吉林省四平伊通县联考2024届十校联考最后数学试题含解析

吉林省四平伊通县联考2024学年十校联考最后数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知一个正多边形的一个外角为36。，则这个正多边形的边数是（）

A.8B.9C.10D.11

2.如图：在AABC中，CE平分NACB,C尸平分NACD,且跖//6C交AC于"，若。/=5,则。62+。尸2

等于（）

3.如图。O的直径垂直于弦CD,垂足是E,ZA=22.5°,OC=4,CD的长为（）

4.已知。O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

5.如图，点A为Na边上任意一点，作ACLBC于点C,CDLAB于点D,下列用线段比表示cosa的值，错误的是

BDAD

D.

AC

6.如图是一个放置在水平桌面的锥形瓶，它的俯视图是（）

7.如图是某几何体的三视图，下列判断正确的是（）

俯视图

A.几何体是圆柱体，高为2B.几何体是圆锥体，高为2

C.几何体是圆柱体，半径为2D.几何体是圆锥体，直径为2

8.五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42,这组数据的众数和中位数分别是（）

A.2、40B.42、38C.40、42D.42、40

9.若抛物线》=丘2-2x-1与x轴有两个不同的交点，则化的取值范围为（）

A.*>-1B.k>-lC.上>-1且时0D.4之-1且时0

10.如图1，点P从矩形ABC。的顶点A出发，沿I»8八以3，，、的速度匀速运动到点C，图2是点P运动

时，AAPD的面积》（。加2）随运动时间x（s）变化而变化的函数关系图象，则矩形的面积为（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN

与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45。，景点B的俯角为30。，此时C到地面

的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为一米（结果保留根号）.

12.若一组数据1,2,3,x的平均数是2,则x的值为

15454

13.已知m=,那么2016mn=

14.如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交

点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm）,那么该光盘的半径是—cm.

15.两圆内切，其中一个圆的半径长为6,圆心距等于2,那么另一个圆的半径长等于

16.如图，在△ABC中，AB=AC=15,点D是BC边上的一动点（不与B,C重合），ZADE=ZB=Za,DE交AB

于点E,且tan/a=；,有以下的结论：@AADE^AACD；②当CD=9时，AACD与ADBE全等；③4BDE为直角

三角形时，BD为12或±@0<BE<y,其中正确的结论是（填入正确结论的序号）.

17.（8分）如图，已知点A、。在直线/上，且AO=6,于。点，且OD=6,以。。为直径在0。的左侧

作半圆E,于A,且NC4O=60°.

若半圆E上有一点尸，则AF的最大值

为；向右沿直线/平移得到NB'4。；

①如图，若截半圆E的G”的长为力，求NA'GO的度数;

②当半圆E与NB'A'C'的边相切时，求平移距离.

18.（8分）如图，已知OO的直径AB=10,弦AC=6,NBAC的平分线交。O于点D,过点D作DE,AC交AC的

延长线于点E.求证：DE是。。的切线.求DE的长.

19.（8分）如图，是5x5正方形网格，每个小正方形的边长为1,请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在

所给小正方形的顶点上.

（1）在图（1）中画出一个等腰△ABE,使其面积为3.5；

（2）在图（2）中画出一个直角ACDF,■使其面积为5,并直接写出DF的长.

20.（8分）如图，在RtAABC中，NC=90。，AC=6，tan3=L,半径为2的。C分别交AC,5c于点E,得

2

到OE弧.求证：A3为OC的切线.求图中阴影部分的面积.

21.（8分）某景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，

10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票

费用yi（元）及节假日门票费用yz（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示.

（1）a=,b=；

（2）确定y2与x之间的函数关系式：

（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到该景区旅游，两团共计50人,

两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？

22.(10分)如图，一次函数yi=fcr+仇时0)和反比例函数%=一(而邦)的图象交于点A(—1,6),B(a,-2).求一次

x

函数与反比例函数的解析式;根据图象直接写出四＞/时，x的取值范围.

23.(12分)已知关于x的一元二次方程kx2-6x+l=0有两个不相等的实数根.

(1)求实数k的取值范围；

(2)写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根.

24.已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE,过点A作NAFD,使NAFD=2NEAB,AF交CD于

点F,如图①，易证：AF=CD+CF.

(1)如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF,CD,CF之间有怎样的数量关系？请写出你

的猜想，并给予证明；

(2)如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF,CD,CF之间又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解题分析】

试题分析：已知一个正多边形的一个外角为36。，则这个正多边形的边数是360+36=10,故选C.

考点：多边形的内角和外角.

