2025年中考数学专题29 圆内最大张角之米勒角问题（解析版）

模型介绍模型介绍故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.米勒问题：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。米勒定理在解题中的应用常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。例题精讲例题精讲【例1】．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠ACB最大，则t的值为（）A． B． C． D．解：如图①，作过A、B两点的⊙M与y轴相切于点C，∵∠AC'B＜∠APB，∠APB＝∠ACB，∴∠AC'B＜∠ACB，∴⊙M与y轴相切于点C时，∠ACB最大．如图②，作MH⊥AB，连接OM、MA、MB，∵⊙M与y轴相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵A（1，0），B（5，0），∴AB＝4，∵MH⊥AB，∴AH＝AB＝2，∴OH＝1+2＝3，∴MC＝MA＝MB＝3，∴，∴，∴，故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝4﹣2．解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，∵∠DOM＝2∠DPM，∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，∵M是CD的中点，CD＝4，∴CM＝DM＝2，连接OP，则OP⊥BC，∵∠C＝90°，ON⊥CD，∴四边形OPCN是矩形，∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM，在Rt△MON中，由勾股定理得，ON＝＝＝2，即PC＝2，∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2，故答案为：4﹣2．【变式1-2】．如图，∠AOB＝60°，M，N是OB上的点，OM＝4，MN＝．（1）设⊙O过点M、N，C、D分别是MN同侧的圆上点和圆外点．求证：∠MCN＞∠MDN；（2）若P是OA上的动点，求∠MPN的最大值．（1）证明：当C在MD上或在MC上时，如图，显然∠MCN＞∠MDN（三角形的外角大于不相邻的内角），当C不在MD上或在MC上时，如图，设MD与圆交于E点，连接NE，则∠MEN＝∠MCN（同弧上的圆周角相等），而∠MEN＞∠MDN，∴∠MCN＞∠MDN；（2）解：设过M、N作圆F与OA相切于点Q，由（1）知：∠MQN即为所求角，作MN的垂直平分线分别交OA、OB于G、H，则圆心F在GH上，设FQ＝FM＝r，∵∠AOB＝60°，∠OHG＝90°，∴∠OGH＝30°，∴FG＝2r，HF＝＝，则GH＝，解得r＝，则∠MQN＝∠MFN＝30°，∴∠MPN的最大值为30°．【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为（1，0）．解：过点M、N、P三点的圆的圆心在线段MN的中垂线：y＝﹣x+3上，∠MPN为弦MN所对应的圆周角，∴当圆的半径最小时有∠MPN最大，∵P在x轴上运动，∴当圆与x轴相切时，圆的半径最小，即此时∠MPN最大．设此时P点坐标为：（p，0），则圆心Q的坐标为（p，﹣p+3），∵MQ＝PQ，∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2，解得：p＝1或p＝﹣6（舍），∴P点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．变式训练【变式2-1】．如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是20米．解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20m，故答案为：20．【变式2-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴当DE＝时，∠AED的值最大．1．在平面直角坐标系中，点A（0，2）、B（a，a+2）、C（b，0）（a＞0，b＞0），若AB＝4且∠ACB最大时，b的值为（）A．2+2 B．﹣2+2 C．2+4 D．﹣2+4解：∵B（a，a+2）∴点B在y＝x+2这条直线上，又AB＝4，A（0，2），∴B（4，6），如图，当△ABC的外接圆与x轴相切时，∠ACB有最大值．取点G为AB中点，∴G（2，4），过点G且垂直于AB的直线为：y＝﹣x+6，设圆心F（m，﹣m+6），∵FC＝FB，∴（﹣m+6）2＝（m﹣4）2+（﹣m+6﹣6）2解得m＝2﹣2．