安徽省江南十校2023-2024学年高二年级下册联考试卷含答案

姓名座位号

(在此卷上答题无效)

绝密★启用前

2024年“江南十校”高二年级联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试

卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求

1.等差数列｛<?”｝中，a｝+a2+a3=18,a5=3,则4=

A.-2B.-1C.0D.2

2.安徽省某市石斛企业2024年加入网络平台直播后，每天石斛的销售量X〜N(200Q2500)(单

位：盒)，估计300天内石斛的销售量约在1950到2050盒的天数大约为

(附：若随机变量X〜N(〃,/)，则P(〃-b«XW〃+b)=0.6827,

P(〃-2cr4X4〃+2cr)«0.9545,-3。<X<〃+3a)»0.9973)

A.205B.246C.270D.286

3.已知〃(4,0),6(1,JJ),圆/经过48两点，且圆的周长被x轴平分，则圆加的标准方程为

A.(x-j)2+(y-y^)2=3B.(X-2)2+/=4

C.x2+y2=4D.(x-l)2+/=4

4.“一带一路”2024国际冰雪大会中国青少年冰球国际邀请赛在江苏无锡举行，现将4名志

愿者分成3组，每组至少一人，分赴3个不同场馆服务，则不同的分配方案种数是

A.18B.36C.54D.72

5.在棱长均相等的正三棱柱Z8C-481cl中，E为棱45的中点，则直线

用E与平面BB£C所成角的正弦值为

数学试题第1页(共4页)

AV15B1c&D扃

103317

6.已知｛。,J是各项均为正数的等比数列，若q=3,53=39,b“招,则数列也｝的最小

n

项为

A.h2B.瓦C.h5D.b］

7.已知抛物线/=4少的焦点为尸，直线/过点/且与抛物线交于P,。两点，若而=2万，

则直线/倾斜角的正弦值为

A.-B.-C.2D.3

32

8.已知函数/(x)=asinx+xcosx,若/(x)在［-乐乃］上单调，则实数。的取值范围为

A.[0,1]B.[―1,+8)C.(一8,-1]D.{-1}

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=(x-1)/，下列关于/(x)的说法正确的是

A./(x)在(0,1)上单调递减B./(x)在(1,+8)上单调递增

C./(x)有且仅有一个零点D./(x)存在极大值点

10.现有甲、乙两个盒子，各装有若干个大小相同的小球(如图)，则下列说法正确的是

6个白球5个白球

3个红球5个红球

甲盒乙盒

A.甲盒中一次取出3个球，至少取到一个红球的概率是一

21

3

B.乙盒有放回的取3次球，每次取一个，取到2个白球和1个红球的概率是一

8

C.甲盒不放回的取2次球，每次取一个，第二次取到红球的概率是！

3

D.甲盒不放回的多次取球，每次取一个，则在第一、二次都取到白球的条件下，第三次也

3

取到白球的概率是3

7

11.达・芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1,把三片这样的达・芬奇

方砖拼成图2的组合，这个组合再转化为图3所示的几何体，图3中每个正方体的棱长为1,

数学试题第2页(共4页)

G

瓦R为棱的中点，则

A.点P到直线C。的距离为2电

直线平面。

B./G，48图1图2图3

C.平面48。和平面gC£)1的距离为年

D.平面q砂截正方体/BCD-481Goi所得的截面的周长为空士耳心叵

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(3x-J=)6的展开式中常数项为____________-

Vx

1、

13.已知函数/(x)=31nx—］如2+(34—l)x,其中a<0,若x=3是/(x)的极小值点，则

实数”的取值范围为.

14.过双曲线=1(加>0)的左焦点尸作渐近线的垂线，与双曲线及渐近线的交点分别

为48，点4,8均在第二象限，且4为线段用的中点，则加=.

四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,且满足=1-5„.

(1)求许及S.；

(2)若I+S2+S3+…+S“N〃2+5—7,求满足条件的最大整数〃的值.