2^B

【解题分析】

根据角平分线的定义推出AECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2,进而可求出CE2+CF2的

值.

【题目详解】

解：YCE平分NACB,CF平分NACD,

.\ZACE=-ZACB,ZACF=-ZACD,BPZECF=-（ZACB+ZACD）=90。，

222

...△EFC为直角三角形，

又；EF〃BC,CE平分NACB,CF平分NACD,

:.ZECB=ZMEC=ZECM,NDCF=/CFM=NMCF,

.\CM=EM=MF=5,EF=10,

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1.

故选:B.

【题目点拨】

本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的

角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90。的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证

明出AECF为直角三角形.

3、C

【解题分析】

•.•直径AB垂直于弦CD,

1

.\CE=DE=-CD,

2

；NA=22.5。，

二ZBOC=45°,

/.OE=CE,

设OE=CE=x,

VOC=4,

/.x2+x2=16,

解得：x=2-y/2，

即：CE=20,

，CD=4也，

故选C.

4、D

【解题分析】

【分析】由图可知，OA=10,OD=1.根据特殊角的三角函数值求出NAOB的度数，再根据圆周定理求出NC的度数,

再根据圆内接四边形的性质求出NE的度数即可.

【题目详解】由图可知，OA=10,OD=1,

在RtAOAD中，

VOA=10,OD=1,AD=yJo^-OD1=5^3，

ADr

；.tanNl=-----=yJ3,.,.Nl=60°,

OD

同理可得N2=60。，

:.ZAOB=Z1+Z2=60°+60°=120°,

.•.ZC=60°,

:.ZE=180°-60°=120°,

即弦AB所对的圆周角的度数是60。或120°,

故选D.

【题目点拨】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用

相关知识是解题的关键.

5、D

【解题分析】

根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案.

【题目详解】

BDBCCD

cosa=-----=------=------.

BCABAC

故选D.

【题目点拨】

熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键.

6、B

【解题分析】

根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.

【题目详解】

锥形瓶从上面往下看看到的是两个同心圆.

故选B.

【题目点拨】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

7、A

【解题分析】

试题解析：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱,

再根据左视图的高度得出圆柱体的高为2；

故选A.

考点：由三视图判断几何体.

8、D

【解题分析】【分析】根据众数和中位数的定义分别进行求解即可得.

【题目详解】这组数据中42出现了两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是42,

将这组数据从小到大排序为：37,38,40,42,42,所以这组数据的中位数为40,

故选D.

【题目点拨】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.将一组数据从小到大(或从大到

小)排序后，位于最中间的数(或中间两数的平均数)是这组数据的中位数.

9、C

【解题分析】

根据抛物线-2x-1与x轴有两个不同的交点，得出方2-4ac>0,进而求出发的取值范围.

【题目详解】

,二次函数-2x-1的图象与x轴有两个交点，

'.b2-4ac=(-2)2-4xfcx(-1)=4+4A>0,

：.k>-1,

•••抛物线y=3-2x-1为二次函数，

.•.存0,

则k的取值范围为兀>-1且厚0,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了二次函数y=a/+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关

系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.

10、C

【解题分析】

由函数图象可知AB=2x2=4,BC=(6-2)x2=8,根据矩形的面积公式可求出.

【题目详解】

由函数图象可知AB=2x2=4,BC=(6-2)x2=8,

/.矩形ABCD的面积为4x8=32,

故选:C.

【题目点拨】

本题考查动点运动问题、矩形面积等知识，根据图形理解AABP面积变化情况是解题的关键，属于中考常考题型.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、100+100V3

【解题分析】

【分析】由已知可得NACD=NMCA=45。，ZB=ZNCB=30°,继而可得NDCB=60。，从而可得AD=CD=100米，DB=

100逝米，再根据AB=AD+DB计算即可得.

【题目详解】VMN//AB,ZMCA=45°,ZNCB=30°,

.,.ZACD=ZMCA=45O,ZB=ZNCB=30°,

VCD1AB,.•.ZCDA=ZCDB=90°,NDCB=60。，

■:CD=100米，,AD=CD=100米，DB=CD«tan60°=也CD=10073米，

/.AB=AD+DB=100+100（米），

故答案为：100+1006.

【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三

角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

12、1

【解题分析】

根据这组数据的平均数是1和平均数的计算公式列式计算即可.

【题目详解】

•••数据1,1,3,x的平均数是1,

.l+2+3+x

/.-----------------=2,

4

解得：x=2.

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查了平均数的定义，根据平均数的定义建立方程求解是解题的关键.