故选：B．2．如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（）A．2 B．3 C． D．解：当△DBC∽△DCA时，∠ACB最大，∴，∴CD2＝BD•AD＝1×（1+4）＝5，∴CD＝，故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为故选：C．3．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（，0）．解：过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，∠ACB最大，连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，∵点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），∴OA＝1，AB＝3﹣1＝2，∵PH⊥AB，∴AH＝BH＝1，∴OH＝2，∵点⊙P与x轴相切于点C，∴PC⊥x轴，∴四边形PCOH为矩形，∴PC＝OH＝2，∴PA＝2，在Rt△PAH中，PH＝＝＝，∴C点坐标为（，0）．故答案为（，0）．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝8﹣2．解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，∵∠DOM＝2∠DPM，∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，∵M是CD的中点，CD＝4，∴CM＝DM＝2，连接OP，则OP⊥BC，∵∠C＝90°，ON⊥CD，∴四边形OPCN是矩形，∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM，在Rt△MON中，由勾股定理得，ON＝＝＝2，即PC＝2，∴BP＝BC﹣PC＝8﹣2，故答案为：8﹣2．5．某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OD边上的点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果更佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大？若存在，请求出此时OP的长和，∠APB的度数；若不存在，请说明理由．解：如图，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，∵TA＝TB，TH⊥AB，∴AH＝HB＝100（m），∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝（400+100）（m），∴QH＝OH＝（400+300）（m），∠OQH＝30°，∴TQ＝2PT＝2r，∵TH＝＝，∴2r+＝400+300，整理得：3r2﹣（1600+1200）r+600000+240000＝0，∴（r﹣200）（3r﹣1000﹣1200）＝0，∴r＝200或（1000+1200）（舍弃），∴AT＝200m，∴AT＝2AH，∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°，∴∠APB＝∠ATB＝30°，∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200﹣600＝（200+200）（m）．6．某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现了准确、快速和节约的目标．在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试验发现：如图，若对A点进行消毒，适当调整机器人CD到AB的距离，使得sin（α﹣β）的值尽可能的大，能提高消毒的效率．已知“大黄蜂”AB身高2.5米，机器人CD高0.4米．则当sin（α﹣β）最大时，机器人CD和“大黄蜂”AB之间距离BC等于米．如图，过点C作CF⊥AE于点F，设BC＝x米，根据题意得：CD⊥BE，AB⊥BE，AB＝2.5米，CD＝0.4米，∴CD∥AB，∴△CDE∽△BAE，∴，即，解得：CE＝x米，∵a＝β+∠CAF，∴∠CAF＝a﹣β，∴当sin（a﹣β）最大时，sin∠CAF最大，∴（sin∠CAF）2最大，即最大，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝x2+＝，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝x2+，∵CD•CE＝DE•CF，∴CD2•CE2＝DE2•CF2，∴CF2＝＝＝，∴＝＝，∵x≠0，∴＝，∵最大，∴400x2++4264最小，即400x2+最小，∵（﹣）2≥0，即400x2+﹣2≥0，∴400x2+≥2，∴当＝，即x＝或（舍去）时，400x2+最小，即当sin（α﹣β）最大时，机器人CD和“大黄蜂”AB之间距离BC为米．