16.(15分)

如图，某市有三条连接生活区与工作区的城市主干道I、】1、HI,在出行高峰期主干道I有

E，$2,S3三个易堵点，它们出现堵车的概率都是1；主干道n有几与两个易堵点，它们出现堵

131

车的概率分别为1和1；主干道HI有用，畋,吗,陶四个易堵点，它们出现堵车的概率都是

某人在出行高峰期开车从生活区到工作区，假设以上各路点是否被堵塞互不影响.

(1)若选择了主干道I行驶，求三个易堵点5，$2,S3至少有一个出现堵塞的概率；

数学试题第3页(共4页)

(2)已知主干道I的每个易堵点平均拥堵4分钟，主干道I【的每个易堵点平均拥堵5分钟，

主干道HI的每个易堵点平均拥堵3分钟,若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准,

则从生活区到工作区最优的出行路线是哪一条？

17.(15分)

在我国古代数学典籍《九章算术》中，有一种名为“羡除”的几何

体，它由古代的隧道形状抽象而来，如图，Z8C0FE为五面体，

AD//BC//EE,四边形ABCD,AEFD,BEFC均为等腰梯形，平面

ABCD±平面AEFD,EF=l,BC=2,AD=4,EF到平面ABCD

的距离为3,8c和Z0的距离为2,点G在棱8c上且3G=J.

2

(1)证明：AD上EG：

(2)求平面48E与平面夹角的余弦值.

18.(17分)

已知直线/:y=与函数/(x)=(x+l)lnx.

(1)记g*)=/'(x),求函数V=g(x)的单调区间；

(2)若直线/与函数丁=/(x)的图象相切，求实数上的值;

(3)若xe(O,l)时，直线/始终在函数y=/(x)图象的上方，求实数人的取值范围.

19.(17分)

22/T

已知椭圆二+二=l(a>6>0)的离心率为2,焦距为2,耳,B分别为椭圆的左、右

a2b22

焦点，〃为椭圆上异于长轴端点的一个动点，直线〃与，g与椭圆的另外一个交点分别为

尸,。.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点/在x轴上方，I"周=3|片目，求直线的方程；

$

(3)设\MPQ,\MF\F,的面积分别为，,S,求的取值范围.

数学试题第4页(共4页)

2024年“江南十校”高二年级联考

数学参考答案

1.【答案】c

【解析】由等差数列性质得3a2=18,即勾=6,又9+。2=2%，故&8=6

2.【答案】A

【解析】由0.6827x300=204.81可知大约有205天.

3.【答案】B

【解析】线段Z8的中垂线为y—曰=JJ(x—g)，令歹=0得"(2,0),所以圆M的标准方程

为(彳-2)2+y2=4.

4.【答案】B

【解析】.另=36种.

5.【答案】A

【解析】过E作跖_L8C，/为垂足，连接名尸，则NEB/为直线用E与平面印。所成角，设

三棱柱的棱长为2,则EF=—,B,E=sinZEB.F=—.

212110

6.【答案】B

【解析】由题意%=3"也=三，由得〃>2,故当最小.

n

"/bn〃+1

7.【答案】A

【解析】过尸,。分别作小,。0垂直于准线，垂足分别为尸,0,过。作。R_LPP,垂足为R,

设I/0t厂，则IFP\=2r,1QQ|=r,\PR\=r^sinZPQR=5=：.

I尸。I3r3

8.【答案】D

【解析】因为/(x)为奇函数，要使函数/(x)在［-乃，句上单调，只要函数/(x)在［0,乃］上单

调.又/'(x)=(a+1)cosx—xsinx,且(=-y<0,故函数/(x)在［0,句上只能单调递减，

fr(0)=a+l<0

由二，二,,、C解得a=—1，经检验易知，a=—1时符合题意.

〔/(乃)=-伍+1)40

9.【答案】BC

【解析】由题意知函数/(x)的定义域为R,令/”(x)=x/=0,得x=0为函数/(x)的极小值

点；令/(幻=0,得x=l为/(x)的唯一零点，综上：BC正确.

