山西省大同市八年级期中考试2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案解析）

山西省大同市八年级期中考试2023-2024学年八年级下学期期

中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若七I在实数范围内有意义，则X的取值范围是（)

A.x<5B.x<5C.x>5D.x25

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

1

A.——20B.—V2TC.D-正

3.在平面直角坐标系中，点尸（3,-4）到原点的距离是（)

A.3B.4C.5D.±5

4.下列计算正确的是（）

A.-^7=3B.（百『=±3C.7（^7=±3D.—(省『二—3

5.如图，在矩形/BCD中，对角线NC,5。相交于点。.若乙4。。=120。，AB=4,则

的长是（）

6.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先

测量门的边和3C的长，再测量点/和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这

A.勾股定理B.勾股定理的逆定理

试卷第1页，共6页

C.三角形内角和定理D.直角三角形的两锐角互余

7.如图，在平面直角坐标系中，Y/BCD的三个顶点4C,。的坐标分别为（-1,2）,（2,-1）,

（3,2）,则顶点2的坐标为（）

8.如图，菱形ABCD的对角线/C,BD相交于点O,AH，CD于点H,连接0H,若OB=12,

菱形/BCD的面积为120,则。〃的长为（）

A.3B.4C.5D.6

9.如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，AA8C的三个

顶点A,B,C均在格点上.若ADL/C,垂足为点。，则8。的长为（）

.7旧口85门9而c10V13

A.----D.----------V/.-------D•-----

13131313

10.如图，在。8c中，分别以48,8c为边向外作正方形/8E尸和正方形3CDG,连接4E,

AC,且E,A,C三点恰好在一条直线上，若/C=3,AG=5,则BC的长为（）

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C.5D.V17

二、填空题

II■计算：V27-\/12=_-

12.如图，在Y4BC。中，点E,尸在对角线/C上，添加一个适当的条件，使四边形3瓦加

是平行四边形，这个条件可以是.（填一个条件即可，不添加任何辅助线）

13.已知x=E+l,y=V5-l,贝UX2+2中+/的值为

14.《九章算术》是我国传统数学最重要的著作之一，其中有这样一道题目：“今有立木，系

索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文为：如图，一竖立着

的木柱48,在木柱的上端点Z处系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部

分尚有3尺，牵引绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺的点C处，绳索用尽.问绳索的长

为多少.设绳索NC的长为x尺，根据题意可列方程为.

15.如图，ABLCD,点、E,尸分别是边3c的中点，连接跖，若48=8,CD=6,

则跖的长是.

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B

三、解答题

16.计算：

(1)748^V2-^1xVi2+V54；

17.如图，一艘轮船位于灯塔尸的北偏东60。方向，与灯塔尸的距离为30海里的A处，轮船

沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔尸的南偏东30。方向上的B处，求此时轮船所在

位置B处与灯塔P之间的距离.

北

18.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为7=2兀《，其中7表

示周期（单位：s）,/表示摆针的摆长（单位：m）,g«9.8m/s,若一台座钟的摆针的摆

长为0.49m.

（1）求该座钟摆针摆动的周期；（结果保留根号和兀）

（2）若该座钟的摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，在Imin内，该座钟至少发出多少次滴

答声？（参考数据：小224,"3）

19.如图，在四边形4E7站中，点3、C分别在NE、。尸的延长线上，连接8c分别与反、

相交于点G、H,AB=DC,4B=NC,BH=CG,求证：四边形NED厂是平行四边

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形.

AFB

20.如图，在AA8C中，ZABC=ZC,5C=10cm,ADIBC,垂足为点。，点£是边NC

上一点，连接3E,若CE=6cm,BE=8cm,求/E的长.

21.如图，在四边形48CD中，对角线/C,3。相交于点O,AB//CD,AB=AD,AC

平分/B4D.

(1)求证：四边形/BCD是菱形.

(2)过点C作CE1AB交4B的延长线于点E,连接OE交BC于彘F,若ZACB=20°，求/CFE

的度数.

22.阅读下面材料，完成相应的任务.

阿波罗尼奥斯定理

阿波罗尼奥斯(约公元前262—190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希

腊亚历山大前期的三大数学家.阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的平

方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.

如图，在力8C中，点。为BC的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，可得

AB2+AC2=2(AD2+BD2).

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A

下面是该定理的部分证明过程：

证明：如图，过点N作/E_L3C于点£.

在历中，由勾股定理，^AB2=AE2+BE2.