故答案为：米．7．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y轴正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB＝，求点P的坐标；②当点P的坐标为（0，2）时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB＝∠ACB，∴tan∠ACB＝tan∠APB＝＝，∵A（2，0），B（6，0），∴AB＝4，BC＝8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK＝PK＝4，AC＝8，∴BC＝＝4，∴C（6，4），∴K（4，2），∴P（0，2），故答案为（0，2）．（3）如图3中，当经过AB的圆与直线相切时，且点P在x轴的上方时，∠APB最大．∵直线y＝x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4），∵MP是切线，∴∠MPA＝∠MBP，∵∠PMA＝∠BMP，∴△PMA∽△BMP，∴＝，∴MP2＝MA•MB，∴MP＝3，作PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴＝＝，∴＝＝，∴PK＝，MK＝，∴OK＝﹣3，∴P（﹣3，）．8．问题提出（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB＞∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）；问题探究（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；问题解决（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：如图1，过点E作EF⊥AB于点F，∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD中点，∴四边形ADEF是正方形，∴∠AEF＝45°，同理，∠BEF＝45°，∴∠AEB＝90°．而在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB＜90°，∴∠AEB＞∠ACB．故答案为：＞；（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，∵∠AFB是△EFB的外角，∴∠AFB＞∠AEB，∵∠AFB＝∠APB，∴∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大：（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA＝CQ，以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置，由题意知DP＝OQ＝，∵OA＝CQ＝BD+QB﹣CD＝BD+AB﹣CD，BD＝11.6米，AB＝3米，CD＝EF＝1.6米，∴OA＝11.6+3﹣1.6＝13米，∴DP＝米，即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是（4，3），⊙C的半径是3；②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为（0，﹣）．解：（1）①∵点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0），∴OA＝1，OB＝7．∴AB＝6．过点C作CD⊥AB于点D，如图，则AD＝BD＝AB＝3．∴OD＝AO+AD＝4．∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．∵CD⊥AB，CA＝CB，∴CD＝AB＝3．∴C（4，3）．∴AC＝，∴⊙C的半径是3．故答案为：（4，3）；3；②y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，理由：设⊙C交y轴于点D，E，连接CD，CE，过点C作CG⊥CD于点G，CF⊥AB于点F，如图，则∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．∴D，E为y轴正半轴上线段AB的“完美点”．