2024届江苏省南通、扬州、泰州七市高三年级下册5月第三次调研测试 数学 试题（学生版+解析版）

2024届江苏省南通、扬州、泰州七市

高三下学期5月第三次调研测试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，

在其他位置作答一律无效.

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

M=[xx=k+—,keZ,>,N=<xx=—+｝,keZ>

1.已知集合I212J,贝

1()

A.MqNB.N=MC.M=ND.MCN=0

2.已知三个单位向量a,0,c满足a=0+c，则向量4c的夹角为()

兀cn一2不

D.T

,?,y,T

3.某同学测得连续7天最低气温分别为1,2,2,以6,2,8(单位：℃)，若这组数据的平均数是中位数的2

倍，则〃?=()

A.2B.3C.6D.7

4.已知z为复数，则是“z?=7”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

5.已知cos]：—。=3cos(®+：,则sin2(9=()

3434

A.-B.=C.--D.一二

555

6.设数列｛环｝的前〃项和为S“，若S“+〃=2a“，则%=()

A65B.127C.129D.255

7.已知函数/(x)的定义域为R，且/(x+1)为偶函数，2)-1为奇函数.若〃1)=0,则2/⑹=

()

A23B.24C.25D.26

8.已知个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为36.，则该正四楂台内半径最大的球的表面

积为()

64K64K

A.12TIB.277iC.-----D.------

93

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知/(*=0sin(2.V+：］,则()

A./(兀+x)=/3B./信-3=/3

C.A-efo,^\/(A)>lD.J'(x)<。

10.在正方体—中，p为。。的中点，例是底面A8CO上一点，则()

A.仞为4c中点时，PM.LACt

B.用为AO中点时,P/W//平面A3G

C.满足2PM=^DD\的点M在圆上

D.满足直线P”与直线人。成30°角的点用在双曲线上

(1Y

11.已知2"=log|a,log/=|—，则()

2\2/

A.a+2"=b+2"Ba+b=2h+2a

£

CD.

2"+1>e"2">eb

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设a为实数，若函数=-心?+1在x=-4处取得极大值，则a的值为.

13.已知随机变量X~N（4,42）.若P（X<3）=0.3,则％3<X<5）=,若y=2X+l，则

Y的方差为.

14.已知巴，尸2是椭圆c：二+丁=1的左、右焦点，〃是。上点.过点R作直线P”的垂线4,过点凡

作直线2鸟的垂线仁若//的交点Q在c上（P,Q均在x轴上方），且|PQ|=乎，则c的离心率为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在&A8C中，角A,&C的对边分别为a,仪c,（2〃-c）cosA=acosC.

（1）求A；

（2）若的面积为"6C边上的高为1,求,ABC的周长.

16.如图，在直三棱柱AbC-44G中，AB=BC=2,AB±BC,CCt=273,=.

(I)当时，求证：CE，平面A8G；

(2)设二面角8-AE-C的大小为6,求sin。的取值范围.

17.己知函数y(x)=(i+x»-近-i伏>I).

(1)若x>—l,求/(x)的最小值：

⑵设数列储“｝前”项和S“，若a“=(i+e],求证：S“一〃N2-萼.

18.己知抛物线。：/=22丫5>0)的焦点为尸，直线/过点E交C于A6两点，C在A6两点的切线相

交于点P,AB的中点为。，且P。交C于点心当/的斜率为1时，|"|=8.

(1)求C方程：

(2)若点P的横坐标为2,求|Q目：

(3)设C在点E处的切线与PA,PB分别交于点M,N,求四边形ABNM面积的最小值,

19.“熠r常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一股燧越大

表示随机变量的不确定性越明显.定义：随机变量X对应取值x,的概率为p,=P（X=%）,其单位为bit

的焙为H（X）=Ep,.log2Pi,且£〃,=1.（当〃,=0,规定p,10g“Z=0.）

C=l

（1）若抛掷枚硬币1次，正面向上的概率为〃7（0<，〃<1）,正面向上的次数为X,分别比较〃7=,与

2

"7=：时对应”（X）的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；

（2）若抛郑一枚限强均名的硬币〃次,设x表示正面向上的总次数，y表示第"次反面向上的次数（0

或，〃（N，X）表示正面向上七次且第八次反而向上X次的概率，如〃=3时,p（O,l）=L对于两个

离散的随机变量X.Y,其单位为所的联合熄记为

'”H\nn

“（x,y）=-»乂知0）1叫〃（冷0）+»（41）嗔2“（%」），且»乂%,0）+»7（知1）=1.