同理可得/C?=/炉+以2,AD2=AE2+DE2-

:点。为8c的中点，：.BD=CD.

AB2+AC2=AE2+BE1+AE2+CE~=...

任务：

(1)按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整；

(2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知点尸为矩形/BCD内任意一点,

求证：PA2+PC2=PB2+PD2.

23.综合与探究：

在矩形N3CD中，AB=3,ND=4,点£,尸分别在边。，3c上，将ACEF沿直线E尸折

叠，点C的对应点为点G.

图1图3

⑴如图1,当点尸与点3重合，点G落在上时，求/G的长；

(2)如图2,当点E是。。的中点，且N8尸G=90。时，连接8G,求BG的长；

7

(3)如图3,当C£=z，点G恰好落在BE上时，延长FG交ND于点直接写出NH的长.

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参考答案:

1.B

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案.

【详解】解：・.・57在实数范围内有意义，

・♦.5—x20,

x<5,

故选：B.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的

关键.

2.B

【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握（1）被开方数不含分母;

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

【详解】解：A.-亚=-26，则-而不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

B.-万是最简二次根式，故该选项符合题意；

c..=则《不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

D.£=¥，则七不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

故选：B.

3.C

【分析】利用勾股定理求解即可.

【详解】解：由勾股定理得，点尸（3,-4）到原点的距离是斤彳=5，

故选C.

【点睛】本题主要考查了用勾股定理求平面直角坐标系中的点到原点的距离，注意横坐标的

绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离.

4.D

【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练运用二次根式的性质进行化简是解决本题的关

键.根据二次根式的性质进行化简判断即可.

【详解】解：A、一，^=一3,计算错误，不符合题意；

答案第1页，共13页

B、（省『=3,计算错误，不符合题意；

C、几了=3,计算错误，不符合题意；

D、一（百『=_3,计算正确，符合题意；

故选：D.

5.C

【分析】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线相等且互相平分，则其分成的四条线段

都相等.依据矩形的性质可知△CO。是等边三角形，所以OD=CD=4.

【详解】解：；在矩形ABCD中，

AO=BO=CO=DO,CD=AB=4,

•••ZAOD=UQ°,

ZCOD=60°.

△C。。是等边三角形.

OD=CD=4,

故选：c.

6.B

【分析】根据勾股定理的逆定理，MAB2+BC2=AC2,则可判断A/BC是直角三角形，

由此可推断N8是否为直角.

【详解】解：先测量门的边48和8C的长，再测量点/和点C间的距离，用勾股定理的逆

定理判断：若满足Nl+BCZu/C,,则可判断AZBC是直角三角形，即为直角；若

AB2+BC2^AC2,则不是直角.

故选B.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

7.D

【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，根据四边形/BCD是平行四边形

和点的坐标，可得/D=8C=4,进而可以解决问题，解决本题的关键是掌握平行四边形的

性质.

【详解】解：：四边形438是平行四边形，

；.AD=BC,AB=CD,

答案第2页，共13页

VA,C,。的坐标分别为（-1,2）,（2,-1）,（3,2）,

/D=8C=l+3=4,

•••3点的坐标是：（-2,-1）,

故选：D.

8.C

【分析】本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，由菱形的性质可得出CM=0C,

80=208=2x12=24,根据菱形得面积可得出/C=10,再根据直角三角形的性质即可得

出O〃=g/C=5.

【详解】解：：四边形/BCD是菱形，

Z.OA=OC,30=208=2x12=24.

…?=*"=120，

：.-x24AC=120,

2

.\AC=10.

AHLCD,

：.ZAHC=90°.

：.OH=-AC=5.

2

故选：C.

9.A

【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的求法，正确利用等面积法求出的AD长

是解题关键.利用勾股定理得出ZC的长，再利用等面积法得出助的长.

1117

【详解】由题意，^/\ABC=3X3——xlx2——xlx3——x2x3=—,

由勾股定理，得也2+32=9，

•：S^ABC=^AC-BD,

i7

:.-x^・BD=一.

22

故选：A.

答案第3页，共13页

10.D

【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握是解题

的关键.

证明△E3C四△N3G,得到£C=/G,求得/E的长，再利用勾股定理即可求解.

【详解】如图，过点B作的7,他于点则//H3=90。.

四边形ABEF和四边形BCDG都是正方形,

EB=AB,BC=BG,ZABE=ZCBG=90°.

