山东省聊城市2024届高三年级下册模拟考试（二模）数学试题试题及答案

2024年聊城市高考模拟试题

数学（二）

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填

写在答题卡的相应位置上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.点P在抛物线V=8x上，若点P到点0，°）的距离为6,则点P到＞轴的距离为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线的定义知，点P到焦点的距离等于点尸到准线的距离，结合点P和准线的位置，求点P

到y轴的距离.

【详解】抛物线＞2=8%开口向右，准线方程为I=—2,

点P到焦点的距离为6,则点P到准线的距离为6,

点尸在y轴右边，所以点尸到y轴的距离为4.

故选：A.

2

2.已知集合M、N={x|2xeZ},则McN=()

A.{0,1}D.

【答案】D

【解析】

【分析】由交集的定义求解.

【详解】集合g<x〈l>,N={X2xeZ},则McN=1—g,

故选：D

（2\

x>（）

3.已知函数/（%）为R上的偶函数，且当。时，/（x）=log4x-l,则，-2§=

,2112

A.----B.—C.-D.—

3333

【答案】A

【解析】

22

【分析】根据偶函数的定义可得了（-23）=/（2三），结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.

【详解】因为/⑺为偶函数，所以/（—%）=/（%）,

2222_!1Q

则f（-r）=f（r）=log42^-1=logQ2§-1=log223-l=--l=--.

故选：A

4.若圆G：/+V=1与圆。2：（%-。）2+（y一加2=4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点（。力）

的是（）

A.2x+y—V2=0B.2x—y+2—0

C.x+y-V2=0D.x-y+2=Q

【答案】D

【解析】

【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心（。力）所满足的轨迹方程，从而逐项判段直

线与圆位置关系，确定直线是否过点（。力）即可.

【详解】圆。1：必+丁=1的圆心G（0，°），半径4=1，圆。2：（%-a）2+（y—»2=4的圆心

G（a,b），半径々=2,

若圆G与圆G恰有一条公切线，则两圆内切，

所以CG|=k—回，即，？+廿=1，所以点（。1）的轨迹为圆d+y2=i,

对于A,圆心（0,0）到直线2x+y-&=0的距离为忙匕2目=叵<1，则该直线过点（a3），故A

不符合;

对于B,圆心（0,0）到直线2x—y+2=0距离为-丫2=述＜1,则该直线过点（a,。），故B不

A/55

符合；

对于C,圆心（0,0）到直线x+y-夜=0的距离为10J±闿=1，则该直线过点（。3），故C不符合;

V2

对于D,圆心（0,0）到直线X—y+2=0的距离为匡罢3=庭〉1,则该直线不过点（a,。），故D符

合；

故选：D.

5.班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位

同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（）

A60种B.54种C.48种D.36种

【答案】B

【解析】

【分析】分甲、乙、丙三位同学都有安排和甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排两种情况进行说明即可.

【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，

先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有C；=3种结果，

然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有C：=6种结果，

余下的两个学科给剩下的两个人，有A；=2种结果，

所以不同的安排方案共有3x6x2=36种，

第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，

先选两人出来，有C；=3种结果，

再将四门不同学科分成两堆，有与=3种结果，

将学科分给学生，有A；=2种结果，

所以不同的安排方案共有3x3x2=18种，

综合得不同的安排方案共有36+18=54种.

故选：B

22

6.己知双曲线C：=-2=im>0,b>0）的右焦点为尸，一条渐近线的方程为y=2%,若直线y=依与

ab

C在第一象限内的交点为尸，且PELx轴，则大的值为（）

A/5R6「4君c4也

AA.D.C.---------U.---------

2255

【答案】C

【解析】

（从、

【分析】根据双曲线的渐近线方程可得b=2anc=&«，由"_L九轴得Pc,一,利用斜率公式可得

\aJ

结果.

Y2v2bb

【详解】因为双曲线C：「-当=1（。>0/>0）的渐近线方程为〉=±二彳，依题意有一=2,

abaa

（廿、

即6=2a=>c=J?a，又右焦点为歹（c,0）,且"_Lx轴，所以Pc,一，

\a7

22

所以左_左一旦b_4a_475,

/V—%op—

cac亚a15

故选：C.

7.如图，在平面四边形ABC。中，AB=AD=2,NB=2ND=120°,记与，ACD的面积分别为

耳,邑，则$2—H的值为（）

D

A.2B.73C.1D.当

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦定理得8c2-AC2=-2BC-4、CD2-AC2=2CD-4,两式相减可得CD-3C=2,由三角形

的面积公式得Sz-S[=#（CD-BC），即可求解.

