圆c：二+《=i（a〉b〉o）的离心率是左、右顶点分别为4,4,过线段44上的点。。,0）

a~b~2

的直线与C交于M,N两点，且"MN与AA?MN的面积比为3:1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与A也交于点P•证明：点？在定直线上.

21.（12分）

已知函数f（x）=xlnx-ax1-lx.

（1）若过点（1,0）可作曲线y=/（x）两条切线，求。的取值范围；

(2)若/(x)有两个不同极值点X1,%.

①求。的取值范围；

3

②当xl>4X2时，证明：>16e.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

记分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系xQy中，。。的圆心为C(2,2),半径为2,以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立

极坐标系.

(1)求。。的极坐标方程；

(2)过点。的直线交OC于尸两点，求|。尸|+|。。|的最大值.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(x)=|2_x|+2|x+2|.

(1)若对任意xeR,使得/(x)…〃-3。恒成立，求。的取值范围；

(2)令/(x)的最小值为若正数d4c满足工+1+&=M，求证：a+b+c..A.

abc

理科数学参考解答及评分参考

一、选择题

1.【答案】B

l+2i（l+2i）（l+i）-l+3i

【解析】由丁一=>,=一对应的点位于第二象限，选择B.

1-1（1一1）（1+1）2

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法运算，复数的几何

意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想；考查数学运算、直观想象等数学核心素养.

2.【答案】D

【解析】由（药/）cg={—3,2,3}c{-U,3}={3},选项A错误；

（鸟2={—3,2,3}3—1,1,3}={-3,—1,1,2,3},选项5错误;瘠（，c5）=v{-1,1}={-3,-2,0,2,3},

选项C错误；因为Nu5={-2,—1,0,1,3},所以带（/u3）={—3,2},所以选项。正确.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集与并集，补集运算

等基础知识；考查运算求解能力，数学运算等数学核心素养.

3.【答案】B

【解析】根据图表可知，各月2W的中位数小于53%,/错误；2023年各月，2023年我国综合H〃产出

指数均大于50%,表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，8正确；2023年上半年各月7W比下半

年各月的波动大，则方差也大，故。错误.

【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统计等思想方法，

考查数据分析等数学核心素养.

4.【答案】A

【解析】由题意得@+b=-c，则（2+A）?=万2有j2+2H+12=（抬'）2，解得a-b=-,又由1+]=一b，

则伍+32=庐有12+2H+（抬）2=]2,解得小己=—万3，同理可得鼠了=—万3，所以

（a-c）-（b-c）=a-b-a-c-b-c+c2=^-,^-c\=^a2-2a-c+c2=77,^-c|="

，所以伍一口（【人二=旦

\WT"S14

注：本小题也可以利用向量线性运算的几何意义，利用数形结合思想求解.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的坐标运算，数量积，夹

角公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，数学建模（可构造三角形或取特值解答）思想；

考查数学运算、直观想象、数学建模等数学核心素养.

5.【答案】C

【解析】因为（1-2x）（1+4=（1+4-2x（1+4,相加的两项二项式展开后的通项分别为J=CR.与

r，

T,+i=-2xC'5x＞所以d的系数为或-2Cj=-10.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计二项式展开式的通项问题，主要考查二项式展开式特定项的

系数等基础知识；考查运算求解能力，分类讨论思想，数学运算等数学核心素养.

6.【答案】A

【解析】因为ae0,鼻上12，所以

13

71.（兀）71（兀、.兀1212+56

sina=sin=sina+—cos——cosa+—sin—=-x

JV3j33J313~26

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换求值问题，主要考查同角三角函数关系，两角

和的正弦公式，三角函数符号确定等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，数学运算等数学核

心素养.

7.【答案】C

【解析】设"（XI，%）,N（X2，%），直线"N的方程为：x=my+2,联立方程j?=2px得,

j2-2pmy-4p=0,故%必=_41,苞％=（弘了；）=4，从而OA/.（9N=x/,+%%=4—42=-4,即

■~47r"

p=2,故选C.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与抛物线交点问题，主要考查直线与抛物线的位置

关系，向量的坐标运算，抛物线性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；

考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.