NABE+/ABC=ZCBG+ZABC,即NEBC=NABG.

:.AEBC公AABG(SAS),

EC=AG=5,

：.AE=EC-AC=5-3=2,

,/EB=AB,BH1AE,

：.EH=-AE=1,BH=-AE=1,

22

CH=EC-EH=4.

在mABCH中，由勾股定理，得BC=slBH2+CH2=Vl2+42=历■

故选D.

11.V3

【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可.

【详解】原式=3百-2百

=6­

故答案为百.

【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二

次根式的合并.

12.答案不唯一，如4E=C尸或AF=CE

【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.即①

答案第4页，共13页

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.

连接8。交/C于点O,由平行四边形的性质可得到。2=0。，要证明四边形班7方为平行

四边形，只需要OE=O尸即可，故添加的条件只要能证明OE=O尸即可.

【详解】

如图，连接5。交/C于点。，

四边形48a)为平行四边形，

OB=OD,OA=OC,若4E=CF,贝1|有/O-/E=CO-CF,即OE=O/，

四边形BEDF为平行四边形.

故答案为：/£=3(答案不唯一).

13.20

【分析】根据完全平方公式求解即可.

【详解】解：x=V^+l,y=V5-1,则苫+>=20，

x2+2xy+y2=(x+y)-=(2正)=20,

故答案为：20.

【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式.

14.x2=(X-3)2+82

【分析】本题考查勾股定理的应用，由勾股定理，得到：AC2=AB2+BC2,据此列出方程

即可.

【详解】解：设绳索/C的长为x尺，则：N8的长为(X-3)尺，

由勾股定理，得：AC2=AB2+BC2,

：.X2=(X-3)2+82；

故答案为：X2=(X-3)2+82.

答案第5页，共13页

15.5

【分析】本题考查了中位线的性质，勾股定理，连接80,取BD的中点G,连接GE,GF.得

出£G是的中位线.然后求得EG,尸G,根据题意得出NEGF=90。，进而勾股定理，

即可求解.

EG是的中位线.

/.EG//AB，EG=—AB=—x8=4,

22

同理，FG//CD,FG=-CD=-x6=3.

22

又ABLCD,

：.AB1FG.

：.EGLFG.

：.NEGF=90°.

在RtA£FG中,由勾股定理，得EF=7EG2+FG2=>/42+32=5.

故答案为：5.

16.(1)476:

(2)12-4G

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键.

(1)先计算二次根式乘除法，再根据二次根式的性质化简，最后计算加减法即可;

(2)先根据完全平方公式和平方差公式展开，再计算加减法即可.

［详解］(1)解：V48-V2-

答案第6页，共13页

=V24-V6+3A/6

=26-痴+34

=476;

(2)解：(1-2时-(2-迎2+4)

=1-473+12-22-(V3)2]

=13-4A/3-1

=12-473

17.30省海里

【分析】根据题意得出：48=30。，N尸=30海里，/4PB=90°,再利用勾股定理得出8P的

长，即可求出答案.

【详解】解：由题意可得：48=30。，4P=30海里，ZAPB=90°,

：.AB=2AP=60(海里)，

BP=」AB°-AP?=V602-302=30。海里，

.••此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为30石海里.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，正确应用

勾股定理是解题关键.

18.(1)该座钟摆针摆动的周期为呼s；

(2)在Imin内，该座钟至少发出44次滴答声.

【分析】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键.

(1)根据公式计算即可；

(2)利用时间除周期得到滴答次数.

【详解】(1)解：将/=0.49,g、9.8代入7=2%后

答案第7页，共13页

答：该座钟摆针摆动的周期为叵s;

5

(2)1min=60s.

岛6075。

60+---=-----«44.8•

571

或60+互»60-1.344»44.6.

5

答：在Imin内，该座钟至少发出44次滴答声.

19.见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质，掌握两组对边分别平行的四边

形是平行四边形是解题关键.根据题意得出48〃OC吗，，再证A/3G均。CH(SAS),从而

推出/尸〃DE,即可证明四边形/EDF是平行四边形.

【详解】证明：•••/BuNC,

ABHDC.

'：BH=CG,

：.BH+GH=CG+GH,§PBG=CH.

在AZ6G与ADCW中，

AB=DC

<ZB=ZC,

BG=CH

(SAS).

ZAGB=ZDHC.

：.AF//DE.

又ABIIDC,

四边形NED尸是平行四边形.