、JIf=l）i=lHI

（i）当〃=3时，求〃（x,y）的值：

（ii）求证:”（X,y）<"—-^-（n>3）.

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高三下学期5月第三次调研测试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上,

在其他位置作答一律无效.

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

I〃

M=&4=女+二,4WZ

I.已知集合2，则（）

A.M=NB.NjMC.M=ND.Mc\N=0

【答案】A

【解析】

【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系.

【详解】M=JYX=〃eZ，=＜大4=

2

/V=4JVX=—+I,ZEZ\=X

22

因为2A+lMeZ表示所有的奇数，而k+2MeZ表示所有的整数，则MqN,

故选：A.

2.已知三个单位向量4仇。满足〃则向量5K的夹角为（）

A.工B.gC.D,

6336

【答案】C

【解析】

（分析】对等式两边同平方即可得力•c=--,再利用向量数量积定义和向量夹角范围即可得到答案.

2

【详解】a2=b2+c2+2t)c•l!Pl=l+l+2fec-

:,bc=,lip1x1cos(/7,c)---,则cos®c),

因为西工同0,兀］，：.b,c夹角］兀，

故选：C.

3.某同学测得连续7天的最低气温分别为1,2,2/〃,6,2,8(单位：℃)，若这组数据的平均数是中位数的2

倍，则”?=()

A.2B.3C.6D.7

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意分析可知：平均数为卫士丝，中位数为2,列式求解即可.

7

【详解】由题意可知：这组数据的平均数为1+2?=生+6+2+8=?土”,

77

除用外,将数据按升序排列可得1,2,2,2,6,8,

结合，”的任意性可知中位数为2,则21+'"=2x2,解得〃?=7.

7

故选：D.

4.已知z为复数，则"z=一'是"z2=1”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】正向可得zeR,则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得“=()或b=0,则必要性不成立.

【详解】若z=)则zwR，则T=六，故充分性成立：

若设z=c/+Z?i,a,〃6R,则d+2”bi,72=—2ab\—b2»

则2ab=。,。=0或匕=0,二.z与5不一定相等，则必要性不成立，

则、'z=丁'是"z2=z2”的充分非必要条件，

故选：A

5.已知cos'—匕=3cos,+"则Sin26>=()

【答案】B

【解析】

【分析】展开同平方并结合二倍角的正弦公式即可得到关于sin26的方程，解出即可.

[详解]展开得(cos。+sinJ)=3-(cos6—sin0)，

1,9

两边同平方有/(cose+sin。)-=—(cossinO')1>

i94

即一(1+sin2。)=一(1-sin2。),解得sin28=

225

故选:B.

6.设数列｛《｝的前〃项和为S.，若S“+〃=2q，则%=()

A.65B.127C.129D.255

【答案】B

【解析】

【分析】降次作差得q,+1=2(%T+1),再利用等比数列通项公式即可得到答案.

【详解】〃=1时，«,+1=2°4,则4=1.

〃22时，«„=S“-S,i=2o„-»-[2o,,_!-(/?-!)]=2a„-2a„_l~l,

=2a“_|+l,-.«„+1=2(《_]+1),4+1=2。0，

/.｛〃“+1｝是2为首项，2为公比的等比数列，二%+1=2x2。=2,=128,/.fl,=127,

故选：B.

7.已知函数/(x)的定义域为R,且/(.V+1)为偶函数，/(x+2)—1为奇函数.若/(1)=0,则£,/(A)=

A3

()

A.23B.24C.25D.26

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点(2,1)对称，则得到其周期，再计算其•个

周期内的和，最后代入计算即可.