8.【答案】C

【解析】如图，因为丑4=0G=2,4G=26,0c=CC[=6,在平面ACCAPAX中有

jr

NP4cl==NG。。=-.所以尸4〃oq,尸4//平面BDCA,尸4不平行于平面ABCXDX；同

理PB[//ODX,PB[不平行于平面4BCR；易得p。=2J5，

PCi=CQ=2,所以Pq，G。，又Pg上BD,BDcCQ=O,所以PC1，平面3。。一

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题，主要考查空间线面平行,

线面垂直的判断等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力；考查逻辑推理，直观想象等数学核心素

养.

9.【答案】C

(「2\

%A1

【解析】〃124J37x614.

一一~SF~27

【命题意图】本小题设置实践应用情境，主要考查计数原理、分组排列、组合、古典概型等基础知识，考查分

类与整合等数学思想，考查逻辑推理，数学建模等数学核心素养.

10.【答案】B

7171

【解析】对于①由/(x)=cos|x|=cosx,最小正周期为2兀，结论①不正确；对于②，由XC，有

452

2xe［：,7rJ,cos2x<0,此时/(x)=|cos2x|=—cos2x在区间序;J单调递增，结论②正确；对于③,

1+C(~)S2Y11jr

/(x)=cos2x=-------=—cos2x+-,对称轴由2x=E，keZ确定，当左=1时，x=—,结论③正

确.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角函数图象性质问题，主要考查含绝对值的余弦函数图象,

降幕公式，余弦函数的最小正周期，单调区间，图象的轴对称等基础知识；考查逻辑推理能力，数形结合

思想，化归与转化思想，推理论证等数学核心素养.

11.【答案】A

【解析】设=加，则忸61=3冽，忸=4冽,由于片，巴关于神轴对称,故怜用=怜闾=3加，又因

为那工方,所以以耳|=5加,闺叫=3后加，所以2a=4掰,2c=3易，所以e=孚，故选A.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计双曲线焦点弦问题，主要考查双曲线的方程与性质，双

曲线焦点弦，离心率等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；

考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.

12.【答案】C

Inv+1““、lnx+1e

【解析】依题意，QWO,X〉O,不等式化为一厂,,ax-.设/(%)=———,则

XIaX

：/-241政+1)i21wc,

当工£0,e一万时，单调递增；当工£

/'(')=

X4%3I)

院2,+“时，/'(X)<OJ(X)单调递减，所以，/(%)在》=「；处取得极大值，也即最大值上汉》>6

、J2

时，/(%)〉0.由题知不等式电号,，。］》—21亘成立，所以y=—介］的图象恒在/(x)的图象的上

方，显然。＜不符题意；当。〉时，为直线

002y=aX的横截距，其最大值为/(X)的横截距，再

ak

令/(x)=0,可得x=g,且当直线y=a［x—与/(x)在点处相切时，横截距,取得最大值.

此时，切线方程为^=短［》-，］,a=e3,Z?=e2,所以2取得最大值为工.

Ie)ae

【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查导数的应用等基础知识，考查化归与转化等数学思想，

考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.

二、填空题

13.【答案】-6

【解析】作出约束条件表示的可行域为以/(4,6),3(0,2),。(1,0)三点为顶点的及其内部，作出直

线-3x+y=0并平移，当直线〉=3》+2经过点2(4,6)时，在〉轴上的截距最小，此时目标函数

z=-3%+y取得最小值Zmin=_3X4+6=-6.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计简单的线性规划问题，主要考查不等式组的解法，约束条件

表示的可行域，直线平移及几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想；

考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

14.【答案)竺

4

【解析】由余弦定理有—Be?=42+32—22=工,所以51用=姮，所以A48C的

2AB-AC2x4x388

面积S=­AB-AC-siii4=-x4x3x3y.

2284

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查余弦定理，同角间的三角函数关系，

三角形面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，应用意识;

考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

15.【答案】—,填写符合°=2赤土」，左£2的一个值即可.

