济宁市2022-2023学年高一年级下册期中考试数学试卷(含答案)

济宁市实验中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1・若sina=,则cos2。的值为（）

2

A.lB.-lC.lD.73

2.若cosa-tam<0,则角a的终边在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限

3.已知向量。力不共线，若45=&+2匕，5。=-3a+7A，CD=4a-5。，则（）

A.4B,C三点共线BA&D三点共线

CAC,。三点共线D.3C,。三点共线

4.已知点4（-1,2）,6（2,y）,向量。=（2,1）,若AB,a，则实数丁值为（）

17

A.lB.lC.7D-

22

5.已知在△ABC中,AB=3，AC=4，BC=VIU，则ACCB=（）

A.-2BD.-

4-T*4

6.如图，在aABC中,=gBC,NC=XAC，直线AM交BN于点。，若BQ=g3N,则

4=（）

5533

7.在△ABC中,。，8c分别为A,3,C的对边,口=JF,c=3,且2而sinC=g仅?+c?-片

则△ABC的面积为（）

A.逑B.36C.73D.6石

2

8.已知函数/（x）=sin（ox+9）3>0）是在区间吊噂）上的单调减函数淇图象关于直

线.喙对称，且小）的一个零点是行小,则“的最小值为（）

A.2B.12C.4D.8

二、多项选择题

9.已知函数/（x）=Asin（g+0（其中A>0,口〉0，网<1）的部分图像，则下列结论

正确的是（）

A.函数〃尤）的图像关于直线对称

B.函数””的图像关于点［喂0）对称

C.将函数〃尤）图像上所有的点向右平移△个单位，得到函数g（x）,则g（x）为奇函数

6

D.函数”可在区间一:噌上单调递增

10.在△ABC中，角4BC所对的边分别为。,瓦。,则下列结论错误的是（）

A.若储+02—82>0,则」15c为锐角三角形

B.若A>则sinA>sinB

C.若sin2A=sin2B，则AABC为等腰三角形

D.若6=3,a=4,3=/则此三角形有2解

6

11.下列说法正确的是（）

A.若allb，则存在唯一实数X使得。=劝

B.两个非零向量°电，若卜-可=同+网,则q与匕共线且反向

C.已知a=(l,2)2=(l,l)，且q与。+助的夹角为锐角,则实数X的取值范围是[-*+«)]

D.点。在△ABC所在的平面内，若AO=LAC+LAB,SAM，S分别表示

42

△AOC，AABC的面积，则S^AOC:S^BC=1：2

12.已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是()

A.若尸为△ABC的垂心,AB•AC=2，则AP•AB=2

B.若△AB。为边长为2的正三角形，则巳4.(尸8+尸。)的最小值为-1

C.若/XABC为锐角三角形且外心为P,AP=xAB+yAC且尤+2y=1,则AB=BC

/\/\

D.若AP=~p—+-AB+~p——+-AC,则动点P的轨迹经过△ABC的外心

1|AB|cosB2J|^|AC|cosC2

三.填空题

13.已知向量a=(l,2)2=(2,—2),c=(l,X).若c〃(2a+)),贝UX=.

14.已知cos1/—e]=；,贝Icos[V+e]+2sin]£-6)的值为.

15.已知向量a=(1,2),b=(-1,3),贝U°在b方向上的投影向量是•

16.已知直角梯形ABCD^，AD//BC，ZADC=90°，A£>=2，6C=1，尸是腰。。上的动点,

贝u|pA+3pq的最小值为.

四、解答题

17.设向量力满足同=W=1,且,-24=S.

(1)求°与6的夹角；

(2)求囚+3可的大小.

18.如图，甲船A处,乙船在A处的南偏东45。方向，距A有9海里并以20海里/时的速度

沿南偏西15。方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行.

北

c

（1）求甲船用多少小时能尽快追上乙船；

（2）设甲船航行的方向为南偏东求。的正弦值.

19.如图所示，在边长为2的等边AABC中，点分别在边AC,A3上，且“为边AC的

中点，设AB=a5AC=b,

（1）若AN=；NB,用a，b表示MN；

（2）求CN,MN的取值范围.

20.已知函数/（%）=2sin21s:+；）—J§COS（2OX）—1（G＞0）,/（%）的最小正期为兀.

（1）求/（%）的对称中心；

（2）方程/（%）-2n+1=0在0,^|上有且只有一个解，求实数〃的取值范围.

21.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6bsin（B+C）+acosB=c.

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，且6=6,求△ABC面积的取值范围.

22.已知函数/（%）=百5111（蛆+9）+251112］色苫2］一1（0〉0,0＜夕＜兀）为奇函数,且

/（可图象的相邻两对称轴间的距离为叁.