【详解】/(x+1)偶函数，则f(x+】)=/(-x+l)则/(2关于x=l对称，

/(x+2)—1为奇函数，则/(—x+2)—1=—/(x+2)+l,

HPf[-x+2)+/(x+2)=2,则关于点(2,1)对称,

则由其关于x=1对称有/(x)=/(-x+2),则/(x)+/(x+2)=2,

则/(x+2)+/(x+4)=2,作差有/(A)=/(x+4),

・••/W为周期函数，且周期为4,因为/⑴+/(3)=2,=则/(3)=2,

因为/(0)=/(2),/(0)+/(2)=2,则/(0)=,〃2)=1,

/(4)=/(0)=1,则/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=4,

2426

，£/伏)=24,Z/(A)=24+0+1=25,

k工1届|

故选fC.

8.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3g,则该正四棱台内半径最大的球的表面

积为()

，八ccrc64nc64兀

A.12兀B.27兀C.-----D.----

93

【答案】D

【解析】

【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大

小，最后利用球的裹面积公式即可.

【详解】作出如图所示正四棱台，其中。。为正四棱台的高，Eg为其斜高，

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧校长为3后，

则"130=442,oq="3灼:卜五一可=36，

因为=36＞等=5,故半径最大的球不与上下底面同时相切,

则sinNOEE[=Q2L=旦则乙。后耳=-

I

过。,旦巴,01作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则/。2七。=今,

则。。，=」，三士g＜也=逆,则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，

一於322

即该正四棱台内半径最大的球半径r=还,球的表面积为S=4兀产=87r.

33

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧曲和底面同时相切的，再求出

其高，得到侧棱与底曲夹角，作出轴截曲图形，再求出最大球半径.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知/(x)=V1sin(2.r+：，则()

A./(7r+x)=/(x)B./('—x=/(x)

C.xeD.xe＜0

【答案】AC

【解析】

【分析】根据止弦型函数的周期即可判断A;根据其对称性即可判断B,利用整体法求出函数值域即可判断

C:求导并举出反例即可判断D.

［详解］对A,/(v)周期为=71(71+X)=f(X)9故A对;

对B,令21+'=三+痴，ZCGZ,则戈二四十红,ZCGZ,

4282

47r

若成立'则/(X)关于*=二对称,

>Q|

三+二=上，解得k=_L,因为k任z,则B错误：

82168

对C,•.1€(0*:2工+：6：，%卜5演,+：G(9,1,,/(X)€(1,2],故C正确：

对D,,/"(3)=2拒cos(2x+；),当*时，则/'(x)=0,则D错误，

故选：AC.

10.在正方体A8CD-A4GR中，〃为。R的中点，M是底面A8CD上一点，则()

A.历为AC中点时，PM1AC,

B.M为AO中点时，「例//平面48C

C.满足2PM=6。。1的点M在圆上

□,满足直线PM与直线AD成30°角的点M在双曲线上

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，对A计算FM-AG即可判断：对B利用线面平行的

判定定理即可判断；对C,计算得DM=无，则得到其轨迹：对D,根据线线夹角公式得到关于乂,'的方

程，化简即可.

【详解】不失般性，设正方体棱长为2,如图建系，因为?为。。的中点，

则P。0,1,42,0,0)6(0,2,2),

对A,肘为AC中点，则M(l,l,0)/M=(l,l,—l),AG=(-2,2,2),

PMACt=—2+2—2=—2/0,PM与AG不垂直，故A错误.

对B,肘为A。中点时，PM//A",因为AB"DRAB=Dg,

则四边形ABGA为平行四边形，则A"!!BCV:.PM!!BC},

因为BGu平面48G，所以PM"平面ABC，故B正确；

/TJ7

时C,令M(x,y,0),PM=*DI%=*x2=小，:.DM=0，

.•.M在以。为圆心，血为半径的圆上，故C正确：

对D,PM=(.v,y,-l),AD=(2,0,0).

=cos3()=|cosPM,AD\=/2X——，

2yjx2+y2+Ix2

■>

化简得三一,=],其为双曲线方程，故D正确，

3-

11.已知2"=log«Jog,0=|-，则（）

2'V2J

A.a+2a=b+2hB.a+b=2h+2,,

c2"+\>e«D.2">e『

【答案】AD

【解析】

【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式e*»x+】即可判断C：利用不

等式InxWx-l即可判断D.