33

【解析】依题意，/(x)=2cosxcos^-2sinxsin^+cosx=(2cos^+1)-cosx-2sinxsin^,当

i27roJT47r

2cos9+1=0,/(x)为奇函数，此时cos°=-5，则o=2E±3-,左eZ,故填等等.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查函数奇偶性等基本性质、简单的三角变换等基础知识，考

查化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

16.【答案】1

【解析】如图，i&OOl=O2M=d,OM=OlO2=46,ON=3,则在△。九W中，MN=6，在九W

中，2片=/+3,在AGON中，9=/+八2,联立得q=2,所以在AOITW中，MO；=-MN2=1,

所以=1.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计球与截面问题，主要考查平面与球相截，空间线面位置

关系，球内三角形，矩形的性质，勾股定理等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，方程思想等

基础知识；考查数学运算素养，直观想象，逻辑推理等数学核心素养.

三、解答题

17.【解析】（1）依题意，X=1+2+3+4+5=3,

5

5

Z(西-X)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,

Z=1

二七-可(％-刃

25—^=~—®0.98,

则，5日2心2V10xV65lOxV6,510x2.55

#(X;-X)-#(Z.-7)

Vz=iyi=i

则尸〉0.75,故变量歹与x的相关程度很强.

（2）令变量歹与x的线性回归方程为/=&+&.

5

](%-刃(王-元)

b=^-^-------

fa-元『

Z=1

所以&=57—^=70.5—2.5x3=63,

所以，变量〉关于x的回归方程为＞=2.5x+63.

2024年，即x=6时，y=2.5x6+63=78(亿元).

所以，该公司2024年利润》的预报值为78（亿元）.

【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查统计基本思想

以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识；考查数学运算、数学建模等数学核心素养.

18.【解析】（1）由2S“=3an-3,

当〃=1时，2%=34-3,得4=3,

当〃…2时，2an=2s,-2S._]=3a“-3-｛3an_1-3）,

整理得，%=3a“_i，

a„c

又%_1/0,所以工=3,

%

所以数列｛4｝是首项为3,公比为3的等比数列，

所以%=3".

（2）若选①，由⑴可得，4=3"log3%=〃-3",

所以7；=1x3+2x3?+3x3?+•••+〃・3",

37；,=1X32+2X33+3X34+---+/7-3,!+1,

两式相减得—27；=3+32+3?+…+3"—〃3用

所以＜=［一:卜”+

若选②，由（1）可得，4=3〃X9=n-3”.

^n+l3

若选③，由（1）可得，%）=g（3""—3"）=〃-3".

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计结构性不良的数列问题，主要考查数列的前〃项和与通项公式,

等比数列的性质，错位相减法求数列的和等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思

想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.

19.【解析】（1）如图，取48,8的中点";",连接ME,EN,NF,FM.

因为平面ECDL平面48CD,

平面FCDc平面ABCD=CD,

所以ENL平面48CD.

同理，£W_L平面45cD.

所以FN//ME.

又△/£5和ACED是等腰直角三角形，所以FN=ME,

四边形"ENF为平行四边形，所以MF〃EN,

又因为48//CD,ABcMF=M,CDcNE=N,

所以平面ABF//平面CDE.

M\x\/Z/y

E

（2）如图，以4点为原点，A8所在直线为歹轴，过/平行于ME的直线为x轴，在平面

Z8CD内垂直于48的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

设AB=2,NBAD=e,0e

则/(0,0,0),3(0,2,0),C(0,2+2cosd2sin6),D(0,2cos&2sin6),E(1,1,0).

所以次=(1,1,0),而=/=(0,2cos0,2sind),

设平面4D£的法向量为凡=(X],%,zJ,则

---»

AE•4=X]+必=0,

<

AD•元i=2cos。•必+2sin^-z1=0.

cosf)cos。

令X]=l,得％=—所以4=

设平面BCE的法向量为拓2=(々，％/2),则

--»

<BE•&=%—%=0，

BC•元2-2cos6・%+2sin^-z2=0.

令x?=-1,得%

:同网/rcosf?/rcosf?2+(例

22

、「cos。兀-sin^-cos6^-1

仅'F，则，=<0,

(sin9)2(sin(9)2

cos。

所…菽在0，m上单调递减，所以fe——,+8

3J

t22

所以COsR,九=-----=1---7e

2+t22+t2PT

所以平面与平面8CE所成锐二面角的取值范围是1,1

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计立体几何问题，主要考查空间线线、线面位置关系，空间

二面角等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力，运算求解能力；考查直观想象，逻辑推理等数学

核心素养，应用意识.