则EG＝DG＝DE，CD＝CE＝3．∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，∴四边形OFCG为矩形．∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．在Rt△CGE中，∵EG2＝CE2﹣CG2，∴EG＝＝．∴GE＝DG＝．∴OE＝OG﹣GE＝3﹣，OD＝OG+DG＝3+．∴E（0，3﹣），D（0，3+）．∴y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，“完美点”的坐标为（0，3+）或（0，3﹣）；（2）设⊙C与y轴负半轴切于点P，在y轴负半轴上任取一点Q（与点P不重合），连接BQ，AQ，BQ与⊙C交于点D，连接AD，如图，则∠APB＝∠ADB，∵∠ADB＞∠AQB，∴∠APB＞∠AQB．∴当P运动到⊙C与y轴相切时，∠APB的度数最大．连接PC并延长交⊙C于点E，连接AE，如图，∵OP是⊙C的切线，∴CP⊥OP，∴∠OPA+∠ABE＝90°．∵PE为⊙C的直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE+∠E＝90°，∴∠OPA＝∠E，∴∠E＝∠OBP，∴∠OPA＝∠OPB，∵∠AOP＝∠POB＝90°，∴△OAP∽△OPB，∴，∴OP2＝OA•OB．∴OP＝．∴P（0，﹣）．故答案为（0，﹣）．10．问题提出（1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线l，在l上任取一点D，连接BD、CD，则∠BAC与∠BDC的大小关系为∠BAC≥∠BDC；问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点，当∠BEC最大时，求cos∠BEC的值；问题解决（3）如图③，某商场在一部向下运行的手扶电梯BC的终点C的正上方竖直悬挂一幅高度DE＝4m的广告画．已知广告画的最低点D到地面AC的距离为6.5m，该电梯的高AB为4m，它所占水平地面的长AC为8m．小明从点B出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视角为∠DPE．已知小明的眼睛P到脚底的距离PQ为1.5m，电梯在竖直AB方向上的下降速度为20cm/s，求当小明站在电梯上多长时间时，∠DPE取得最大值．解：（1）设CD与圆O交于点E，连接BE，如图，则∠BAC＝∠BEC，∵∠BEC是△BDE的外角，∴∠BEC＞∠BDC，∴∠BAC＞∠BDC，当点D与点A重合时，∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC≥∠BDC；故答案为：∠BAC≥∠BDC；（2）作BC的垂直平分线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP、CP，作△PBC的外接圆圆O，圆O与直线PQ交于另一点N，如图，则PB＝PC，圆心O在PN上，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴OP⊥AD，∴圆O与AD相切于点P，∴PQ＝AB＝6，BQ＝BC＝4，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，∴圆心O在弦BC的上方，设EC与圆O交于点M，连接MB，则∠BPC＝∠BMC≥∠BEC，∴当点E与点P重合时，∠BEC最大，连接OB、EN，则∠BON＝2∠BEN＝∠BPC，∵OB＝OP＝6﹣OQ，∴BQ2+OQ2＝OB2，∴42+OQ2＝（6﹣OQ）2，∴OQ＝，∴OB＝，∴cos∠BEC＝cos∠BOQ＝＝，即当∠BEC最大时，cos∠BEC的值为；（3）过点P作BC的平行线，交CE于点M，作△PDE的外接圆圆O，连接PO并延长与圆O交于另一点N，连接DN，如图，根据（2）的结论得，圆O与PM相切时，∠DPE最大，此时OP⊥PM，即∠MPN＝90°∴∠MPD+∠DPN＝90°，∵PN是圆O的直径，∴∠PDN＝90°，∴∠DNP+∠DPN＝90°，∴∠DNP＝∠MPD，∵∠DNP＝∠DEP，∴∠MPD＝∠DNP，∵∠PMD＝∠EMP，∴△PMD∽△EMP，∴DM：PM＝PM：EM，∴PM＝DM•EM，∵MC＝PQ＝1.5m，∴DM＝CD﹣MC＝5m，EM＝ED+DM＝9m，∴PM＝＝＝3（m），∴QC＝PM＝3m，在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC＝4（m），∴BQ＝BC﹣CQ＝m，∵BC：AB＝4：4＝，∴小明站在电梯上，从点B到点Q时，沿竖直AB方向下降的距离为1m，∴下降时间为100：20＝5（s），即小明站在电梯上5s时，∠DPE取得最大值．11．