江西省丰城市2023-2024学年高二年级下册4月月考数学模拟试题（含答案）

江西省丰城市2023-2024学年高二下学期4月月考数学

模拟试题

考试时长：120分钟考试范围：选择性必修一、二

一、单选题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.等比数列｛""｝的各项均为正数，且%仍=18,则

log3ax+log3a2+---+log3a10=()

A.12B.10C.5D.210gs5

2.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春

分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、

惊蛰日影长之和为3L5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则谷雨日影长为()

A.L5尺B.3.5尺C.5.5尺D.7.5尺

f14=1---(H-2)__

3.在数列出a/中，an-\,4—9',则。10—()

A.2B.2C.2D.-1

邑=

4.已知等差数列｛“"｝的2

上差和首项都不为0,且“2，％，为成等比数列，则。5()

A.1B.2C.3D.5

5.已知四面体中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=2M4(2>0),N为BC中点若

—►1_1_1_

MN=——a+-b+-c

422,贝|2=()

O

;

■B

A.3B.2C.2D.3

6.已知直线人履7+6左-6=°和曲线C:k当§＜上＜2时，直线/与曲线C的交

点个数为（）

A.0B.1C.2D.无法确定

7.己知正项等比数列也"｝中，%，3%，。5成等差数歹［］,若数列｛%｝中存在两项册，%,使得

J_4

3%为它们的等比中项，则加十”的最小值为（）

A.3B.4C.6D.9

8,在数列｛%｝中，％=L%=32"T（〃eN）,记c〃=3"-2x（-1）"乜，若数列｛c“｝为递

增数列，则实数彳的取值范围为（）

（-11）

A.2'）B.（一2，1）c.（TDD.（0,1）

二、多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的

得0分.）

9.下列结论证确的是（）

A.若随机变量4，〃满足〃=2J+1,则。⑺=2。6）+1

B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数〃越接近于1

c.在回归直线方程9=°・卜+1°中，当解释变量尤每增加一个单位时，预报变量金增加0.1

个单位

D.根据分类变量X与¥的成对样本数据，计算得到/=4.712.依据［=0,05的独立性检验

（x°05=3.841）,可判断X与y有关

10.数列｛""｝的前"项和为工，且4向+。“=4〃-1,下列说法正确的是（）

A.若｛""｝的首项为1,则MJ为等差数列

B.若｛“"｝为等差数列，则｛“"｝的公差为2

CS2Q=380

DS2n-—5

_J_*

fl-£Z=2a,jeN

11.数列｛"J满足"「I,»-iA+＞（）,数列也｝的前〃项和为先且

",=1+4”eN*）

3'）,则下列正确的是（）

]

A.赤是数列｛%｝中的项

B.数列也，｝是首项为3,公比为3的等比数列

C,数列向｝的前〃项和（

也4=（2/T）3\3

D.数列10"的前〃项和“22

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）

fl+—\x-J2）835

12.<y）展开式中的系数为（用数字作答）.

（1a,+-+--\F—=3"-2（/1eN*,w>1）_

13.数列满足23n,则氏=.

14.已知偶函数/（X）的图象关于直线》=2对称，了（2）=2,且对任意%，/e[0』，均有

“再+,）=/a）+/（工2）成立,『，Q）++/Q"卜对任意〃eN*恒成

立，贝W的最小值为.

四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

15.记S"为数列｛"/的前〃项和.

（1）若也｝为等差数列，且出=5,4%=〃9同<0,求加的最小值;

⑵若｛",｝为等比数列，且%-%=6,-12,求册的值,

n

"〃+1_2

16.已知数列｛""｝中，%=1,%,“eN*.

17.甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环.根

据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为°7°20」，乙击中8环、9环、10环的

概率分别为°60202,且甲、乙两人射击相互独立.

(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；

⑵若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列

与数学期望.

a=1S=+1

18.已知各项均不为0的数列仲/的前〃项和为‘J且।〃4.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵若对于任意〃eN*，2”2S”成立，求实数几的取值范围.

22

。・土+乙=1

19.如图，48是椭圆43长轴的两个端点，"，N是椭圆上与48均不重合的相

异两点，设直线叫BN^AN的斜率分别是左，他

(1)求心履的值

⑵若直线“N过点a°),求证：她为定值；

⑶设直线与X轴的交点为,0),(为常数且，*°),试探究直线与直线8N的交点

。是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

1.B

【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.