20.【解析】⑴由。（1,0）,S/MN=,

Sd

.A,MN_Ax-MNfflllO

SHA^MNdA[_MN-MNa-\

由e=^^，W-c=y/3,b=1,

2

故椭圆C的方程为：—+y2=1.

4•

（2）由（1）可得4（一2,0）,4（2,0）,设M（Xi，yJ,N（X2,%）•

显然直线MN的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=my+l.

将％=叼+1与土+y=1联立，

4.

可得+4)/+2my-3=0,

其中A=16(〃/+3)〉0,

.—2m—3

贝I必+72=F7，%%=F7-

m+4m+4

因为直线MA.的方程为J=-三(x+2),直线NA2的方程为J=上;(x-2),

X]+2%-2

联立直线与直线的方程可得:

NA2

x+2=%(』+2)=%(町+3)=加%％+3(%+72)-3%

x—2y,(X2-2)%(掰%—1)myly2-yl

-3--2mc-9m.

m—5-----H3—--------3y1一\-------3yi

=加2+4加2+4冽2+43

x+2

由----=3可得x=4,即%尸=4,

x—2

故点P在定直线x=4上.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与椭圆问题，主要考查椭圆的方程，椭圆中的三角

形，直线过定点等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；考查

数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.

21.【解析】⑴依题意，f'(x)=\nx-2ax-l,

设过点(1,0)的直线与曲线y=/(x)相切时的切点为(%,%),斜率左=2axo-1,则

y-^xolnxo-aXg-2x0)=(lnx0-2ax0-1)(x-x0),点(1,0)的坐标代入可得，

贝i|-XQIWCQ+axl+2x0=(lnx0-2ax0-l)(l-x0),

即有ax；-2ax0-x0+lnx0-1=0,

解法1：若过点(1,0)可作曲线了=/(x)两条切线，只需方程ax；-2ax0-%+lnXo-1=0方程有两个不相

等的实数根即可.

令g(x)=—2ax—x+lnx-1,只需函数g(x)有2个零点即可.则

，/、12ax~-(2o+l)x+l

g(x)=2ax—2a-1+—=----------------------

'''xxx

①若则0<x<，时，时，g'(x)<0;x>1时，g'(x)>0,

22a2a

此时xn-1-时，g(x)取极大值；X=1时，g(x)取极小值，

2a

p(l)(lYcl1,1,1c八

又g——tz•——2Q-----------FIn-----1——ln2a--------2<0,

\2a)\2a)2a2a2a4a

xf+e时，g(x)f+8,

函数g(x)只有1个零点，不合题意.

②若同理可知，此时x=l时，g(x)取极大值；-时，g(x)取极小值,

22a

又g⑴=-a-2<0,xf+8时，g(x)f+oo,

函数g(x)只有1个零点，不合题意.

③若q,0,2ox-L,0,则0<x<l时，g'(x)>O;x>l时，g'(x)<0,

所以x=l时，8(X)取极大值8。)=一。一2,

又x—0时，g(x)-——+“时，g(x)->-oc,

函数g(x)有2个零点，则必有g(l)=-。一2>0,得a<—2,

故过点(1,0)可作曲线y=/(x)两条切线时，。的取值范围是—2).

解法2:显然，xw2.

若过点(1,0)可作曲线V=/(X)两条切线，只需方程a=方程有两个不相等的实数根即可.令

xo~^xo

x+1—Inx

g(x)=

x2-2x

2x)-(x+1-lux)(2x-2)

(x-l)(21nx-x-4)

—2x)2(x2-2xf

2

令"x)=21nx-x-4,则/(x)=——1,

x

可知0<x<2时,M(x)>0,〃(x)单调递增;x>2时,M'(X)<0,M(X)单调递减,

所以u(2)<ln2-6<0,

故当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增;l<x<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减;x〉2时,

g'(x)<o,g(x)单调递减.

