2025年中考数学专题21 瓜豆原理之直线型（解析版）

运动轨迹为直线问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.模型总结R条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．R结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例题精讲例题精讲【例1】.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．解：求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP＝60°，可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以．变式训练【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，当点P在线段BC上运动时，画出点Q的运动轨迹．解：如图，直线QF即为所求．【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为．解：如图，连接CN，∵△ABC和△BMN是等边三角形，∴AB＝BC，BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠CBN，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，在△ABM和△CBN中，，∴△ABM≌△CBN（SAS），∴AM＝CN，∠BAD＝∠BCN＝30°，∴点N在与BC成30度的射线CN上运动，∴当DN⊥CN时，DN有最小值，∵DN⊥CN，∠BCN＝30°，∴DN＝CD＝，故答案为：．【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为6．解：∵点A（﹣3，0），B（0，3），∴AB＝，∵C（﹣1，4），动点P在线段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，∴，P为主动点，M为从动点，C为定点，由“瓜豆原理”得P运动路径（AB）与M运动路径之比等于，∴点M运动的路径长为÷＝6，故答案为：6．【例2】．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A． B．1 C．2 D．解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB＝AB，∴HB＝BG，又∵MB旋转到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×5＝，∴MG＝CG＝，∴HN＝，故选：A．变式训练【变式2-1】．如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（）A．1 B． C．2 D．2解：如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，∴AH＝2＝CH，∵∠BED＝∠BHD＝90°，∴点B，点D，点H，点E四点共圆，∴∠BHE＝∠BDE＝45°，∴点E在∠AHB的角平分线上运动，∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，∵∠AHE＝45°，∴AH＝AE＝2，∴AE的最小值为，故选：B．【变式2-2】．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5 B．2.5 C． D．1解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N．则△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH为等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP＝EC＝，∴CM＝MP+CP＝1+＝，即CG的最小值为．方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，当FH⊥AB时，FH最小＝1+＝．故选：B．【变式2-3】．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为2．解：连接OC，OM、CM，如图，∵M为PQ的中点，∴OM＝PQ，CM＝PQ，∴OM＝CM，∴点M在OC的垂直平分线上，∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，∴点M所经过的路线长＝AB＝2．故答案为2．1．如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（）A．2 B．1+322 C．22 解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，在△EBF和△TEG中，EB=ET∠BEF=∠TEG∴△EBF≌△TEG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G的在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝4，BE＝1，CD＝3，∴CE＝CD＝3，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝1，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ=12DE=322，∴CG＝CJ+∴CG的最小值为1+3222．如图，已知直线y＝kx+2k分别交x轴和y轴于A，B两点，以AB为边作等边△ABC（A，B，C三点逆时针B排列），D，E两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接CD，CE，则CD+CE的最小值为（）A．6 B． C．6.5 D．7解：∵点B在直线y＝kx+2k上，∴k（x+2）＝0，∵k≠0，∴x﹣2＝0，∴A（﹣2，0），∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），在x轴上方作等边△AOF，∵∠CAB＝∠FAO＝60°，∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO，在△AOB和△AFC中，，∴△AOB≌△AFC（SAS），∴∠AFC＝∠AOB＝90°，∴点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，∴CD+CE＝CD+CE'，∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，即E'（，），∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7，故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4解：如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T，∵，∴OQ⊥PD，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝8，∴AT＝AC•sin45°＝4，∵AQ≥AT，∴AQ≥4，∴AQ的最小值为：4，故选：D．4．如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距离的最小值为．解：∵∠AOB＝30°，OD＝4，点C在OA上运动时，CD＝DE，CD⊥DE，∴C为主动点，E为从动点，D为定点，由“瓜豆原理”，C在OA上运动，则E在垂直OA的直线上运动，当DC⊥OA时，如答图：过E作EM⊥OA于M，交OB于N，则直线MN即为E的运动轨迹，OM的长为O，E两点间距离的最小值，∵∠AOB＝30°，OD＝4，DC⊥OA，∴CD＝2，∵CD＝DE，∴DE＝2，∵∠OCD＝∠CDE＝90°，∴DE∥OA，而EM⊥OA，∴∠DEN＝90°，∠EDN＝30°，∴在△DEN中可得DN=4∴ON＝4+433，△OMN中可得OM=32×（4+45．