重庆市2024届高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

重庆市聚奎中学2024届高一数学第二学期期末质量检测试题

注意事项:

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息

条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,

字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.在区间上随机取一个数x,cosx的值介于o到］之间的概率为（）

1212

A.-B.-C.-D.-

37123

2.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问

日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布都是前一天的2倍，已知她5天共织

布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不

少于30,该女子所需的天数至少为（）

A.7B.8C.9D.10

3.已知直线/过点（L2）,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线

%的方程为（）

A.2x-y=0B.2x+y-4=0

C.2x—y=0或x+2y—2=0D.2x—y=0或2x+y-4=0

4.若角a的终边过点P（-3,-4）,则cos（加2a）的值为（）

2424

2525

5.函数/Cx)=3cos图像的一个对称中心是（

6•在中，角对应的边分别是，已知,则等于（

7.已知函数/(x)=Asin(①x+(p)[A>0,co>0,l(pl<—的部分图象如图所示，则中的

值为（）

兀71

C.-D

3-3

8.把函数y=Sin(2x-）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）

A.y=sin(2x-)B.y=sin(2x+)C.y=cos2xD.y=-sin2x

9.已知直线3x+2y-3=0和6x+切+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）

5y/13R9"

A.r>.-------•--------

132613DY

10.已知向量。=（2,tan0）,5=（1,—1）.且刈彷，则tan［：—（）

cc1

A.2B,-3C.-3D.--

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

H.已知关于两个随机变量的一组数据如下表所示，且成线性相关，其回

归直线方程为y=a+2.2x,则当变量x=10时，变量丁的预测值应该是

X23456

y4671013

12.已知平行四边形ABCD的周长为20,AC=2眄BD=2",则平行四边形

ABCD的面积是

13.若直线y=k（x+4）与圆岁+/=8有公共点，则实数左的取值范围是.

14.向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶

点4的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)，由此可估计兀的近似值为.(保

留四位有效数字)

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知/(x)=x2—(3a+2)x+2a(a+2),aeR.

(1)若不等式/(x)>2的解集为(T,1)U(4,+8),求a的值；

(2)解不等式/(x)W。.

18.设全集为实数集H,A=€|-1<%<4),B={x\-5<x<l},

C={x|1-2tz<x<2a}.

(1)若。=0,求实数。的取值范围；

(2)若CW0,且求实数。的取值范围.

19.四棱柱ABCO—qqqq中，底面ABC。为正方形，40=44]=。0=2，〃为

AD中点，且AH工BD.

(1)证明AB,AA]；

(2)求点C到平面的距离.

20.为了了解居民的用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量（单

位:左W/）,并将样本数据分组为

1160,180）,[180,200）,[20,220）,（220,240）,1240,260）,（260,280）,[280,300]，其

频率分布直方图如图所示.

（1）若样本中月均用电量在[240,260）的居民有30户,求样本容量；

（2）求月均用电量的中位数；

（3）在月均用电量为[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]的四组居民中，用分

层随机抽样法抽取22户居民，则月均用电量在卜60,280）的居民应抽取多少户？

21.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量可（单位：百千克）与肥料费用工（单

“3

位：百元）满足如下关系：卬=4-_一且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还

x+1

需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/

千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为

L（x）（单位：百元）.

（1）求利润函数L（x）的函数关系式，并写出定义域；

（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

兀兀17C7C7C7C

因为彳引一小马,若cosxe。],则xe[—「一母3，

2、B

【解题分析】

X（1-25）5

试题分析：设该女子第一天织布x尺，则.J。1=5,解得了=封，所以前〃天织

1-231

布的尺数为由京（2〃一1）»30,得2"»187,解得〃的最小值为8,故

选B.

考点：等比数列的应用.

3、D

【解题分析】

根据题意，分直线/是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线/的方程，即可得答案.

【题目详解】

根据题意，直线/分2种情况讨论：

①当直线过原点时，又由直线经过点（L2）,所求直线方程为y=2x,整理为

2x-y=09

②当直线不过原点时，设直线/的方程为士+3=1,代入点（L2）的坐标得

a2a

-[+—2=1）解得。=2,此时直缓的方程为g=1,整理为2x+y—4=0.

a2a24

故直线/的方程为2x—y=0或2x+y—4=0.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0,属于基础题.

4、C

【解题分析】

3

由三角函数的定义得cosa=-,,再利用诱导公式以及二倍角余弦公式求解.