又x〉2时，由lnx<x+l,则g(x)>0；

由上可知x=l时，g(x)取得极大值，也即为xe(0,2)时，g(x)取得最大值g⑴=-2,

又X—0时，g(x)f—oo;xf2一时，g(x)f—oo,

函数g(x)的大致图象如图所示.

xn+1-lnxn

所以。=2°方程有两个不相等的实数根时,a<-2.

%一2%

故过点(1,0)可作曲线y=/(x)两条切线时,

。的取值范围是(-e,-2).

(2)①由(1)知，/'(X)=Inx—2ax-l,

因为/(X)有两个极值点x，%J'(x)=o即2a=1nx1有两个实数根西,》2，

X

./xlnx-1，/、2-lnx

令加⑴=------,m⑴二---2一，

可知Ovxve?时，加'(工)>0,加(%)单调递增，此时冽(％)〈=；当x>e2时，/(x)<0,加(x)单调递

e

减，此时0〈加(x)〈方

e

inr_ii

所以/'(x)=0即2。=------有两个实数根时，0<2a<?.

xe

则/(X)有两个极点时，ae

1叫-2a%-1=0,］叫=2ax+1,'曰2a_［叫-lnx

②由＜即《x2

lnx=+1,国一

lnx2-2ax之-1=0,22ax2x2

要证明为考>16e3,只需证明1%+215>41n2+3.

In五

由题,1叫+21nx=2Q(%I+2X)+3=(占+2x)•^^+3=

2222•-^+3,

)土-1

x2

令，＞以2),贝卜＞4,

X2

欲证明liUj+21nx2＞41n2+3,也即证明«+2)•上*■〉41n2(/＞4),

只需证明ln”41n2-I〉0«〉4)即可,

t+2

令/z«)=taZ—41112.尸!(7〉4),

4

3〃+由+4121112J?+4+--121n2

可知/«)=；_41n2.

IPZ«+2)2/0+2)2

则Q«)=/+4+3-121n2在/〉4时单调递增，故0(。>0(4)=9-121rl2>0,则力'«)>0,令//(Z)在

/〉4时单调递增，则/z(/)〉/z(4)=ln4—4x：xln2=0,

故。+2)->41112c〉4),即+21nx2>41n2+3,

所以工£>16e3.

【命题意图】本小题设置探究创新情境，主要考查导数几何意义、极值、函数的零点，函数与导数的综合应用

等基础知识，考查化归与转化、函数与方程等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

选考题

22.【解析】(1)由题知，(DC的直角坐标方程为C:(x—2)2+(y—2)2=4,

即x2+y2-4x-4y+4=0,

故的极坐标方程为22-4/7cos^-4/?sin^+4=0.

(2)设尸Q：e=a,a£[o,1")，0尸二夕1，。0二夕2・

联立直线尸。和圆。的方程得:

p1-4pcosa—4夕sin。+4=0,

则p、+p2=4(coscif+sincir),pxp2=4.

故|O尸|+=Pi+2=4(cosa+sina

故当&=:时，|00|+|0。取得最大值4a.

【命题意图】本小题设置课程数学情境，设计极坐标问题，主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，

直线与圆的位置关系，弦长等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.

23.【解析】⑴当1<-2时，/(x)=-3%-2>4；当一2”兀，2时，/(x)=X+6G[4,8]；当x>2时,

f(x)=3x+2>8.则/(x)的最小值为4.

由于对任意xwR,使得/(x)…/一3〃恒成立,

所以4...2-3。，解得T,%4,

故。的取值范围是[-1,4].

(2)由(1)可知/(%)的最小值为A/=4,则—I--1—=4,

abc

7\f114Y7cac4a46

则4(a+/?+c)=--b--F—(a+/?+c)=6d--F--1---11-----1---.

k6/bcjaabbcc

二16,

当且仅当h上=3n9c=丝4h,9c="4〃且±1+12+4?=4取“="，即a=6=l,c=2取，，=”.

abbcacabc

所以a+b+a..4.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查均值不等式应用、不等式的证明方法等基础知识，考查分

类与整合思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

眉山市高中2024届第三次诊断性考试请在各魁目的答期区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各Si目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效

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18.（12分）

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题

目

的

答

题