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为________解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，，∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝5，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°＝×＝，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为．解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3，∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，∴DN＝BN=32，DB＝DH，∠HDB＝60°，∴CN∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠HDB，∴∠EDH＝∠FDB，在△DHE和△DBF中，DE=DF∠EDH=∠FDB∴△DHE≌△DBF（SAS），∴EH＝BF，∴当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，∴四边形CNHE是矩形，∴HE＝CN=72，故答案为：7．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，BEBF=43，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵BEBF=ABBC=43，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴ABPB=EBGB=1sin∠BAC=AC∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵AEPG=ABPB∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴CPPG代入PG=35x，解得CP∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC=18∴x=185，∴AE=185．∴CE8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，BBi，∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B1ABi，又∵AB1＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，∴AB1：AO＝ABi：AP，∴△AB1Bi∽△AOP，∴∠AB1Bi＝∠AOP．同理得△AB1B2∽△AON，∴∠AB1B2＝∠AOP，∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，∴点Bi在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹）．由图形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，∴，Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，∴＝，∴，∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，∴∠PAN＝∠B1AB2，∴△APN∽△AB1B2，∴＝＝，∵ON的解析式为：y＝﹣x，∴△OMN是等腰直角三角形，∴OM＝MN＝，∴PN＝，∴B1B2＝，综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为．故答案为：．9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为．解：如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CH⊥JK于H．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CB＝CD，AB∥CD，∴∠DCB+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等边三角形，∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG=12∠EFG＝∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴点G在直线KJ上运动，根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，CG的值最小，在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK=12CD＝∴CH＝KH=2，∴CG的最小值为2，故答案为210．如图，已知△ABC为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直线AB上一点．以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．解：如图，作CH⊥AB于H，取CD的中点O，连接OE，OH，EH，作AG⊥EH交EH的延长线于G．∵∠CED＝∠CHD＝90°，CO＝OD，∴OE＝OH＝OC＝OD，∴C，E，H，D四点共圆，∴∠EHC＝∠EDC＝45°，∴∠AHG＝90°﹣∠EHC＝45°，∴点E的运动轨迹是直线GH，当AE与AG重合时，AE的值最小，在Rt△ABC中，∵BC＝4，∠CAB＝30°，∴AC＝BC＝4，AH＝AC•cos30°＝6，∵AG⊥HG，∴∠G＝90°，∵∠AHG＝∠GAH＝45°，∴AG＝GH＝AH＝3，∴AE的最小值为311．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．当点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+12MP最小时，直接写出△DPN解：以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于点G，过点P作PH⊥ML于点H，设MP交BD于点K，如图，Rt△PMH中，HP=12MP，∴NP+12MP最小即NP+HP最小，此时∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴F在射线QF上运动，则点P在MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，∴∠BKM＝60°，∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四边形GHND为矩形，∴DN＝GH，∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，又∵DN＝2NC，∴等边△ABC中，AB＝6，点E为AB的中点，点M为BE中点，∴BM=32，BD＝AB•sinA＝6×sin60°Rt△BGM中，MG=12BM=34，BG＝BM∴MH＝MG+GH=114，GD＝BD﹣BG=934，Rt△MHP中，HP＝MH∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP=433，∴S△12．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD＝BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．解：（1）补全图形如图1所示，AD＝BE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，∵DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠A＝60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD＝CE＝CF，∵∠ACB＝∠CBE＝60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，∴CF＝＝＝2，∴CD＝CF＝213．