【题目详解】

3

由二角函数的定义，可得cosa=1m，则

7

cos(兀-2a)=-cos2a=-(2cos2a-1)=——,

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了三角函数的定义，以及二倍角的余弦公式的应用，着重考查了推理与运

算能力，属于基础题.

5、B

【解题分析】

5兀兀

由题得4x+=左兀+,左eZ,解出x的值即得函数图像的一个对称中心.

o2

【题目详解】

5兀兀

由题得4x+一■=左兀+—,keZ,

62

所以x=把一三(ZeZ),

412

所以/(x)=3cos14尤+引图像的对称中心是《一展,eZ).

当k=l时，函数的对称中心为停

故选B

【题目点拨】

本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水

平，属于基础题.

6、A

【解题分析】

根据正弦定理求得根据大边对大角的原则可求得.

【题目详解】

由正弦定理得：

本题正确选项:

【题目点拨】

本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点，属于基础题.

7、C

【解题分析】

结合函数图像，由函数的最值求出A,由周期求出川，再由/(衣)=2求出中的值.

【题目详解】

由图像可知：4=2,7=4义(可一石)=兀，故叩=2,

兀

又/后)=2,

兀兀TC

所以2x&+(p=,+2左兀(p=—+eZ)

..7171

又|(p|<5,故：(p=

故选:C

【题目点拨】

本题考查了利用图像求三角函数的解析式，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属

于中档题.

8、D

【解题分析】

试题分析：三角函数的平移原则为左加右减上加下减.直接求出平移后的函数解析式即

可.

解：把函数y=sin(2x--Y)的图象向右平移个单位，

所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2(x-)-]=sin(2x-n')=-sin2x.

故选D.

考点：函数y=Asin((ox+(p)的图象变换.

9、D

【解题分析】

由已知中直线3x+2y—3=0和6x+切+1=0互相平行，求出现的值，再根据两条平

行线间的距离公式求得它们之间的距离.

【题目详解】

;,直线3x+2y—3=0和6x+切+1=0互相平行，则m=4,

将直线3x+2y—3=0的方程化为6x+4y—6=0,

|c-cI11—(—6)I7/7T

则两条平行直线之间的距离d,d=-LJ一L=,A=一.

J.2+B2J62+4226

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题.

10,B

【解题分析】

通过£|仍得到tan0=—2,再利用和差公式得到答案.

【题目详解】

向量a=(2,tan0),5=(1,-1).且Z||Bntan0=-2

兀n

/、tan--tanb

tan［。=」________=-3

I4),兀八

、J1+tan—tan0

4

故答案为B

【题目点拨】

本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、21.2

【解题分析】

计算出工=4,歹=8,可知回归方程经过样本中心点，从而求得。=—0.8,代入x=10

可得答案.

【题目详解】

由表中数据知，x=4,y=8,线性回归直线必过点(工,亍)，所以将1=4,亍=8代

入回归直线方程y=。+2.2x中，得。=—0.8,所以当x=10时，

y=-0.8+2.2x10=21.2.

【题目点拨】

本题主要考查回归方程的相关计算，难度很小.

12、12/

【解题分析】

设AB=CD=a,AD=BC=b,根据条件可以求出a+匕=10,两边平方可以得到关

系式，由余弦定理可以表示出AC2+802,把AC=2炳,80=2々代入得到的关

系式，联立求出。，b的值，过。作DE垂直于E,设CE=x,则BE可以表示，

利用勾股定理，求出工的值，确定长，即求出平行四边形的面积

【题目详解】

设

AB=CD=a,AD=BC=ba+b=10=>(a+b)=或+"+2ab=100........(1)

又ZABC+/BCD=7l,由余弦定理

AC2+502=〃2+/?2-2abcosZABC+42+^2-2abcosZBCD=23+Z72)

将AC=2M,BD=2"代入，得到a2+b2=52……(2)将(2)代入(1)得到ab=24

可以解得：a=4,。=6(另一种情况不影响结果)，过。作DE垂直5c于E,设CE=x,

则

BE=6-xDE2=28-(6-x”=16-彳2；,%=2,DE=2y/3

:.S=BCDE=6x2O=12#,所以填写123

【题目点拨】

几何题如果关系量理清不了，可以尝试作图，引入相邻边的参数，通过方程把参数求出，

平行四边形问题可以通过转化变为三角形问题，进而把问题简单化.

13,[-1,11

【解题分析】

直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.