7

20.ZE的长为

【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关

键是掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理.根据勾股定理得逆定理得出是直角三角形,

且NBEC=90。，进而得到乙4屈8=90。，由N4BC=NC可得48=ZC,设NE=x,贝！|

AB=AC=AE+CE=x+6,在RtZk4B£■中，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：；。炉+8£2=62+82=10(),3c2=l()2=ioo,

答案第8页，共13页

•••CE-+BE2=BC2.

，A_8C£是直角三角形，且NBEC=90。.

ZAEB=180°-ZBEC=90°.

ZABC=ZC,

AAB=AC.

设/E=尤，贝U/2=NC=/E+CE=x+6.

在RtZUBE中，由勾股定理，得4E?+BE?=4B?，

即x2+82=(x+6)2,

7

解得x=g,

7

NE的长为

21.⑴见解析;

(2)60°.

【分析】(1)由4c平分NBHD,得NACD=NC4D,ND=CD,结合=4D,

得AB=CD,又AB"CD,四边形是平行四边形，又AB=AD,即可求证，

(2)由/BCD是菱形，得04=L/C,AB=BC,/BAC=/ACB=2(f,根据直角三角形

2

斜边中线等于斜边一半，^OE=-AC,OA=OE,ZOEA=ZBAC=20°,

2

ZCOE=ZOEA+ABAC=4cp,ZCFE=ZCOE+ZACB=60°,

本题考查了，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角

形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理.

【详解】(1)W：'：AB//CD,

ABAC=ZACD,

平分/B/D,

ABAC=ACAD,

：.ZACD=ACAD,

：.AD=CD,

"：AB=AD,

：.ABCD,

答案第9页，共13页

又48〃CD,

四边形/BCD是平行四边形，

又AB=AD,

.••四边形/BCD是菱形，

(2)解：由(1)可知四边形/BCD是菱形，

AOA=-AC,AB=BC,

2

ABAC=ZACB=20°,

CE1AB,

ZAEC=90°,

OE=-AC,

2

OA=OE,

：.ZOEA=ZBAC=20°,

/.NCOE=ZOEA+ABAC=40c,

NCFE=ZCOE+ZACB=60°,

故答案为：60°.

22.⑴见详解

(2)见详解

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，以及矩形的性质.

(1)用线段的和差关系以及等量代换即可证明.

(2)连接NC,8。相交于点。，连接。尸，由矩形的性质可得出NC=3D,OA=-AC,

2

OB=；BD,进而可得出根据阿波罗尼奥斯定理，^PA2+PC2=2(OA2+OP2),

2222

PB+PD=2(OB+OP).则可证明尸d+pC2=pB2+pD2.

【详解】(1)解：2AE2+(BD+DE)2+(CD-DE)2

=2AE2+(BD+DE)2+(BD-DE)2

=2AE、2BD、2DE2

=2AD2+2BD2

答案第10页，共13页

=2（JD2+SD2）.

（2）如图，连接/C,8D相交于点。，连接OP.

8^—

•.•四边形/BCD是矩形，

:.AC=BD,OA=-AC,OB=-BD.

22

/.OA=OB.

根据阿波罗尼奥斯定理，^PA2+PC2=2（OA2+OP2）,PB-+PD2=2（OB2+OP2y

PA2+PC2=PB2+PD2.

23.⑴而；

⑵用

2

o

（3）/〃的长为

【分析】（1）由矩形的性质可得8C=/D=4,乙4=90。，由折叠的性质，得BG=BC=4,

在Rt^NBG中，根据勾股定理即可求解；

（2）由矩形的性质可得CD=48=3,BC=AD=4,ZC=90°,由点E是CD的中点，可

335

nCE=~,结合折叠的性质可推出CEG尸是正方形，得到CF=GF=CE=x，推出8尸=二，

222

在Rt^BFG中，根据勾股定理即可求解；

11?5

（3）连接AW,EH,根据题意可求出。£=L，在RMBCE中，由勾股定理得到8E=二，

66

7

由折叠的性质，得GE=CE=—,//GE=/C=90。，推出G8=3,ABGH=ZFGE=90°,

6

进而得到46=GB,可证明RtA48/7多RtAGBff（HL）,得至=设AH=GH=x,则

DH=4-x,根据勾股定理列出方程即可求解.

【详解】（1）解：•.•四边形N3CD是矩形，

BC=AD=4,ZA=90°,

由折叠的性质，得3G