【详解】在A5C中，由余弦定理得COS3=".+3U—.U,

2ABBC

BP--=4+'0--9,得BC2-AC2=-2BC-40,

24BC

在.ACD中，由余弦定理得cosD=Q+C二一O',

2ACCD

pj_4+CD--AC-2CD-4@,

g=；CD2_ac；2=

24CD

又HBCsin120°=—BC,Sn=-ADCDsin60°=BCD,

122222

所以星_工=咚CD_q8C=¥（CD-BC）③，

由②一①，CD2-BC2=2{CD+BC）,由CD+3c>0,

得CD-BC=2,代入③得S?—耳=JI

故选：B

8.已知圆柱。。]的下底面在半球。的底面上，上底面圆周在半球。的球面上，记半球。的底面圆面积与

SV

圆柱O&的侧面积分别为s,s一半球。与圆柱的体积分别为v，K，则当《的值最小时，/的值为

（）

A.逑B.GC.史D.V2

34

【答案】A

【解析】

Shy

【分析】设圆柱底面半径为"，高为〃，球的半径为R,则不=丁+宝，根据基本不等式可得r=/，、

S{2r2h

R=6r，结合圆柱与球的体积公式化简计算即可求解.

【详解】设圆柱底面半径为「，高为〃，球的半径为R,

i42

则R2=打2+,，S=TIR2,Sj=2jtrh,V=—•—TIR3=—7tT?3,Vj=7tr2h,

所以〜黑=雪4+5”

当且仅当r=/i时等号成立，此时R=0厂,

所以「浊=1±竺=逑,

吊Ttr2hnr2•r3

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知向量a=(—1,2)3=(1,/1),若匕在口上的投影向量为a，则()

A.4=3B.a//b

C.aL(b-a]D.a与》的夹角为45。

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据投影向量的公式求出4的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可.

CL•hCL

【详解】对于A,因为》在a上的投影向量为a，即--------=a,

\a\\a\

a-b—1+2A

所以=1,即解得4=3,故A正确;

\a\2(，5)2

对于B,a=(—l,2)/=(L3),所以(―1)x3—2xlw0,故B错误;

对于C,a-(z?-a)=(-l,2).(2,1)=-2+2=0,所以。，仅一冷，故C正确;

a-b—1+6x/2

对于D,cos<a,b>=--------=「所以a与人的夹角为45。，故D正确.

\a\\b\V5xV102

故选：ACD.

10.已知四棱锥P-A3CD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是（）

A."AB=PB”与"PB=BD"

B."PA_LPC”与“PBLPD”

C."PB_LCD'与"PC上AB”

D.“平面Q4B_L平面PSD”与“平面PCD_L平面PBD”

【答案】BC

【解析】

【分析】利用正方形的特征可判定A,利用球的特征可判定B,利用面面垂直的性质可判定C,利用反证法

可判定D.

【详解】对于A,显然=时，而底面ABCD是正方形，AB^DB,

所以=不成立，故A错误；

对于B,设底面正方形中心为。，则P在以。为球心，以Q4为半径的球面上时可符合题意，故B正确；

对于C,当平面1底面ABCD时，

由面面垂直的性质可知工平面PBC,0cl.平面PBC,显然符合题意，故C正确;

对于D,先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，

ac/3=l,acy=a,13cy=b

如图有＜a_L7,取Ae/,作AB_La,AC_LZ?,

垂足分别为3、C,由面面垂直的性质可知

AC1/

由线面垂直的性质可知/ua,

AB±l

又A5AC^A,AB,AC^y,由线面垂直的判定可知/人/,

若“平面MBJ_平面PBD”与“平面PCD_L平面尸况)”同时成立,

易知。=平面RlBc平面PC。，可设平面E48c平面PCD=/,则尸e/,

则//平面PBD,

易知A3//CD,AB<z平面PC。，所以AB〃面PCD,贝U//AB,

则有AB工平面PBD,显然A3,瓦)不成立，故D错误.