问题背景（1）如图（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．问题解决（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cos∠APB最小？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．拓展应用（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值.解：符合条件的点P应该是以AB为弦所在圆恰好与过N点且与AN垂直的直线相切时的切点．（1）问题背景：如图1，设直线BP交⊙O于点A′，连接CA′，则∠CA′B＞∠P，而∠CA′B＝∠CAB，∴∠BPC＜∠BAC；（2）问题解决：如图2，过点B、A作⊙C与x轴相切于点P，连接AC、PC、BC，∵x轴的坐标轴上的点除了点P外都在圆外，∴∠APB最大，即cos∠APB最小，由点B、A的坐标，根据中点公式得，点C的纵坐标为（2+4）＝3，设点P（x，0），则点C（x，3），∵点P、B都是圆上的点，∴CB＝CP，∴x2+（4﹣3）2＝32，解得：x＝±2（舍去负值），故点P的坐标为：（2，0）；（3）拓展应用：过点B作BH⊥CD于点H，过点A作AM⊥DE于点M，延长AM到点N使MN＝AM，过点N作DE的平行线l，过点F作FG⊥l于点G，FG交DE于点Q，以AB为直径作⊙F交直线l于点P′，在梯形ABCD中，AB＝8，CD＝11，则CH＝11﹣8＝3，∵tanC＝＝＝2，解得：BH＝6＝AD＝AE，在等腰直角三角形ADE中，S△ADE＝×AD×AE＝18，∵MN＝AM，∴S△DEN＝S△ADE＝9，∵直线l∥DE，∴S△P′ED＝S△DEN＝9＝S△DEP，∴从面积看，点P′符合点P的条件，即点P可以和点P′重合，∵FG⊥l，而直线l∥DE，∴GF⊥DE，而∠AED＝45°，故△EFQ为等腰直角三角形，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，∴EF＝BF﹣BE＝4﹣2＝2，则FQ＝EF＝，∴FG＝EQ+QG＝MN+QG＝AM+＝3+＝＜BF，∴⊙F与直线l有两个交点，则点P′符合题设中点P的条件，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，故sin∠APB的最大值为1．12．已知：∠MBN＝90°，点A在射线BM上，点C在射线BN上，D在线段BA上，⊙O是△ACD的外接圆；（1）若⊙O与BN的另一个交点为E，如图1，当，BD＝1，AD＝2时，求CE的长；（2）如图2，当∠BCA＝∠BDC时，判断BN与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，在BN上作出C点，使得∠ACD最大，并求当AD＝2，时，⊙O的半径．解：（1）连接AE，∵∠AEC+∠ADC＝180°，∠BDC+∠ADC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC，∵∠CBD＝∠ABE，∴△ABE∽△CBD，∴，∵BC＝，AD＝2，BD＝1，∴AB＝AD+BD＝2+1＝3，∴，∴BE＝2，∴CE＝BE﹣BC＝；（2）BN是⊙O的切线，理由如下：连接CO并延长交⊙O于点F，连接DF，则∠CDF＝90°，∴∠CFD+∠FCD＝90°，∵∠BCA＝∠BDC，∠B＝∠B，∴∠BAC＝∠BCD，∵∠CAD＝∠CFD，∴∠CFD＝∠BCD，∴∠FCB＝∠FCD+∠BCD＝∠FCD+∠CFD＝90°，∴BC⊥OC，∵OC是半径，∴BC是⊙O的切线，即BN是⊙O的切线；（3）过点A，C，D三点作⊙O，当BC是⊙O的切线时，∠ACD最大，连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，DG，则∠CDG＝90°，∠CAG＝90°，∴∠CGD+∠DCG＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥OC，∴∠BCO＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝90°，∴∠BCD＝∠CGD，∵∠CGD＝∠CAD，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝BD•BA，∵AD＝2，∴BA＝BD+AD＝BD+2，∴BC2＝BD（BD+2）＝BD2+2BD，∵BC2+BA2＝AC2，AC＝2BD，∴BC2＝AC2﹣BA2＝（2BD）2﹣（BD+2）2＝11BD2﹣4BD﹣4，∴11BD2﹣4BD﹣4＝BD2+2BD，∴5BD2﹣3BD﹣2＝0，∴BD＝﹣（舍去）或BD＝1，∴BD＝1，∴BA＝BD+AD＝1+2＝3，AC＝2BD＝2，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CG⊥BC，∴CG∥AB，∴∠BAC＝∠ACG，∵∠CBA＝∠CAG＝90°，∴△BAC∽△ACG，∴，∴，∴CG＝4，∴OC＝2，即⊙O的半径为2．