【详解】对A,由图可知：)，=2,与)FQg：。交点A,,2"),(0<«<1)

.y=log2K与的交点8伍2')0>1),

根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A,8关于>对秘"

Q-L

故〈,4+2"=/?+2"，故A正确:

b=2a

对B,由A知〃+/?=2"+2"，故B错误：

对C,由“=2''"如2"=L则2"+1=，+1,设/(x)=e*-x-l,xeR,

aa

piijf(x)=et-l,则当xe(y,0)时，/'(x)<0,此时f(x)单调递减;

当x«0,y)时，/'(x)>0,此时f(x)单调递增;

则/(.r)2/(O)=O,则e*—x—l2()恒成立，即x+14e‘，当x=0时取等：

令犬=,，则有因为,¥0,则2+l<e",即/上〜上，故C错误;

aaaa"+i<e

对D,设”(x)=lnx+l-x,xe(O,-Rc),则=,

则当xe(O,l)时，J'(x)>。此时f(x)单调递增;

当x«l,+8)时,r(x)<0,此时/(x)单调递减：

则〃(x)W"(1)=0,即Inx+1-xW0在(0,+e)上恒成立，

即小工工刀一1在(0,+8)上恒成立，当犬=1时取等，

I，则<--1,即—1,因为Z?>1,则比〃>1一1，则/,、/一，

bbbb°八

故2"=/?>©=，故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点造：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数

的关系，而CD选项的关键在于两个不等式e'2x+l和1的运用.

三、填空题：本题共3小题，每小题S分，共1S分.

12.设。为实数，若函数=M+1在1=—4处取得极大值，则。的值为

【答案】-2

【解析】

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出〃的值部可.

【详解】解：f'(x)=.v2-2av=x(x-2a),

令r(x)=O,解得；x=0或x=2a,

若函数=+1在x=—4处取得极大值,

则2a=-4,解得〃=-2

当a=-2时>/,(A)=.v(.r+4),f(x)>0nx>或E<-4,(A)<0=>-4<x<0

所以函数KO(-4,0)上单调递减，在(-8,-4),(0,+。。)上单调递增.满足题意.

故答案为：一2.

13.已知随机变量X~N(4,4).若P(X<3)=0.3,则P(3<X<5)=.，若y=2X+i，则

丫的方差为

2

【答窠】①.0.4##1②.64

【解析】

【分析】由题意可知：〃=4.b=4,根据方差的性质可得。(丫)：根据正态分布的对称性可得P(3<X<5).

【详解】由题意可知：〃=4,b=4,即。(X)=16,所以。(y)=4/)(X)=64：

因为3+5=2〃,且P(X<3)=0.3,

所以P(3<X<5)=1-2P(X<3)=0.4.

故答案为:0.4；64.

14.已知£,凡是椭圆C：二■+y2=1的左、右焦点,

P是。上一点.过点6作直线PF、的垂线/),过点F2

作直线尸鸟的垂线4.若//的交点。在C上(P,。均在*轴上方)，且|PQ卜络，则C的离心率为

【答案】—

22

【解析】

【分析】设P(〃?,〃)，可得//的方程，联立方程求得。--,结合对称性可知〃/=—，进而

kn)5

列式求」,c’，即可得离心率.

【详解】设P(〃7,〃)，1(一C,0),g(c,o),由题意可知：士c,"＞。,

〃Ml+C

则直线PF.的斜率%=——,可知4的方程为y=-——(x+c),

1，〃+cn

同理可得：，2的方程为)'='〃—C(x--c)，

联立方程,，解得〃『一02,即。一"2,

1n-c,1v=-------I

)'=------X-"〃、

H

因为Q在。上，可知。。关于N轴对称,

且|PQ|=W,则2M二平,可得"=¥，

又因为———=/?,即3一M=I,

n5

处

由题意可得："?+〃2=1,整理得5/-16a2-16=0,

a"

c2=r/2-1

解得"=4或/=—、（舍去），则02=/-1=3，

所以。的离心率为e」=F邛.