【详解】因为｛""｝是各项均为正数的等比数列，%&+。4。7=18,

所以％&+。4。7=2%每=18,即%&=9,则=…=a5a6=9

，己S=log3q+log3&+…+log3al0)贝qS=log3aw+log32+…+log3%,

2S

两式相加得=脸(%%。)+嘎33%)+--+log3(a10a1)=10xlog39=20,

所以S=10,即log34+log3a2+…+logs%0=10.

故选：B.

2.C

【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得.

【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒

种

这十二个节气的日影长分别为q，出，阳，前n项和'("4I2),

由小寒、立春、惊蛰日影长之和为3L5尺，前八个节气日影长之和为80尺，

电+%+4=3%+9d=31.5

58x7

So=8alH----d=80

得［2,解得％=13.5,八_1,

所以谷雨日影长为09=%+8d=13.5-8=5.5(尺).

故选：C

3.A

【分析】逐项计算，再根据数列的周期性求解即可.

a2=1---二一

【详解】由题意，4=2,-42

c、。“+3=1---eN)

故数列满足%，故=。7=。4=%=2

故选：A

4.C

邑

【分析】设出数列｛“』的首项《和公差a,通过题设条件求得外和"的数量关系，再将％用

前〃项和公式展开，整体代入即得.

【详解】设等差数列｛""｝的首项为4,公差为d（d*o）.

由。2，。4，。8成等比数列得a：=。2，。8,即：（%+3d）=（%+d）3+7d）

解得：d=%,a5%+4d5%

故选：C.

5.D

—.4一1一1_

MN=----a+-b+-c

【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到1+422,结合题意，列出方

程，即可求解.

【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：

----——>1—►——.2—.2一]一1一

MN=ON-OM=-（OB+OC）-----OA=一一-a+-b+-c

21+21+222,

,„*1-*1y141.1

MN=—a+—b+—c----=—A=—

因为422,所以1+24,解得3.

故选：D.

【分析】根据直线所过定点，结合图象即可判定.

【详解】直线/的方程可化为“（x+6）-G+6）=0,

所以直线/恒过点/（一6，一6）,

曲线C:y=49一x?即x2+y2=9（y>0）^

表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图），

-<k<2

由图可知，当3时，直线/与曲线C的交点个数为1.

7.A

_—1।——4

【分析】由已知条件求出等比数列的公比《=2,得到m+〃=3,利用基本不等式求加〃的

最小值.

【详解】设正项等比数列｛“力的公比为九由的,3%,%成等差数列,

有603=04+%即6Q3=+/始得6=0由解得夕=2,

若数列｛"”｝中存在两项明,外,使得④为为它们的等比中项,

则（疝*…

即2%—a\Qm,得2加+“-2=2,则加+〃=3,

14

—+—

mn3

n4m

当且仅当加一〃，即根=L〃=2时等号成立,

14

—I—

所以加〃的最小值为3.

故选：A

8.A

也」=3（"」）]

【分析】由递推关系可得2用2一22"2,求得。"=2",不等式恒成立等价于

3"”＞（-2尸”恒成立，讨论〃的奇偶即可求出.

也=3组二%1=3芦1）

【详解】由0用=3%-2",得2角一52"W,即2向2"2k2"2\

而，2一°,则2“2一°,即。“=2"'c“=3•-2x（_l"犷=3'-（-2”,

由数列｛'"｝为递增数列，得任意的“eN*,Cz恒成立，

则V”eN*,3"+--2严彳＞3"-（-2”,即3片＞（-2广彳恒成立,

2</°、“-111(°、“-1

当"为奇数时,2恒成立，数列5'单调递增，E的最小值为1,则2<1,

/3、“一］,/3、"-1、/313

当”为偶数时,-2恒成立，数列5单调递减，一5的最大值为-5,则

3,,

——<A<1

所以实数兄的取值范围为2

故选：A

思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即

可.

9.CD

【分析】对于A：根据方差的性质分析判断；对于BC：根据线性回归相关知识分析判断；

对于D：根据独立性检验相关知识分析判断.

【详解】对于选项A：因为〃=2J+1,所以刀(〃)=4。⑹，故A错误；

对于选项B：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数"的绝对值越接近于1,故B错误；

对于选项C：在回归直线方程步=0・卜+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量

方增加0.1个单位，故C正确；

对于选项D：因为％2=4712>3.841=%。5,

依据a=0.05的独立性检验，可判断X与F有关，故D正确；

故选：CD.

