2025年中考数学专题09 逆等线最值专题（解析版）

逆等线最值模型大招逆等线最值模型大招模型介绍模型介绍两线段和的最值问题,大家首先想到的都是“将军饮马”问题，即要求的两条线段有公共端点,或者平移后有公共端点.除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中,两条动线段始终保持着相等,我们可以在等线段处构造全等,从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是今天咱们要说的逆等线最值问题.讲逆等线模型之前我们先来一波回忆：下图大家应该很熟：D为动点！特殊化证明：DE+DF的和为定值.一般化证明：DE+DF的和为定值只要保证DE，DF与腰的夹角相等，总会有：DE+DF的和为定值的结论！证明思路：作AG∥FD，HD∥BC易得红蓝全等，黄色平四∴DE＋DF＝AH＋HG＝AG（定长）另证易得：△DEA∽△DFB∵AD＋BD为定值∴DE＋DF为定值引申：D在线段AB外时差为定值（证明同理）然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！例题精讲例题精讲考点一:等腰三角形中的逆等线模型【例1】．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD＝CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为．解：过点A作AH⊥BC于H，作AM∥BC且AM＝BC，延长CB并过点M作MN⊥BC于N，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝4，∵AM∥BC且AM＝BC，AH⊥BC，∴四边形AMNH是矩形，∴NH＝AM＝BC＝6，NC＝NH+CH＝6+3＝9，MN＝AH＝4，∵AM∥BC，∴∠MAD＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠MAD，在△ADM和△CEB中，，∴△ADM≌△CEB（SAS），∴BE＝MD，∴CD+BE＝MD+CD≥CM，∴当C、D、M三点共线时，CD+BE取最小值，CM＝＝．故答案为：．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是．解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝4，连接BF、FG、BG，∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD，∴∠GAF＝∠BCE，又∵AF＝CE，AG＝CB，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝BE，∵FB＝FC，∴BE+CF＝GF+BF，∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小，∴GF+BF的最小值时线段BG的长，∵∠BAG＝90°，AB＝8，AG＝4，∴BG＝＝4即BE+CF的最小值为4，故答案为：4．【变式1-2】．如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（）A．（0，4） B．（0，5） C． D．解：由题意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），∴AB＝AC＝8，取点F（3，8），连接CF，EF，BF．∵C（3，0），∴CF∥OA，∴∠ECF＝∠CAO，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠CAO＝∠BAD，∴∠BAD＝∠ECF，∵CF＝AB＝8，AD＝EC，∴△ECF≌△DAB（SAS），∴BD＝EF，∴BD+BE＝BE+EF，∵BE+EF≥BF，∴BD+BE的最小值为线段BF的长，∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，∵直线BF的解析式为：y＝x+4，∴H（0，4），∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），故选：A．考点二:等边三角形中的逆等线模型【例2】.如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝°．解：如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH（SAS），∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案为：105．变式训练【变式2-1】．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为．解：过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，连接BD，∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠BAH＝∠ACD，在△ABP和△CDQ中，，∴△ABP≌△CDQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB，∴当B、Q、D共线时，PB+QB最小，连接BD交AC于Q，∴∠APB＝∠AQB，∴∠PBQ＝∠QAH＝30°，故答案为：30°．【变式2-2】．在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为．解：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，连接EG，如图所示：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵CD平分∠ACB．∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°，∵∠ACG＝90°，∴BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACD＝∠BCG，∴△GCE≌△ACF（SAS），∴AF＝GE，∴AF+AE＝GE+AE，当A、G、E三个点在同一直线上时，GE+AE的和最小，即AF+AE最小．∴AF+AE的值最小为：＝＝4．故答案为：考点三：直角三角形中逆等线模型【例3】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为．解：过B作BF∥AC，在平行线上取BF＝AB，连接EF，如上图：∴∠EBF＝∠A，∵BF＝AB，BE＝AD，∴△BEF≌△ADB（SAS），∴EF＝BD，∴BD+CE＝EF+CE，当C，E，F共线时，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即为CF的长度，∵BF∥AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，∴CF＝＝＝2，∴BD+CE最小为2，故答案为：2．变式训练【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为．解：如图：构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O，则OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，∵AD＝BF，∴OD＝OE，∴四边形CEFD为平行四边形，∴DF＝CE，∴CD+CE＝CD+DF≥CF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4，故答案为：4．【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为．解：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，∴△BAN≌△ECM（SAS），∴BN＝EM，∴AM+BN＝AM+ME，∴当A，M，E共线时，AM+BN的值最小，∵AD∥EC，∴＝＝，∴CM＝×1＝2﹣．故答案为：2﹣．考点四：一般三角形中逆等线模型【例4】．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值．