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，以AD为边向右作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）在图①中，画出当点D从点B运动到点C的过程中，点E的运动轨迹；（2）如图②，若AB＝6，点F为AB的中点，连接EF，求EF的最小值．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，连接CE，如图，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∴点E始终在过C点作BC的垂线上，根据题意得，线段CF为所求作的点E的运动轨迹；（2）由题意可知，当EF⊥CE时，EF取最小值，如图，过点F作FM⊥BC于点M，∵AB＝6，F为AB的中点，∴BF＝3，∵∠B＝45°，∴BM＝BF＝，∵∠CMF＝∠CEF＝∠MCE＝90°，∴四边形CEFM为矩形，∴EF＝CM＝BC﹣BM＝＝．∴EF的最小值为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；（2）当AE＝3时，求CF的长；（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵FM⊥AC，∴∠B＝∠AMF＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠MAF，在△ABE和△AMF中，，∴△ABE≌△AMF（AAS），∴AB＝AM；（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，∴BE＝＝＝，∵△ABE≌△AMF，∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，∵∠CMF＝90°，∴CF＝＝＝．当点E在CD上时，可得CF＝．综上所述，CF的值为或；（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．∵△ABE≌△AMF，∴AM＝AB＝4，∵∠AMF＝90°，∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，∴△CMJ∽△CDA，∴＝＝，∴＝＝，∴MJ＝，CJ＝，∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，∴△CMJ∽△DHJ，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴DF的最小值为．当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，∴∠DAE＝∠RAF，∵AE＝AF，AD＝AR，∴△ADE≌△ARF（SAS），∴∠ADE＝∠ARF＝90°，∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，∵DQ⊥AR，DK⊥RF，∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，∴四边形DKRQ是矩形，∴DK＝QR，∴AQ＝AD•cos∠BAC＝3×＝，∵AR＝AD＝3，∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，∴DF的最小值为，∵＜，∴DF的最小值为．解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，得到AT，连接DT，ET，DF．证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为．当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为．

15．问题提出：（1）如图①，△BCE≌△ACD，请在图中找到一组相似的三角形△CAB∽△CDE．问题探究：（2）如图②，点D为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点，AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连接BE，求∠ADE与∠E的关系．（3）如图③，点D是等边三角形ABC的AC上的动点．连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接EA，EC，若AB＝2，直接写出EA+EC的最小值．解：（1）△CAB∽△CDE，∵△BCE≌△ACD，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，∴＝＝1，∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠BCA＝∠ECD，＝，∴△CAB∽△CDE，故答案为：△CAB∽△CDE；（2）∵AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠E＝∠EAD＝45°，∴∠ADE＝2∠E；（3）延长AC到F，使CF＝BC．∵△ABC为等边三角形，DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，∴∠EDF＝∠FCB＝120°，，∴△EDB∽△FCB，∴∠DBE＝∠CBF，∴∠DBC＝∠EBF，，△EBF∽△DBC，∠DCB＝∠EFB＝60°，∴点E在∠BFE的边FE上运动．找C关于FE的对称点C′，∴∠EFC′＝∠EFC＝30°，∠C′EF＝90°，∠ABF＝90°，C′F∥AB，∴A，E，C′共线，且AC′⊥FC′，AC′最小．则四边形ABFC′是矩形，∴EA+EC最小＝AC′＝BF＝．

16．菱形ABCD的对角线交于点O．（1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若∠ABC＝60°，四边形AECD的面积为24，求菱形ABCD的边长；（2）如图2，菱形ABCD中，过顶点A作AF⊥BC于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H，若AD＝AF，求证：OH＝BH﹣OC；（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝9，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转60°到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值．（1）解：如图1中，设AD＝2m．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2m，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AE⊥CB，∴BE＝CE＝m，∴AE＝m，∵S四边形AECD＝×（m+2m）×m＝24，∴m＝4或﹣4（舍去），∴AD＝8；（2）证明：如图2中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH＝OQ，连接HQ．∵AD⊥AD，AD＝AF，∴∠ADF＝∠F＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC＝45°，AD∥CB，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°，∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°，∴△BEH≌△AEC（ASA），∴BH＝AC＝2OC，∵BD垂直平分线段AC，∴HA＝HC，∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°，∵OQ＝OH，∴∠OHQ＝∠OQH＝45°，∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH，∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°，∴QH＝QC＝OH，设OH＝m，则OQ＝m，HQ＝CQ＝m，∴OC＝m+m，∴OH+OC＝m+m+m＝2m+m，∵BH＝OC＝（m+m）＝m+2m，∴OH＝BH﹣OC；（3）解：如图3中，以AB为边向下作等边△ABT，连接PT，过点T作TH⊥AD于点H，在TH上取一点J，使得AJ＝JT．∵∠PBQ＝∠ABT＝60°，∴∠ABQ＝∠TBP，∵