故答案为：—.

2

【点睛】方法点睛：求椭网的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定〃，b,C的等量关系或不等

关系，然后把/＞用“，c代换，求e的值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在“WC中，角A,8,C的对边分别为a,〃,c,（2〃-c）cosA=acosC.

⑴求A；

（2）若^ABC的面积为瓜BC边上的高为1,求aABC的周长.

【答案】（I）-

3

⑵2册+2小

【解析】

【分析】利用正弦定理和三角恒等变换得cosA='，则得到A的大小；

2

（2）利用三角形面枳公式得收'=4,再结合余弦定理得〃+c的值，则得到其周长.

【小问I详解】

因为(2b-c)cosA="cost?,

由正弦定理，得(2sinB-sinC)cos=sinAcosC,

即2sinBcosA=sinAcosC+sinCeosA»即2sin5cosA=sinB.

因为在中，sinbHO,

所以cosA=—.

2

又因为0<A<7l,所以A=].

【小问2详解】

因为“SC的面积为G，

所以1axl=J5,得a=25.

2

rh-^csinA=>/3,即，〃c,x，

222

所以仅*=4.由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA.W12=ZJ2+c2-be.

化简得(〃+cf=3〃c+12,所以(〃+c/=24,即〃+C=2«，

所以^ABC的周长为a+〃+c=2#+2g..

16.如图，在直三棱柱ABC-44G中，AB=BC=2,AB工BCB=26，B£-<2<1).

A

（I）当7=；时，求证：CE,平面AAG；

（2）设二面角8-AE—C的大小为，，求sin8的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵（沔1）

【解析】

【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，得出相关向量，求出A8CE=0,8C/CE=0,再结合线面垂

直的判定即可：

1

(2)求出相关法向量，得到sin8再结合函数单调性即可得到其范围.

【小问1详解】

以BC,BA、BB]为基底建立如图所示空间直角坐标系，

则B(0,0,0),C(2,0,0),40,2,0),G(2,0,2。),E(0,0,2例).

.r2o

当；时，E[O,O,学J,

所以AB=(0,—2,0),BG=(2,0,26),CE=一2,0,芈)

所以AB,CE=0,BC1CE=0,所以CE_LAB,CE-LBQ.

又ABfl=B,ABu平面ABC”BGu平面ABC,,

AC=(2,-2,0),A卢=(0,-2,2GA)，

设平面AEC的•个法向量为n,=(x,y,2),

ACn.=02x-2y=0

则J即〈.厂,,不妨取”;二(/九&』).

AE-=0-2y+2V3Az=0

因为BC_£平面ABE,所以平面ABE的个法向量为々=(2,0,0).

得回一&

所以|cos0|=

同X网J6片+1

1

所以sin夕=Jl-cos?8=、+-7-----------------T

2"+1)

又因为0＜又＜1,易知/(2)=Jg+

彳6万+])在(0,1)上单调递减,

所以sin

17.已知函数/(x)=(l+x)A_kxT(k>1).

(1)若人・>T,求/(»的最小值:

(2)设数列｛4｝前〃项和S“，若％=]+),求证：s„-n>2-'^—.

\2'J2

【答案】(1)0(2)证明见详解

【解析】

【分析】(1)求导，利用导数判断/(K)的单调性，进而可得/(X)的最小值：

⑵当〃=1时显然成立，当〃22,结合(1)可得(l+x)*r+l,进而可得对〉提-+1=，—与乙+1,

利用裂项相消法分析证明.