【题目详解】

直线y=左(1+4)即Ax-y+4左=0,

圆殖+尹=8的圆心为（0,0）,半径为2j，，

若直线与圆有交点，则」W2,

vn+i

解得一1W女＜1,

故实数左的取值范围是Li』］.

【题目点拨】

本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.

14、3.1

【解题分析】

根据已知条件求出满足条件的正方形ABCD的面积，及到顶点4的距离不大于1的区

域（图中阴影区域）的面积比值等于频率即可求出答案.

【题目详解】

c/兀

依题意得，正方形的面积S=4,阴影部分的面积不，

正万形4

故落在到正方形的顶点4的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率

71

尸="=兀，

416

随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点4的距离不大于1的区域

1968

内（图中阴影区域）的频率为：1（）（）面，

==

即有：PT7TAAAA,解得：兀=3.1488,故答案为3.1.

101UUUU

【题目点拨】

几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个

“几何度量''只与“大小”有关，而与形状和位置无关.解决的步骤均为：求出满足条件A

的基本事件对应的“几何度量"N（A）,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,

最后根据尸=—。又求解.利用频率约等于概率，即可求解。

N

15、2

【解题分析】

利用递推公式求解即可.

【题目详解】

由题得a=2,a=—l,a=一,a=2,...,tz=2,

5

234211

故答案为2

【题目点拨】

本题主要考查利用递推公式求数列中的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,

属于基础题.

7

16'-9

【解题分析】

01

由sin1+—;得Cos2=1—2sin2,

即cos^2a+—^=Z.,

兀c、「(吟]

所以cos1(23-2aI=cos兀—[2a+与J=7,故答案为一7,.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)G=1；(2)。<2时，解集为[2a,a+2],a=2时，解集为{4},a>2时解

集为[a+2,2a].

【解题分析】

(1)由一元二次不等式的解集一一元二次方程的解之间的联系求解；

(2)按2。和。+2的大小分类讨论.

【题目详解】

(1)由题意m-(3。+2)X+2。2+4。一2〉。的解集为JO,1)U(4,+8),

则方程型_(3a+2)x+2a2+4a—2=0的解为1和4,

3d+2=1+4

-*•],01，解得a=1；

o2cI2+4A。—2=1x4

(2)不等式/(%)«。为(X—2Q)(X—Q—2)«。，

24=〃+2时，a=2,此时不等式解集为{4},

。>2时，2〃>a+2,tz+2<x<2^,

当。<2时，2。<。+2,<x<6Z+2o

综上，原不等式的解集：。<2时，解集为[2a,a+2],a=2时，解集为{4},。>2时

解集为[a+2,2a].

【题目点拨】

本题考查解一元二次不等式，掌握三个二次的关系是解题关键，解题时注意对参数分类

讨论.

18、（1）（2）\<a<\

44

【解题分析】

（1）根据空集的概念与不等式的解集的概念求解；

（2）求出再由子集概念列式求解.

【题目详解】

解：（1）由1一2。22a得，a<\

4

（2）由已知得4"=1卜1"<2},由⑴可知Cj（Ac8）则，:1

2a<2

解得aWl,由（1）可得CW0时，a〉；，从而得;<a<l

44

【题目点拨】

本题考查空集的概念，集合的交集运算，以及集合的包含关系，属于基础题.

19、（1）见解析;（2）d=^L.

7

【解题分析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，即利用线面垂直进行证明，

而证明线面垂直，则利用线面垂直判定定理，即从已知的线线垂直出发给予证明，本题

利用平几知识，如等边三角形性质、正方形性质得线线垂直，（2）求点到直线距离，一

般方法利用等体积法转化为求高.

试题解析：（1）等边"AD中，H为AD中点AH±AD

又AHLBD,且ADcBD=D

:.AHL面AfiCD

1

/.AHIAB

i

在正方形ABC。中，ADA.AB

AHcAD=H

/.AB1面ADDA

ii

AB1AA

i

(2)丝80中，A\D=2,BD=2E，AB=2W,:.SMBD=6

由(1)知，面43C。

V1.q2出

/.V=—sxAH=

AX-BCD3BCD13

等体积法可得,V=-sxd=-J7xd=^H-

C-\BD3A^D33

点c到平面ABD的距离为d=2JN.

17

20、(1)200(2)224(3)4户

【解题分析】

⑴因为(0.0020+0.0095+0.0110+0.0