解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE，∵CD+BE＝EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，∴CG＝BC＝4，BG＝4，在Rt△KBG中，BK＝＝＝2．故答案为2．变式训练【问题背景】（1）如图（1），E为△ABC的边AB上的一点，AE＝BC，过点A作AD∥BC，且AD＝AB，连接DE，求证：△ADE≌△BAC；【变式迁移】（2）如图（2），在△ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，点E在AB上，且AE＝CD，若点C分别到AB，BD的距离之比为m，求证：；【拓展创新】（3）如图（3），在△ABC中，∠ABC＝45°，，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且AE＝CD，直接写出CE+BD的最小值.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠B，在△ADE和△BAC中，，∴△ADE≌△BAC（SAS）；（2）证明：如图2，过点C作CG∥AB交BD的延长线于G，过点C作CT⊥BG于点T，CH⊥AB于点H，连接GH．∴∠DAG＝∠A，∵AC＝BC，AE＝CD，∴△CDG≌△AEC（SAS），∴DG＝CE，CG＝AC，∴CE+BD＝DG+BD＝BG，∵CA＝CB，∴CG＝CB，∵CG∥AB，∴S△CGB＝S△CGH，∴BG•CT＝•CG•CH，∴BG•CT＝BC•CH，∴＝＝m；（3）解：如图3中，作CG∥AB，使得CG＝AC，连接DG，过点C作CH⊥AB于点H，过点G作GT⊥BA交BA的延长线于点T，连接BG．∵BC＝3，∠CBH＝45°，∠CHB＝90°，∴CH＝BH＝3，∵四边形CGTH是矩形，∴GT＝CH＝3，CG＝AC＝HT＝6，∴BT＝9，∴BG＝＝＝3，由（2）可知，△CDG≌△AEC，∴DG＝EC，∴CE+BD＝DG+DB≥BG＝3，∴CE+BD的最小值为3．考点五：正方形中逆等线模型【例5】.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、BC上，且AE＝BF，CE与DF交于点P，连接BP，求BP的最小值．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AE＝BF，∴BE＝CF，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠ECB＝∠FDC，∵∠ECB+∠ECD＝90°，∴∠FDC+∠ECD＝90°，∴∠DPC＝90°，∴点P在以CD为直径的圆上，如图，以CD为直径作⊙O，连接OP，OB，∴OP＝OC＝OD＝3，在△OPB中，BP＞BO﹣OP，∴当点P在OB上时，BP的最小值为BO﹣OP，∵BO＝＝＝3，∴BP的最小值为3﹣3．变式训练【5-1】．已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为．解：连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴DF＝CE，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE＝AF，∴AE+AF＝AE+DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE＝A′E，即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′＝2AB＝2，此时，在Rt△ADA′中，由勾股定理得：DA′＝，故AE+AF的最小值为．故答案为：．考点六：矩形中逆等线模型【例6】.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为．解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE＝BF，要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，作D点关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于E，则DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，∵AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，DD′＝2AD＝6，∴CD′＝＝＝2，即BF+CE的最小值为2，故答案为：2．变式训练【6-1】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是．解：如图，作点D关于BC的对称点G，连接BG，在BG上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB交AB的延长线于M．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD中，BD＝＝5，由△BHM∽△DBC，可得＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH中，AH＝＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为．故答案为【6-2】.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是．解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，∴∠DBA＝30°，∴BD＝2AD，∵BF＝2DE，∴＝＝2，∴△DBF∽△ADE，∴＝＝2，∴DF＝2AE，∴AF+2AE＝AF+DF，∵FB⊥AT，BA＝BT，∴FA＝FT，∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，∵DT＝＝＝4，∴AF+2AE≥4，∴AF+2AE的最小值为4，故答案为：4．考点七：菱形中逆等线模型【例7】.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为．解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝＝2，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥2，∴AE+AF的最小值为2，故答案为2．变式训练【7-1】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为．解：如图，连接MN、AC，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC和△ABC为等边三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS），∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，∴△CMN为等边三角形，∵点F是CM上靠近点C的四等分点，∴S△CFN＝S△CMN，∴△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，∵S△CMN＝，∴当CN和CM长度最短时，S△CMN的面积最小，即CN⊥AD，CM⊥AB时△CFN的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，∵△ABC为等边三角形，CM⊥AB，∴点M是AB的中点，∴AE＝BE，∴MG＝AE＝BE，∴BE+AE＝AE+AE＝AE，∵点E是CM上的动点，∠AME＝90°，∴AE的最小值即为AM的长度，∵CD＝4，∴AM＝AB＝2，∴（BE+AE）最小值＝×2＝3，故答案为：3．【7-2】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．