13．【发现问题】（1）如图①，点A，B在∠MON的边OM上，过A，B两点的圆交ON于C，D两点，点E在线段CD上（不与点C，D重合），点F在射线DN上（不与点D重合）．试探究∠AEB和∠AFB之间的大小关系，并说明理由；【探究问题】（2）如图②，∠MON＝90°，点A，B在射线ON上，点P是射线OM上一动点，AB＝3OB＝3，当∠APB最大时，请求出此时OP的长；【解决问题】（3）如图③，一足球球门宽AB约为4米，一球员从距A点5米的O点（点O，A，B均在一条直线上），沿与OM成一定角度的ON方向带球．试问，该球员能否在射线ON上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出此时该球员跑过的路程长；若找不到，请说明理由．解：（1）∠AEB＞∠AFB，理由：如图，延长AE交圆于点H，连接BH，AD，BD，∵∠AHB＝∠ADB，∠AEB＞∠AHB，∴∠AEB＞∠ADB，同理可得∠ADB＞∠AFB，∴∠AEB＞∠AFB；（2）如图，作线段AB的垂直平分线，垂足为K，在线段AB的垂直平分线上取一点T，以点T为圆心，TB长为半径作⊙T，当⊙T与射线OM相切于点P'时，∠AP'B最大，即∠APB最大，连接TP'，BT，∵OM是⊙T的切线，∵TP'⊥OM，∴TK⊥AB，∴∠TKO＝∠KOP'＝∠OP'T＝90°，∴四边形OKTP'是矩形，∴OP'＝KT，∵AB＝3OB＝3，∴OB＝1，AK＝BK＝，∴OK＝TP'＝TB＝，∴OP'＝KT＝＝2，∴当∠APB最大时，OP的长为2；（3）能找到，如图，作经过点A，B且与射线ON相切的⊙C，切点为P，此时∠APB最大，连接PC并延长交OC于点D，连接AD，由解图可知∠D＝∠PBA，∠PAD＝90°，∴∠D+∠APD＝90°，∵PC是⊙C的半径，ON与⊙C相切，∴∠OPD＝90°，∴∠OPA+∠APD＝90°，∴∠D＝∠OPA＝∠OBP，∵∠O＝∠O，∴△POA∽△BOP，∴PO2＝OA•OB，∵AB＝4，OA＝5，∴OB＝9，∴PO＝，答：此时该球员跑过的路程长为3米．14．问题探究（1）如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，直线OB与⊙I相切于点P，点P1是直线OB上异于点P的任意一点，请在图1中画出∠CP1D，试判断∠CPD与∠CP1D的大小关系，并证明；（2）如图2，已知矩形ABCD中，点M在边BC上，点E在边AB上，AB＝8，AE＝6，当∠AME最大时，请求出此时BM的长；问题解决（3）如图3，四边形ABCD是某车间的平面示意图，AB＝4米，AD＝8米，∠A＝∠D＝60°，∠BCD＝90°，工作人员想在线段AD上选一点M安装监控装置，用来监视边BC，现只要使得∠BMC最大，就可以让监控装置的效果达到最佳．问在线段AD上是否存在点M，使∠BMC最大？若存在，请求出DM的长；若不存在，请说明理由．解：（1）在直线OB上取任意一点P1（不和P重合），连接DP1交⊙O于E、连接CP1和CE，如图：∠CPD与∠CP1D的关系是：∠CPD＞∠CP1D，证明如下：∵＝，∴∠CPD＝∠CED，而∠CED＞∠CP1D，∴∠CPD＞∠CP1D；（2）如图：由（1）知，作线段AD的垂直平分线，垂足为G，在线段AE的垂直平分线上取点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，当⊙O与线段BC相切于M'时，若M与M'重合，此时∠AME最大，∵BC是⊙O的切线，∴OM'⊥BC，∵OG⊥AE，∴∠BGO＝∠B＝∠OM'B＝90°，∴四边形OGBM'是矩形，∴BM'＝OG，OM'＝BG，∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝2，∵EG＝3，∴OM'＝OE＝BG＝EG+BE＝5，∴OG＝＝4，∴BM'＝OG＝4，故当∠AME最大时，BM的长为4；（3）存在，理由如下：如图：当过B、C的⊙O与AD相切于M时，连接BM、CM，此时∠BMC最大，连接OB、OC，分别延长AB、DC交于F，则△ADF是等边三角形，∴∠BFC＝60°，AF＝DF＝AD＝8，∵BF＝AF﹣AB＝4，∴在Rt△BCF中，CF＝2，BC＝6，过O作OG⊥BC于G，交AF于K，交AD于J，则BG＝BC＝3，∵KJ⊥BC，∴∠BGJ＝90°＝∠BCD，∴KJ∥DF，∴BK＝FK＝BF＝2，KG＝CF＝，∴AK＝AB+BK＝6，∵KJ∥DF，∴＝，即＝，∴KJ＝6，设OB＝r，∵KJ∥DF，∴∠MJO＝∠D＝60°，∴OJ＝＝，∴OG＝KJ