10.BD

【分析】根据等差数列的通项公式求解选项A,B；根据数列的前〃项和公式求解选项C,D.

【详解】若｛""｝为等差数列,则可设an=An+B,

。〃+1++1)+5+An+B=2+/+2B—4〃—1

J2N=433

所以i/+28=T,解得/_2,8-所以2〃一］

所以的首项为T,公差为2,A错误，B正确；

因为+%=4〃-1,所以｛«„+1+4｝是以3为首项的等差数列，

/、/、/、10(3+75)

S20=(4+出)+(%+%)+…+("19+40)=3+11+19+…+75=-------------=390

一'一'''2，C错误;

S2n=(%+%)+(〃3+。4)+(〃2〃一1+)=3+11+19+…+(8〃-5)

〃(3+8〃-5)

=4n2-n

2

22

1

4n2-n-(8〃-5)=4n2一9〃+5=4-5-2

因为168

即邑D正确；

故选:BD.

11.BCD

【分析】由等差数列的定义和通项公式求得“"一五，由数列的通项与前”项和的关系，求得

”=3”,结合数列的裂项相消求和、错位相减法求和，可得结论.

__L*

【详解】解：数列｛"/满足"'一5,%一%=2%%(»€>1),

———-=2—=2+2(n-l)=2na=1_

可得知+1an,即有an，即"2〃，

=1+-S(neN*)h=1+-S.=\+-b.,

由"3乙可得।313i,解得4=3Q

=1+2

由“…齐,

当时,可得

fa3-b〃-限1=^+-Sn-l--Sn_1=-bn

两式相减可得333,

即为“=34T,即数列3〃｝是首项为3,公比为3的等比数列，则2=3〃

故B正确;

12023

a-------fi-------

令〃2023,解得2,不为整数，故A错误；

11111111

“〃”向"丽节（7q]—F...H—1<—

则4223nn+l472+14,故

C正确;

%=2〃・3"

4=2(1-3+2-32+...+/Z-3,!)34,=2(i-32+2-33+...+77-3,!+1)

a„

3(1-3")]

-24=2(3+32+…+3"-小3向)=2△——^-n-y+l

1-3

两式相减可得7

,3(2n-l)-3"+1

A=—i-----------------

化为22故D正确.

故选：BCD.

12.-28

=。一姆+?.卜一7)8(x-v)8

【分析】由i了)》，再写出口一切展开式的通项，从而得到含

x3/的项，即可得解.

[1+±](%一姆=6_姆+土。一4

【详解】因为I刀>,

其中G一城展开式的通项为&i=C#r-(-y)r(0vv8且rwN),

fl+-\jc-j)835csx3-(-yj+--C8x2-(-J7)6=-28x3y5

所以l的展开式中含的项为了

所以的系数为-28.

故/8

1,77=1

2nx3n-l,n>2

13.

°&—=3"T-2

【分析】当”=1时求出生，当时23n-\，作差即可得解.

"+幺+■■■+^-=3"-2(neNf,n>l)

【详解】因为23n

当"=1时％=3-2=1

a、a.

a,+-+—+--+6-I=3"T_2

当〃22时i23n-\

"=3"-3'i=2X3"T

所以"，

所以%=2"X3"1

当”=1时%=2"x3'i不成立，所以“[2〃X3'T,"N2

[1,«=1

故[2〃><3'1,〃上2

14.5

【分析】先得到函数的周期，赋值法得到/⑴=1,12)24,从而得到

了㈡」

"7)=1J

进而得到当"22时，d2”,从而利用求和得到

“7开佃+„…+

从而得到,的最小值.

【详解】因为函数/(X)的图象关于直线%=°和》=2对称，

所以/(x)=/(j)=/(x-4),所以其周期T=4,

/(网+%)=/(网)+/(%)中，令占=%=1得，/(2)=2/(1)；

又"2)=2,解得"1)=1,同理可得/〔5)一5'//二,

々"/GA"].,/

所以

7=/1+|=/(1)+/14=/0)+巾+/I7

77777

22234,解得.刃一尹,

J7、7

依次类推，可得当〃22时,T2〃

77

7i+\a2向

/⑺+/1+/=5-

2"2F

所以

〃7)+4+/7

</

又2〃对任意“eN*恒成立，故此5.

故5.

7177

/(7)=1J

关键点点睛：关键是得到2,以及T2〃，由此即可顺利得解.