（1）求BD的长；（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，在Rt△ADH中，DH＝AD•sin∠DAH＝6×＝3，AH＝AD•cos∠DAH＝6×＝3，∴BD＝＝＝6；（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，在Rt△BCM中，BM＝BC•cos∠ABC＝6×＝3，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠DBA＝ABC＝30°，在Rt△BEM中，ME＝BM•tan∠DBM＝3×＝，BE＝＝＝2，∵BE＝DF，∴DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝4，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，∴FN＝AF•sin∠FAN＝4×＝2，AN＝AF•cos∠FAN＝4×＝2，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN＝3+（+2）×5﹣2×2＝+﹣2＝7；②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值是最小，理由：设DF＝x，则BE＝DF＝x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，∴四边形EMHY、FNHG是矩形，∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，由①可知：ME＝BE＝x，BM＝BE＝x，AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，FN＝AF＝，CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，AH＝AB﹣BH＝3，YH＝ME＝x，GH＝FN＝，EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，FG＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN＝x×x+（x+）•（9﹣2x）﹣（3﹣x）•＝x2﹣x+9＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值，方法一：CE+CF＝+•＝+＝+×＝+×＝+，∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0，∴CE+CF＝+≥12，当且仅当x＝3时，CE+CF＝12，即当x＝3时，CE+CF的最小值为12，∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．方法二：如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG，在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，∴△BEG∽△DFC，∴＝＝＝，即GE＝CF，∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+CF的值最小，此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE＝3，DF＝3，∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．解法二：如图，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取点F，连接DF，使得△DFM∽△BEC．则有CE＝FM，作点M关于AD阿德对称点M′，∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），∴C，F，M′共线时，最小，此时DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值为12．实战演练实战演练1．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵AE＝CD∴BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠APE＝60°，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上运动，如图，连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝AB＝，∴OA＝＝2，∴OC＝2OA＝4，当点P与N重合时，CP的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，故答案为：2．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE＝AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．解：如图，过点E作EK⊥AB于K，取AE的中点J，连接CJ，JK，CK．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠EKB＝90°，∴∠KEB＝∠KBE＝45°，∴EK＝EK，∴BE＝BK，∵BE＝AD，∴AD＝BK，在△CAD和△CBK中，，∴△CAD≌△CBK（SAS），∴∠ACD＝∠BCK，∵∠ACE＝∠AKE＝90°，AJ＝JE，∴CJ＝JA＝JE＝JK，∴A，C，E，K四点共圆，∴∠EAK＝∠ECK，∴∠DAP＝∠ACD，∵∠ADP＝∠ADC，∴△CAD∽△APD，∵∠CPE＝∠ACP+∠CAP＝∠EAB+∠CAE＝45°，∴∠APC＝135°，在AC的右左侧作等腰直角三角形ACO，∠AOC＝90°，OA＝OC，连接OP，OB，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．则点P在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，由题意OA＝OC＝AC＝2，OH＝CH＝OC＝2，BH＝CH+BC＝6，∴OB＝＝＝2，∵OP＝OA＝2，PB≥OB﹣OP，∴BP≥2﹣2，∴BP的最小值为2﹣2．故答案为：APD，2﹣2．3.如图，AD为等腰△ABC的高，AB＝AC＝5，BC＝3，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为． 解：作CG⊥BC于C，取CG＝AC，∵AD是高，∴∠ADC＝∠GCD＝90°，∴AD∥CG，∴∠CAE＝∠ACG，∵AE＝CF，AC＝CG，∴△AEC≌△CFG（SAS），∴CE＝FG，∴BF+CE＝BF+FG，∴点B、F、G三点共线时，BF+FG的最小值为BG，∵BC＝3，CG＝5，由勾股定理得，BG＝，故答案为：．4．如图，ABCD是⊙O内接矩形，半径r＝2，AB＝2，E，F分别是AC，CD上的动点，且AE＝CF，则BE+BF的最小值是（）A． B．2 C．3 D．4解：作O关于CD的对称点H，连接OH，交CD于G，过H作直线BC的垂线，垂足为M，连接BH交CD于F，连接OF，此时BF+OF为最小，∴∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，∵半径r＝2，AB＝2，∴OC＝AB＝OA＝OB＝2，∴△OAB是等边三角形，∵ABCD是⊙O内接矩形，∴AB∥CD，∴∠OCD＝∠BAO，∵AB＝2，AC＝4，由勾股定理得：BC＝＝2，∵AE＝CF，∴△ABE≌△COF，∴BE＝OF，∴BE+BF＝OF+BF，由对称性得：OF＝FH，OG＝GH，∴BE+BF＝BF+FH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥CD，∴CG＝DG＝CD＝AB＝1，∵∠CGH＝∠GCM＝∠M＝90°，∴四边形GCMH是矩形，∴CM＝GH＝BC＝×＝，HM＝CG＝1，在Rt△BHM中，由勾股定理得：BH＝＝＝2，即BF+BE的最小值为2；故选：B．5.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为．解：如图，在BC的下方作∠CBT＝30°，使得BT＝AD，连接ET，AT，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝，在△ADF与△TBE中，，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝3，∴AT＝，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥3，∴AE+AF的最小值为3，故答案为：36．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为．解：过点B作BG⊥BC，使BG＝AB，连接GE，GC，∵AD⊥BC∴BG∥AD，∴∠GBA＝∠