故选：BC

11.已知函数/(x)=sin12%+巳^<x<则下列结论正

确的是()

A.若动直线工=相与/(x),g(x)的图象的交点分别为A,B,则的长可为日

B.若动直线＞=机与/(x),g(x)的图象的交点分别为A3,则|A@的长恒为:

C.若动直线丁=土机与/(x),g(x)的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为宙

D.若以%)w则

【答案】BCD

【解析】

【分析】先判断函数/(x),g(x)的单调性及值域，由条件确定机的范围，设点4,3的坐标分别为

(七,回,(%2，w)，列方程化简可得X]-々=：,由此判断AB,判断直线y=±加与/(x),g(x)的图象能

3

围成封闭图形的形状，结合面积公式判断C,由条件/(2))=1，结合两角差余弦公式可求cos2m0,根据

二倍角公式可求COS7%,由此判断D.

【详解】由二＜x＜生，可得二K2x+二4电，

63262

所以/(x)在区间上单调递减，

且/(x)C=sin]=l，小"个『吟=-1,

所以—

7TSjrjr

由一±<x<一,可得0«2%+々4兀，

12126

所以函数g(x)在区间一力，^|上单调递减，

所以—”g(尤)W1,

由已知一1<冽<1,

所以直线y=7"与函数y=/(%),y=g(x)都只有一个交点,

设点A,3的坐标分别为(菁,加),(9,加),

兀3兀

因为函数丁=$也》在—上单调递减，

所以2玉H—=--\-2%,

632

所以玉-x2=—,

所以|AB|=J(X]+(勿_间2=%一引=：,A错误,B正确,

设直线y=一机与函数丁=/(%),丁=8(%)的交点为。,。，

则又AB//CD,

所以四边形A5DC为平行四边形，其面积S=?x2|"7区三，C正确;

4112

g(x)=cos(2x+-g-j

3

对于D,因为〃%)=《，

LL」兀13兀，八兀，3兀

所以sm2%+—=~>彳<2777+—<―-，

V0752G62

所以cos]2加4兀兀口「兀/,5兀

M/2%+片＜兀,即犬2亡

所以2cos2〃%―1=~虱^,又二<为

106

所以113-46,5-206

c°s，』一V-ioo-

所以=COS/=2f,D正确；

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是利用正弦型函数的性质得到A,3点横坐标之间的关系，即

71

玉一九2二7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.已知且〃i+-----=1,则。=.

〃+i

【答案】1

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于〃的方程，解之即可.

22(tz-i)=山+"窿¥+L-3〕i=l,

【详解】s+——：=ai+

〃+ia+i)(a-i)a+1a+1Ia+1y

2a

一a~+-]二1

所以《\，解得〃=1・

a—-----二0

a2+l

故答案为：1

21

13.甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为彳，乙获胜的概率为一，采用三局两胜

33..............

制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为.

3

【答案】-##0.6

【解析】

【分析】根据题意，设甲获胜为事件A,比赛进行两局为事件8,根据条件概率公式分别求解P(A)、P(AB)

的值，进而计算可得答案.

【详解】根据题意，设甲获胜为事件A,比赛进行两局为事件3,

7?21220

P(A)=-x-+C'X—X—X—=——

3333327

,224

P(AB)=C；x-x-=-

-339

4

9-上3

P(AB)--

故P(B|A)=5-

P(A)2_020

27

3

故答案为：—.

14.已知正方形ABC。的四个顶点均在函数/(X)=/-2缶+1的图象上，若A3两点的横坐标分别为

玉,尤2，则|七％2〔=.

【答案】代

【解析】

【分析】分析函数关于点M(o,l)中心对称，进而正方形A3CD的对称中心为设出直线AC的方程为

y=kx+l(k＞0)，则直线BD的方程为丁=一：％+1,4(石，%)，3(%,%),则。(一再，2—%),0(—9,2—%)，

k

2

联立直线方程与函数y=〃无)可得石2=八20,%2=272--,由|AM|=|3M|,可得

k

(1+k2)(k+272)=(1+-^-)(272-1),进而求得左的值，所以可得才考，代值计算即可得出答案.

【详解】因为/(£)=短—20X+1,所以/(—x)=—d+2&无+1,贝U/(x)+/(—x)=2,得函数f(x)关

于点M(0,l)中心对称，

显然该正方形ABCD的中心为M,

由正方形性质可知，AC13。于〃，且|A"|=|3M|=|CM|=|DW|,

不妨设直线AC的方程为,=去+1(左＞。)，则直线50的方程为丁=一!工+1,

k

设A(±,%)，8(%，%)，则。(一七，2-％),D(-x2,2-y2),

y-kx+\

联立直线AC方程与函数y=得＜,即炉―(左+2五)％=0,

[y=x3-2V2x+l

•••x^k+242,同理％2=2行一工，

k

1+|%।，

（1+左?）（k+2^/2）=（1H—y）（2^2—）,即上2——+2y[^（k—）二0，

kkkk

化简得（左_工）2+2行（左一工）+2=0,/.k--=—0,

kkk

22

xtx2=（左+20）[20_g1=2&[左_']+7=2忘义（_拒）+7=3,

••|%[%2|=^3.