13、1

【解题分析】

根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的塞的积，然后化简从而得到m=n,再根据任何非零数的零次

暴等于1解答.

【题目详解】

翻.._154_34?5_54

解：.m=^=^-=护,

..m=n,

.,.2016mn=2016°=l.

故答案为：1

【题目点拨】

本题考查了同底数塞的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m的分母并得到m=n.

14、5

【解题分析】

本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解.

【题目详解】

解：如图，设圆心为O,弦为AB,切点为C.如图所示.则AB=8cm,CD=2cm.

连接OC,交AB于D点.连接OA.

•••尺的对边平行，光盘与外边缘相切，

/.OC±AB.

AD=4cm.

设半径为Rem,则R2=4?+(R-2)2,

解得R=5,

...该光盘的半径是5cm.

故答案为5

【题目点拨】

此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键.

15、4或1

【解题分析】

•.•两圆内切，一个圆的半径是6,圆心距是2,

，另一个圆的半径=6-2=4；

或另一个圆的半径=6+2=1,

故答案为4或1.

【题目点拨】本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法.注意圆的半径是6,要分大圆和小圆两种情况讨论.

16、②③.

【解题分析】

试题解析：①；NADE=NB,ZDAE=ZBAD,

/.△ADE^AABD；

故①错误；

②作AG±BC于G,

,:NADE=NB=(x,tanNa=；,

.AG3

•9BG=49

.BG4

•,石=亨

.4

・・cosa=《,

VAB=AC=15,

.\BG=1,

/.BC=24,

VCD=9,

ABD=15,

AAC=BD.

VZADE+ZBDE=ZC+ZDAC,ZADE=ZC=a,

AZEDB=ZDAC,

在^ACD^ADBE中,

\^DAC=4DB

IAC=BD9

AAACD^ABDE(ASA).

故②正确；

③当NBED=90。时，由①可知：AADEs/^ABD,

/.ZADB=ZAED,

VZBED=90°,

:.ZADB=90°,

即AD±BC,

VAB=AC,

/.BD=CD,

r3

:.NADE=NB=a且tanNa=;,AB=15,

.BD4

=5

ABD=1.

当NBDE=90。时，易证ABDEsaCAD,

VZBDE=90°,

:.ZCAD=90°,

,:NC=a且cosa=j,AC=15,

.AC4

・・cosC=^=J

・75

/.CD=7.

VBC=24,

•*-BD=24-7=7

即当ADCE为直角三角形时，BD=1或1.

故③正确；

④易证得小BDE^ACAD,由②可知BC=24,

设CD=y,BE=x,

.xc_nc

**BD~BE9

・15y

**24-v~x9

整理得：y2-24y+144=144-15x,

即(y-1)2=144-15X,

.48

..0<x<y,

.48

/.0<BE<y.

故④错误.

故正确的结论为：②③.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)6&;(2)①75。；②3上

【解题分析】

(1)由图可知当点F与点。重合时，A尸最大，根据勾股定理即可求出此时AF的长；

(2)①连接EG、EH.根据的长为万可求得NGEH=60。，可得AGEH是等边三角形，根据等边三角形的三个角

都等于60。得出N77GE=60。，可得EG//A，。，求得NGEO=90。，得出△GEO是等腰直角三角形，求得NEGO=45。，根

据平角的定义即可求出NA'G。的度数；

②分CN'与半圆相切和*4'与半圆相切两种情况进行讨论，利用切线的性质、勾股定理、切斜长定理等知识进行解答

即可得出答案.

【题目详解】

解：

(1)当点F与点。重合时，A歹最大，

4尸最大=40=+OD2=60，

故答案为：672;

(2)①连接EG、EH.

'：GH=ZGEHX7rx3=7i,

180

NGEH=60。.

'：GE=GH,

:.AGEH是等边三角形,

：.ZHGE=ZEHG=60°.

VZCA'(9=60°=ZHGE,

：.EG//A'O,

ZGEO+ZEOA'=180°,

VZEOA'=90°,

.•・NGEO=90。,

"：GE=EO,

:.NEGO=NEOG=45。,

：.ZA'GO=75°.

②当。4切半圆E于。时，连接EQ,则NEQ4=90。.

VZEOA'=90°,

A'O切半圆E于。点，

NEA'O=NEA'Q=30。.