(1)求/z(x)=/(x)+sinx+cos%的最大值.

（2）将函数/（力的图象向右平移四个单位长度，再把横坐标缩小为原来的!（纵坐标不

62

变），得到函数y=g（x）的图象，记方程g（x）=g在xepy上的根从小到依次为

x2,x3,...................试确定n的值,并求再+2X2+2X3++2xn_1+xn的值.

参考答案

1.答案：B

解析：因为sina=,所以cos2a=1—2sin2a==1—2x[=-；.

故选：B.

2.答案：C

解析：因为cost/-tanfz<0,所以cosa,tana在所在的象限一■正一负，

所以角a的终边在第三、四象限.

故选：C.

3.答案：B

解析：对于A,因为A月=a+20,8C=_3a+7b，

若A,3,C三点共线,则存在实数几使得AB=/18C，

则，无解，所以人用。三点不共线，故A错误；

2=72

对于B,AD=AB+BC+CD=a+2b-3a+1b+^a-5b=2a+^b'

AD=2（a+2b）=2AB，又A是公共点,A,B,D三点共线，

故B正确；

对于C因为A月=。+2人,8。=—3。+75，所以AC=—2a+96

若A,C,D三点共线，则存在实数2使得AC=2CD，又CD=4a—5b，

所以尸=4%，无解，所以A,C,D三点不共线，故C错误；

9=-52

对于D,若B,C,D三点共线，则存在实数力使得BC=2cD，

f-3=42

又BC=-3a+7"C0=4a-5。，所以L—，无解，

所以B,C,D三点不共线，故D错误；

故选：B.

4.答案：D

解析：因为A（-1,2）,8（2,封,所以衿=（3,丁-2）,向量。=（2,1）,

右ABJ_a,则AB•a=3x2+y-2=0，

解得：y=T

故选：D.

5.答案：B

解析：在△ABC中由余弦定理°?二1+廿―2仍cosC，即

32=(71d)2+42-2xV10x4cosC,

17

解得cosC=­—一,

8V10

1/-I1/-J

所以AC.C3=kcHcqcos(兀一(？)=—卜4-口3,050=—4乂加*^^=—

故选：B.

6.答案：A

解析：根据图示可知AM,Q三点共线，由共线定理可知，

存在实数〃使得30=〃5〃+(1—〃)氏4,

又BM=330,30=3而,所以^^=3〃50+(1—〃)痴，

又A,N,C三点共线，所以9=工〃+1-〃，解得//=—,

727

即可得3N=g3C+1痴,所以(3A+A2V)=|(BA+AC)+1,

所以A7V=—AC,即AC-NC=-AC,^^NC=-AC,

555

又NC=XAC，即可得力=|,

故选：A.

7.答案：B

解析：2absinC=y/3(b2+c2-a2),

.2absinC_r^b~+cr-a2

2bc2bc

即竺电£=GCOSA,

由正弦定理可知,sinA=6cosA,

即tanA=g，所以A=$

由余弦定理13=32+/—2x3bcos工，

3

解得6=4（负值舍），

故二角形面积为-Z?csinA=—x4x3x^^-=3A/3，

222

故选：B.

8.答案：C

解析：因为函数/（x）=sin（Ox+0）的图象关于直线％=-嗫对称，

所以一。•■—+0=色+”兀，〃62,所以0=f—।-----兀，〃eZ,

362U36J

j.tq_LI=J7C5兀rTTriCOTt5〃77lFil二I、ICtHt

手艮据一<x<—，贝1J—<CDX<---，所以一+（p<cox+（p<----+（P，

183618361836

因为"x）=sin（0x+0）是在区间后引上的单调减函数.

CDTI、兀7r

---（pNF2左兀,左£Z

所以182

5①JC3兀J7

----\-（p<---\-2kn.kGZ

I362

〃>兀

-------F—+—+n7i>—+2E,“eZ,keZ

18236J2

所以

5am,

---------F—I-----F”|兀K----F2kn,〃eZ,keZ

36236）2

—+|—+—+zz|>—+2k,"eZ,左eZ

18（236）2

即<

5®f1CD"3c,_,„

-----F-I\-n|V-F2k,YIGZ,左£Z

36（236）2

解得12（2左一〃）<a）<6（2k一"+l）,“eZ,keZ,

因为（y〉0,所以2左一〃=0或2左一〃=1，

当2左一〃=0时,0<0W6,当2左一〃=1时,12WoW12；

由鹿益嗤且小的一个零点是朴凯

7兀

所以—+=（2m+l）7i,meZ,

所以/义乂+1①

—d-------\-n兀=（2m+l）7i,meZ,neZ,

72236

即69=8（2m—M）+4,meZneZ-

根据0<0W6或12K0W12,可得0=4,或0=12,所以①的最小值为4.