15.(1)7

(2)2

【分析】(1)根据题意结合等差数列通项公式求得"i=&d=-3,进而求S*解不等式即可;

(2)根据题意结合等比数列通项公式求得％—5,4=2,进而求S”二,代入运算即可.

【详解】(1)设｛"」的公差为d,

a1+d=54=8

4(q+44)=%+84,解得

由条件可得d=-3

m(m-l)、3

S=8m+-------x(z-3)=——m92+19

由m2V72乙<0m>——

2，解得切＜°或3,

且冽$N*,所以加的最小值为7.

(2)设包｝的公比为九

£

6

a5-a3=ad_%q2_2

I531c12，解得

由条件可得〔牝一%=%q_%q=12即〔国=

NT"1”-

则S"一p«„=2-2

1-2

S+-2"-1--+-

"2_22、

所以q2一一

n(n-l)

16.(I)"-2

*=12("+2〃1)+(〃3+2)

⑵

【分析】(1)利用累乘法即可得解；

(2)利用裂项相消法即可得解.

"〃+1_2“

【详解】(1)因为%=1,%,

&•也…红”(I)/、

-211+2++(B-1)21

所以a„_!a„_2a,=-2"…-2-1=2,"=2V-

当力=1时，%=1满足上式，

所以％=22；

(2)因为4=1吗a；+3〃=77(〃-1)+3"="("+2)

l=^_=早，)

所以b,n(n+2)2nn+2

八、〃

——1(I-|--1-------1----------1--)=--3----------2----+--3-------

S——(1—+------+•••-(-----------)

所以n2324nn+222n+1n+242(n+1)(«+2)

17.（1）0.2

（2）分布列见解析，数学期望为0.6

【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）根据独立重复实验相关概率

计算知识可得答案.

【详解】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A,

则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环,

则尸(/)=0.2*0.6+0.1x0.6+0.1x02=0.2

（2）由题可知X的所有可能取值为01，2,3,

由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2,

则X~B(3,0.2),

所以尸(X=0)=C；x0.2°x(l-0.2)3=0.512,尸(X=1)=C；x0.2x(1-0.2)2=0.384

p(X=2)=C|x0.22x(l-0.2)=0.096,P(X=3)=C；X0.23X(1-0.2)°=0.008

故X的分布列为

X0123

P0.5120.3840.0960.008

所以E(X)=3x0.2=0.6

18.⑴

设2,+8

⑵8

【分析】（1）根据题意，得到〃22时，4S,i=限册+1,两式相减得到an+x-an_x=4,得至巾

%，%，，。21，及。2，。4，，。2"，均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数

列的通项公式；

2"b-

（2）由（1）求得S“=〃2,证得为一2”恒成立，设"2",求得数列的单调性和最大值，

即可求解.

a=1S=""""+1+1

【详解】（1）解：因为数列"#的前"项和为S",且।"4,即4s“=。汹用+1,

当〃N2时,可得4S_i=an_xan+1,

两式相减得4""

因为故%—-=4,

所以外,21，…及。2,。4,…,。2”…均为公差为4的等差数列:

$=+1

当”=1时，由/=1及'4,解得出=3,

所以%a=1+4（"-1）=2（2”-1）-1,出“=3+4（"-1）=2伽）-1,

c_(2«-1)(2«+1)+1_2

_G〔o—―H-

(2)解：由(1)知-1,可得4

因为对于任意"€^,2"'»$"成立，所以？如恒成立，

八_"2h八_(〃+1)2n2-n2+2^+1

b——b—b----------------------

设"2",则向"2向2"2用,

当1-0<“<1+女,即"=1,2时，bn+i-bn>0,bn<bn+l

当”>]+0，即〃W3,〃eN*时，bn+l-bn<Q,bn>bn+x

所以b、<b2Vb3洒也>…,故(4解=仇盛，所以

-9)

一,+8

即实数4的取值范围为L8).

_3

19.(1)4.

⑵证明见解析

4

x——

⑶直线与直线8N的交点。落在定直线才上.

【分析】(1)利用斜率公式结合点在椭圆上代换化简求解;

(2)设直线儿W为：》=吵+1，与椭圆联立，将韦达定理代入斜率乘积的表达式化简求解即

可;

(3)设=w+与椭圆联立，联立直线/”和瓦V,得交点横坐标，并将韦达定理代

入化简即可求解.

【详解】(1)设N&，%),由于4-2,0)1(2,0)

.工+日=1■'(I/)

因为点N在椭圆上，43,于是4')