"：OE=3,

:•A'0=3下），

；・平移距离为AA，=6-3JL

当5'A'切半圆E于N时，连接EN并延长/于P点，

VZO4'B'=150°,ZEA⑷=90°,ZEOA'=9Q0,

：.NPEO=30。,

'：OE=3,

:.EP=2百，

,:EN=3,

/.NP=2石-3，

ZNA'P=30°,

:.A'N=6-3⑸

,:A'O=A'N=6-36,

•••4A=3百.

cD

【题目点拨】

本题主要考查了弧长公式、勾股定理、切线的性质，作出过切点的半径构造出直角三角形是解决此题的关键.

18、（1）详见解析；（2）4.

【解题分析】

试题分析：（1）连结OD,由AD平分NBACQA=OD,可证得/ODA=NDAE,由平行线的性质可得OD〃AE,再由

DE_LAC即可得OE_LDE,即DE是。O的切线；（2）过点O作OF_LAC于点F,由垂径定理可得AF=CF=3,再由

勾股定理求得OF=4,再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4.

试题解析:

(1)连结OD,

VAD平分NBAC,

.,.ZDAE=ZDAB,

VOA=OD,

,\ZODA=ZDAO,

.\ZODA=ZDAE,

...OD〃AE,

VDE±AC

AOE1DE

；.DE是。O的切线；

(2)过点O作OF_LAC于点F,

.\AF=CF=3,

OF=/心—炉=音-32-4，

■:ZOFE=ZDEF=ZODE=90°,

二四边形OFED是矩形，

/.DE=OF=4.

考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.

19、(1)见解析；(2)DF=710

【解题分析】

(1)直接利用等腰三角形的定义结合勾股定理得出答案；

(2)利用直角三角的定义结合勾股定理得出符合题意的答案.

【题目详解】

(1)如图(1)所示：AABE,即为所求；

(2)如图(2)所示：ACDF即为所求，DF=V10.

【题目点拨】

此题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形面积求法，正确应用网格分析是解题关键.

20、(1)证明见解析；(2)1”.

【解题分析】

(1)解直角三角形求出3C,根据勾股定理求出A3,根据三角形面积公式求出C尸，根据切线的判定得出即可；

(2)分别求出AACB的面积和扇形OCE的面积，即可得出答案.

【题目详解】

(1)过C作C尸_LA3于尸.

•.•在RtAABC中，NC=90。，AC=6,tanB=——=—,:.BC=2后,由勾股定理得：AB=^AC2+BC2=1.

BC2

•..△AC3的面积=."■=石义,君=2,.,.CF为。C的半径.

225

tJCFLAB,...Ab为。C的切线;

c

(2)图中阴影部分的面积=SAACB-S扇形0CE二■x逐x26_90万>2=］一兀.

2360

【题目点拨】

本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出C尸的长是解答此题的关键.

'80%(0<x<10)

21、(1)a=6,b=8；(2)%=〈'7;(3)A团有20人，B团有30人.

64x+160(x>10)

【解题分析】

(1)根据函数图像，用购票款数除以定价的款数，计算即可求得a的值；用11人到20人的购票款数除以定价的款数,

计算即可解得b的值；

(2)分0WX&0与x>10,利用待定系数法确定函数关系式求得yz的函数关系式即可；

(3)设A团有n人，表示出B团的人数为(50-n),然后分gx/lO与x>10两种情况，根据(2)中的函数关系式列

出方程求解即可.

【题目详解】

(1)由yi图像上点(10,480),得到10人的费用为480元，

.-.a=—xl0=6；

800

由y2图像上点(10,480)和(20,1440),得到20人中后10人的费用为640元,

.-.b=^xlO=8；

800

(2)

OWxWlO时，设y2=k2X,把(10,800)代入得10k2=800,

解得k2=80,

•*.y2=80x,

x>10,设y2=kx+b,把(10,800)和(20,1440)代入得

flQk+b=8QQ\k=64

《解得4

20k+b=1440b=160

y2=64x+160

._f80%(0<x<10)

••必=v

一[64x+160(x>10)

(3)设B团有n人，则A团的人数为(50-n)

当0<n<10时80n+48(50-n)=3040,

解得n=20(不符合题意舍去)

当n>10时80xl0+64(n—10)+4860—n)=3040,

解得n=30.

则50-n=20人，

则A团有20人，B团有30人.

【题目点拨】

此题主要考查一次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式.

22、(1)yi=-2x+4,y2=--;(2)*<—1或0<x<L

x

【解题分析】

(1)把点A坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析

式求出a的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；

(2)找出直线在一次函数图形的上方的自变量x的取值即可.

【题目详解】

解：(1)把点A(-1,6)代入反比例函数%二—(m#0)得：m=-1x6=-6,

6

将B(a,-2)代入丁2二-9得：-2=,a=l,.*.B(1,-2),将A(-1,6),B(1,-2)代