故答案为：A/3.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线的综合运用.解决本题的关键是利用函数的对称性与正方形的对

称性，从而可设互相垂直的两条直线，再根据直线与曲线相交的坐标关系，进而利用相交弦长公式确定直

线斜率关系式.考查了运算求解能力，属于较难题目.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.

15.随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时

配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其

A,3两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下:

分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；

(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改

进建议，设被抽到的3人中分公司8的客户人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)75

9

(2)E(X)=-,分布列见解析

【解析】

【分析】(1)将数据从小到大排列，根据第一四分位数的概念求解即可；

(2)先求出两个公司不满意的人数，确定随机变量的取值，然后求出对应的概率，根据数学期望公式求解

即可.

【小问1详解】

将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,

86,86,87,89,91,91,92,94.

因为20x25%=5,

73+77

所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为-------=75.

2

【小问2详解】

由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；

分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，

所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.

所以X的所有可能取值为1，2,3.

23

P(X=1)=黄「2cl=*3P(X=2)=*f1c/p(3X=3)=尊c°C$1

所以X的分布列为

X123

331

P

K)510

331

数学期望石(X)=lx±+2x?+3x—9

'/105105

16.如图，在几何体ABC-451cl中，四边形是边长为2的正方形，MBB[,A&=3,点E

在线段AG上，且EG=24E.

(1)证明：BjE//平面ABC1；

(2)若A51平面3CG4,且A5=2,求直线4G与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵①

11

【解析】

【分析】（1）要证明线面平行：4E//平面ABG，只需证明平面平面ABG（其中点用在线段

A41上，AM=g4A）,从而只需结合线面平行的判定定理分别得出ME//平面ABC1，耳///平面

ABC,即可.

（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AC的方向向量与平面的法向量，从而由公式

II|,4G|

COS凡AG=%—T即可运算求解.

।1|4|AG|

【小问1详解】

在线段Ad上取一点M,使4M=g&A,

连结则MA=2AM,

又因为EG=2AE,所以ME〃AC］,

因为ME仁平面ABC,,AC,u平面ABC］，所以ME//平面ABC,,

由AA=3,得M4=2,又45=2,且抽BB},

所以四边形为平行四边形，所以与M〃A5,

因为4M•平面A5G，A5u平面ABC］，所以4闻//平面ABC1，

又B、McME=M,用Mu平面gME,MEu平面中四，

所以平面5|ME//平面ABC1，

又因为4Eu平面gME,所以4E//平面ABC一

因为AB工平面3064,84,3。u平面5CC4,所以AB，3瓦,AB，BC,

又四边形3CG用是正方形，所以

所以BC,BA,BB1两两互相垂直.

所以以8为原点，以30,84,5与所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

^AB=BC=2,AA,=3,得A（0,2,0），4（0,2,3）,^（0,0,2）,q（2,0,2）,

于是AG=（2,-做=（O,-2,2），4A=（0,2,1）,

B[E=B[A+§1AG=[「§2，4§，2、，

/、n-AB1-0

设平面ABXE的法向量为n=（x,y,z），则〈

小B1E=0

—2y+2z=0

y-z=0

得《242即《

—x+—y+—z=0x+2y+z=0

（333

令y=l,得z=l,x=—3,所以平面的一个法向量

设直线4G与平面AB[E所成的角为氏

n,..I“I卜,401|93日

1122

H-|AG|79TTT1XV2+2+111

所以直线AG与平面AB]E所成角的正弦值为誓.

17.已知数列｛。“｝,｛2｝满足。2〃-1=4〃-1+12根,“2"=7泌2"，根为常数，若｛?,｝为等差数列，且

b4—b,=2色=2（q+Z?J=8.

（1）求加的值及｛4,｝的通项公式；

（2）求也｝的前2“项和$2”.

【答案】（1）m的值为g，4=2〃+3

（2）6n2+7n

【解析】

【分析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,结合等差数列的性质可得方程组，解出即可得;

(2)由题意可得&“_1=41—6,4〃=2a2",借助分组求和法计算即可得解.