故选：C.

9.答案：ACD

解析：由图象得函数最小值为2故&=2,

T771712兀

女，故丁=兀，。2,

41234T

故函数/（x）=2sin（2x+0）,

又函数过点（碧,-21

故2sin（2x得+夕）=一2，解得0=]+2kn，女wZ,

又陷<会即9=]

故/（%）=2sin（2尤+三）,

/（九）对称轴：2x+g='+也”kwZ解得f+能&GZ当左=0时,X哈故A选

项正确;

/（%）对称中心:2x+—=kji„k&Zi解得x=—四+生,"eZ对称中心为

362

（_色+如,O）.eZ，故B选项错误;

62

函数〃尤）图像上所有的点向右平移聿个单位，得到函数g（x）=2sin2无，为奇函数，故C

选项正确;

/(%)的单调递增区间：2x+ge[-]+2如1(+2E],左eZ，解得

xe[-型+机上+E]”左eZ又[-工,工|-2+仇皆+E],左eZ,故D选项正确;

1212412~1212

故选：ACD.

10.答案：AC

解析：对于A,由余弦定理可得cosB=>〉0，即3e。3],

2acI2；

但无法判定A、C的范围，故A错误；

对于B,若A>6,则由正弦定理，

得2HsinA>2Asin5(H为△ABC外接圆的半径),

所以sinA>sin5,故B正确；

对于C,若sin2A二sin25,由正弦函数的性质，

得2A=2B+2kn或2A+2B=兀+2kli,

又A,5£(0,兀卜故A=5或A+5=',故C错误；

对于D,由正弦定理可得^=上,得sinA=0sin3=Z,

sinAsinBb3

由，<2<，得J_<sinA<，又0vA<兀，

23222

所以Ae有2个A的值，即三角形有2个解，故D正确.

故选：AC.

11.答案：BD

解析：对于A：当〃=0，。wo时,〃//》,但是不存在实数2使得〃=4》,故A错误；

对于B：由卜一人卜同+欠可得,_人『=(同+同，整理可得一2〃/=2同卜卜

所以cos卜,»=兀，则〃与b共线且反向，故B正确；

对于C：因为〃=(1,2)2=(1,1),贝1」〃+45=(1,2)+丸(1/)=(1+42+；1),

又a与。+劝的夹角为锐角，所以入(。+例)=1+彳+2(2+4>0,解得X〉-g，

又当lx(2+X)=2x(l+X),即丸=0时a与q+用同向，故2>—g且2wO,即C错误;

对于D：因为AO=」AC+LAB,取AC的中点。，则

42

AO=]-x\-AC\+-AB=-AD+-AB=^(AD+AB

2U)2222、

所以。为80的中点，连接OC，因为。是AC的中点，所以sABO=SB℃=；S

0是BD的中点，所以SADO=SABO=QSABD,SCDO=S.CBO=5SCBD

所以，故正确;

SAstezCe=SALr)(nJ+ScL-nL)nU=—2SAHBLD)+—?SCBD=—SMCD

故选：BD.

12.答案：ACD

解析：A：如下图,5£，4。，池，8。,则尸为垂心，易知：RtAAEP^RtAADC，

所以——=——,^\AExAC=APxAD,

ADAC

根据向量数量积的几何意义知：AB.AC=AExAC=2,同理APAB=APxAD，

所以APA8=2,正确；

B：构建以8C中点。为原点的直角坐标系，则4(0,右)，若P(x,y),

所以PA=(—x,6—y),PO=(—x,—y),

由PB+PC=2PO=(—2x,-2>)，则

PA(PB+PC)=2x2+2y2-26y=2X2+2(J-与f-1

当尤=0，y=等时PA.(P3+PC)的最小值为-1■，错误;

C：由题设AP=(1-2y)AB+yAC,贝！JAP-AB=y(AC-2AB),

所以BP=y(BC+BA)，若。为AC中点，则BC+BA^2BD，

故BP=2yBD，故B,P,D共线，又PD1AC，即8。垂直平分AC，

所以718=6。,正确；

AH1

D：由题设,AP=「——+i~।——+-CAB+AC),

ABcos5|AC|cosC2

AD公八11

则APBC=1：+|「+己(AB+AC>3C=；；(AB+AC)BC,

|AB|COSB|AC|COSC22

所以2ApBC=(AB+A。).BC，若。为8C中点，则AB+AC=2A£>,

故AP•BC=AO-BC，所以2的轨迹经过△ABC的外心，正确•

A

故选：ACD.