【小问1详解】

因为/(x)=(l+x)'—Ax—1(2>1),则/'(x)=z[(l+x)l-l,

因为女〉1,则女一l〉0,且x>-l,

当一l<x<0时，则0<x+l<l,可得/'(,。=4[(1+》)‘1—1<A(l-l)=0；

当x>0时，则x+l>l,可得/'(x)=A[(l+x)i—-1)=0；

可知/(x)在(—1,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，

所以〃x)的最小值为/(。)=0

【小问2详解】

因为4“=(1+’~,

(2")

1QIC

若〃=1,则$=4=1+—=—，满足S-〃22—^---；

22T

若〃N2,由(1)可知：/(入)=(1+X)”—心■—120,

即(l+1)A?代+1,当且仅当1=0时，等号成立,

令>。，』>1，可得q=[i+£|>/+1=资-展+1，

_33445〃+1〃+2>1+2

可得S“>2一一+----r+—r一一r+---+—:------+"=2---------+〃,

222222232'22"

所以S.—〃>2-旺2：

"2〃

〃+2

踪上所述：S„-n>2--

18.已知抛物线C.x1=2/?)</?>0)的焦点为尸，直线，过点F交C于A,B两点，。在A,8两点的切线相

交于点RA8的中点为Q,且PQ交C千点E.当/的斜率为1时，卜回=8.

(1)求C的方程；

(2)若点〃的横坐标为2,求|。目：

(3)设C在点七处的切线与PA,PB分别交于点M,N,求四边形ABNM面积的最小值.

【答案】(I)f=4.y

(2)2

(3)3

【解析】

【分析】⑴设直线/的方程为『=心竹,4(3),8(公,)，2)，再联立得到韦达定理式，最后根据焦点弦

公式得到〃=2,则得到抛物线方程：

(2)首先得到Q(2A,2公+1),再根据导数得到两条切线方程，再计算出F的坐标，求出A值则得到相关

点坐标，即可求出|。目；

3

(3)首先证明出s四边的桃僧=]S,"，再计算出S。牝的表达式，从而得到其最小值.

【小问I详解】

由题意，直线/的斜率必存在.

设直线/的方程为3,=kx+g,A($,X),8(占,K)•

,pA>0,

=kx+—

联立，2得，一2川=0,（*）,所以彳司+&=2/次

2

-V=2py.vrv2=-/r.

当A=1时，A]+.v2=2/7,

此时|A5|=X+为+〃=（%+曰）+（占+日）+〃=（玉+*2）+2〃=8,

所以4〃=8,即〃=2.

所以。的方程为F=4)，.

【小问2详解】

由(1)知，A-,+-v2=2pk=4k,

则AC=2k,代入直线,y=心-+1得)，0=+],则AB中点Q(2k,2k-+1).

因为/=4.y,所以)，'=1,

则直线PA方程为y-x=y(.v-.V!),即y=

同理，直线用方程为y=^x2x-^x；,

2.2」.2

所以x=5------="「=2k,

P扑F)2

内($+勺)_二=型」],所以P(2A,—1).

444

因为xr=2,2A=2,即A=1,此时0(2,3),P(2,—1),

所以直线尸。的方程为x=2,代入1=4)，，得＞=1,

所以E(2,l),所以|0E|=2.

【小问3详解】

由(2)知0(2k2。+1),尸(2公一1),

所以直线PQ方程x=2k,

代入f=4.y,得.y=F，所以E(2A42),所以E为PQ的中点.

因为。在E处的切线斜率），'=：x2〃=k,

所以C在E处的切线平行于AB,

3

又因为£为尸Q的中点，所以S四加"的”二^S”旅.

由（1）中（*）式得V一4收一4=0,所以$+三=4k,

因为宜线AB方程为），=h+1,

所以|4回=》+必+〃=(依+1)+(h2+1)+2=k(内+*2)+4=4公+4.

又P（2k*-1）到宜线AB的距离人=2«、1

222

所以SAKP=51AB卜”=彳.(4"-+4>2\jk+1=4^+Q>4»

乙乙

（当旦仅当k=0时取“=”）

3

所以S四边形,vw“=wS.wN3,

所以四边形ABNM的面积的及小值为3.

3

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是找到S四边形，加V”=4SA砰，再结合焦点弦和点到宜线距离公式

得到S4ABP的表达式，从而得到其最小值.

1，"燧''常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熄越大

表示随机变量的不确定性越明显.定义：随机变量X时应取值者的概率为14=P（X=下），其单位为bit

的燧为“(X)=-£p,log,p,,且才q=1.(当Pi=0,规定p,log2p(.=0.)

fui

（1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为正