【小问1详解】

由题意知l>4—b2—8,b3—bx=4,6+4=4,

a1=bi+12m

a2=mb2

ab

因为2n-l=2n-l+田口,«2n=〃电”，所以“a3=4+12m

%=mb4

q+4=2q—12m

%-q=b3-bx=4=2d

设等差数列｛〃〃｝的公差为d,贝卜a4-a2=用仅4一°2)=8加=2d,

q+4=2ax-12m=4

d—2

1

m=—

解得《2,所以为=5+l)x2=2〃+3,

=-1

a\~5

所以加值为3,｛%,｝的通项公式为4=2〃+3；

【小问2详解】

由(1)知，cin—2〃+3,b2n_i=。2〃-1—6,b2n—2a2n，

所以s?0=伯+4+々+,+邑-1)+(2+4+4++如)

=(q+%+%++口2"-1—6〃)+2(%+%+%++%〃)

7)_6〃+2*〃(/+/)=〃(5+4〃+1)_6〃+〃(7+4〃+3)

222v7

=6n2+7〃•

所以也｝的前2n项和S2n=6/+7〃.

18.对于函数/⑺，若存在实数%,使/(%)/(/+/1)=1,其中awO,则称/(x)为“可移％倒数函数”,

%为“于(X)的可移2倒数点已知g(x)=ex,h(x)=x+a(a>0).

(1)设9(x)=g(x)〃2(x),若0为“/?(%)的可移-2倒数点”，求函数以幻的单调区间；

g(x),x>0

⑵设0(x)=l1八，若函数①(X)恰有3个“可移1倒数点”，求a的取值范围.

----，龙<0

h(x)

【答案】(1)单调递增区间为(—8,—3),(—1,+8),递减区间为(—3,—1);

(2)(2,e).

【解析】

【分析】(1)根据给定的定义，列式求出。值，再利用导数求出函数。(幻的单调区间.

(2)利用定义转化为求方程。(x)o(x+l)=l恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.

【小问1详解】

由0为“h(x)的可移—2倒数点”，得历—2)=1,

即—2+a)=1,整理a?+—2)a+1—=0,即(a+—l)(a—1)=0,解得

a=1,

由9(x)=ex(x+l)2的定义域为R,求导得d(x)=e、(x+l)2+2e*(x+l)=eA(x+l)(x+3),

当XC(T,-3)时,0'(x)>O,0(x)单调递增；xe(—3,T)时，0'(x)<O,0(x)单调递减;

xe(T,+8)时，0'(x)>O,0(x)单调递增,

所以。(x)的单调递增区间为(-8,—3),(-L+8),递减区间为(—3,—1).

【小问2详解】

ex,x>0

依题意，以%)=(1，

----,%<0

由少(龙)恰有3个“可移1倒数点”，得方程Mx)0(x+l)=l恰有3个不等实数根，

①当了>0时，%+1>0,方程。(x)a»(x+l)=l可化e2x+1=1,解得x=—g,

这与x>0不符，因此在(0,+“)内口(％)0(尤+1)=0没有实数根；

X+1

②当—1<%<0时，x+l>0,方程。(x)0x+l)=l可化为f—=1,

x+a

该方程又可化为〃二产1—x•

设左（x）=ex+i—x,则左'（x）=eI+1-1,

因为当xe（—1,0）时，％'（力＞0,所以％（九）在（TO）内单调递增，

又因为左（一1）=2,左（0）=e,所以当xe（—l,0）时，^（%）e（2,e）,

因此，当ae（2,e）时，方程。（x）o（x+l）=l在（一1,0）内恰有一个实数根；

当。«0,2］。上,+8）时，方程。（1）。（*+1）=1在（一1,0）内没有实数根.

③当x=—1时，1+1=0,必4+1）没有意义，所以x=—1不是0％）0（%+1）=1的实数根.

④当％＜-1时，x+l＜0,方程&＞（x）o（x+l）=l可化为--------——=1,

x~\~a%+〃+1

化为£+（2a+l）x+〃+a—1=0,于是此方程在（一”,—1）内恰有两个实数根，

（2a+l『-4（/+a-1）〉0

则有＜_2Ml＜-1,解得a〉1+如,

22

1—（2a+1）+a2+〃—1＞0

因此当a〉上手时，方程0（x）0（x+1）=1在（—8,—1）内恰有两个实数根，

当o＜a＜出手时，方程®（x）®（x+l）