13.答案：1

2

解析：由题可得2a+Z?=（4,2）

c/l{la+b^,c=（1,A）

.•.42—2=0,即X=—

故答案为」.

2

14.答案：-1

解析：原式

=（305［兀一（7-6）］+25111（耳+（7—6）］=-cos\--0\-2cos\--0\=-3cosl--6^I=一1・

故答案为：-1.

15•答案：［4I］

a-b_5_42

解析：因为cos<〃,/?>=

同.中后标一2

则a在b方向上的投影向量是:

故答案为:

16.答案：5

解析：由题：以94,为x,y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示:

设C（0,a）,P（0,“,8（1,a）,4（2,0）,046Wa

贝1PA+3P3=（2,—Z?）+3（1,a—b）=（5,3a—4Z?）

|PA+3Pfi|=j25+（3a-46）225,当匕=多取得最小值.

故答案为：5.

17.答案：（1）生

3

⑵出

解析：（1）设°与匕的夹角为。（0<。（兀），

|a-2Z?|=^a-2b^=^a1-4-a-b+4b2=^7^>|a|2-4|a|-|z?|cos^+4|z?|=7，

将同=卜|=1代入得1—4COS6+4=7，

cos6）=--,:.3=—■

23

（2）12a+3耳=2a+3b）=^4a2+12a-b+9b2=^4|a|2+12|a|-|z?|cos^+9|z?|

将同=W=1代入得12a+3Z>|=j4+12x（—；）+9=布,

|2a+3/?|=币.

18.答案：（1）3

4

（2）11A/2—5A/6

-28

解：（1）设用/小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇，

在△ABC中,4。=28八5。=20小河=9，

设ZABC=1,N3AC=/?,

”=180°—45。一15°=120。，

(2802=

二128/一60f-27=0，即(由一3)(32,+9)=0,

3

t——，

4

即甲船用2小时能尽快追上乙船;

4

(2)由(1)得：AC=28x』=21海里,3。=20义』=15海里,

44

根据正弦定理，得sin〃=气｝=晋，

,八—小V2115^/3V21172-576

..sin0=sm(45-p)=——x----------x——----------------

21414228

19.答案：(1)MN=-a--b

32

(2)

解析：(1)因为“为AC中点，所以411=工4。=工匕,

22

因为AN=^NB,所以AN=LA3=La,

233

所以ACV=AiV—AM='“一!人；

32

(2)设AN=/LAB=Xa(0<几<1),

^CN=AN-AC=Aa-b^MN=Aa-^b,

因为a.g=2,IM|=2,11|=2,

-CN=^Aa-^}-^a-b)

夕1

=A2a2-Aa-b--a-b+-P=4A2-3A+2,

22

所以当4=1时，跖V•CN取得最大值3,

故当;1=|时,MMCN取得最小值II；

故MN・CN的取值范围为",3・

[16

20.答案：(1)(―+-,0),^eZ

26

⑵底出乎」)《｝

解析：(1)由

/(x)=-x+N6cos(28)=sin(28)-Gc°s(2s)=2sin(2°x.),

因为“X)的最小正期为71，即7=女=71，故0=1,

所以/（x）=2sin（2x—三），

令2x-（=E,keZ,则x=g+7,,左eZ故函数对称中心为（g+（，°）"GZ.

⑵令/=2x」,当时年［」,史］,

31236

由图知："x)=2〃-1在0,q上有且只有一个解,

则-6<2〃-1<1或2”-1=2,

所以匕虫w〃<i或〃=2,

22

21.答案：（1）-

6

⑵（竽,6石）.

解析：（1）因为技sin（3+C）+acosB=c,

所以^/3/?sinA+〃•61十°———二c，

lac

则2y/3bcsinA+a2+c2—b2=2c1->

a2=b2+c2—2y/3bcsinA.

又/二b2+。2-2/?ccosA，

所以百sinA=cosA，即tanA=

3

又A£（0,兀）,所以A=四

6

（2）因为，_=上，

sinCsinB

所以c=%g,

sinB

TT

9sinC9sin（8+%）_969

SMC人csinA=

sinBsin522tanB

因为△ABC为锐角三角形,

71

0<B<-,

2

所以

c571c兀

0<-----B<—,

62

解得则tanB〉行.

32

故也<述+=<6"

222tanB

即△ABC面积的取值范围为（竽,6月）.

22.答案：（1）2+72

(2)跑

3

解析：（1）由题意，函数〃x）=6sin（ox+9）+2sin2美辿-1

=V3sin(®x+^)-cos