10.【答案】ABC

。316

【解析】记记4="甲盒中取3球至少一个红球”，则P(N)=1-一与=丁，故A正确；

Cl21

记8="乙盒有放回的取3次球，取到2个白球”，则P(8)=cj©)3=一，故B正确；

8

记4・二”甲盒不放回第，次取到红球”，则

——I—32631

尸(/2)=P(/M2+/M2)=P(4)•P(42Hl)+P(4)・尸(N24)=AXd+xXd=>故c正确.

9o9o3

—I----4

又P(可4%)=—，故D不正确.

11.【答案】ABD

【解析】由余弦定理得cosNPCQ=与得NPCQ=45°,尸到。0的距离为尸Csin45°=2,

所以A正确；

选项B:如图，以点0为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，则

£)(0,0,0),J(l,0,0),q(0,1,1),A,(1,0,1),5(1,1,0)JC,=(-1,1,1)，设平面48。的法向量分别

DAcm=(1,0,1)-(x,y,z)=x+z=0-_

为加=(xj,z)----—二＞"7=(1,—1,—/.AQUm，所以B

DBm-(1,1,0)-(x,y,z)=x+y=0

正确;

A

选项C：易求4G=百，4到平面4/。的距离为先,

3

所以平面ABD与平面B/D'的距离为V3-^=—

X故C不正确;

选项D：连接CE并延长交CD延长线于U,连接UF交于交C8的延长线于火,

AV=-江什=西I7X

AF=-6

2

FB=L

［用G=i

V55

DV3=GX=—

~4~B\x=-4

BX=—

4

所以截面周长为日+/平+乎+：=*@瓦

所以D正确.

12.【答案】135

”3

【解析】展开式的通项Tr+l=笳(3工产.(一+),=6•(—1)，.x下,令6—y=0,得r=4故

常数项为4=C》x32x(-1六=135.

13.【答案】(—00,——)

【解析】由题意得f\x)=2_ax+(3a-1)=-叱+(3"T)"+3=(efCf，由。<。得

XXX

11

——<3,从而Q<——.

a3

14.【解析】设双曲线的右焦点为与，由|E8|=b，得|=g,|4月|=2a+g，

11/2.1

^AFFX中，(2a+92=?+4c2_2.1.2c.cosNAFF1，

又cosNAFF1=-,从而a=b=l,故加=1.

c

15.【解析】

(1)由4=1-S“得许T=1-S,T(〃N2),两式相减得%=g%_i(〃N2),...........3分

又佝=1一耳得佝=；,故｛%｝是以;为首项、；为公比的等比数列，

从而%=二，......5分

..........7分

(2)由Si+Sz+S?"!-----^"之犷+于"-7,得“2_〃_6«0，...........11分

则满足条件的最大整数"为3............13分

16•【解析】

(1)记/="三个路点中至少有一个被堵塞“，

_17

则P(4)=l—P(/)=l—(—甘=一.......5分

28

(2)记各路线平均拥堵时间为记选择主干道I行驶遇到的堵塞次数为X]〜8(3,；),

13

所以£(^1)=3X-=-9E©=E(4X])=4E(Xi)=6...........8分

313

记选择主干道n行驶遇到的堵塞次数为4,则由题可得，p(x=o)=-x-=—

2274416

11335133

^=D--x-+-x-=i，P(X2=2)=-x-=-

故平均拥堵时间J分布列为

0510

353

P

16816

53

所以£(J)=5x己+10x3=5............11分

816

114

记选择主干道m行驶遇到的堵塞次数为W，则X3〜5(4,-),^(X3)=4X-=-,

£(9=£(3&)=3£(工3)=4...........14分

综上，选择主干道III行驶最优.......15分

17•【解析】

(1)如图，过点G作GO_L/。,垂足为O，连接OE，因为平面/BCDJ•平面NEED，

60<=平面/8。。,平面4880平面/£")=/。,从而6。_1平面/£/力，所以GO1AD,

在6。上取一点/使得/C=；，过/作出，NO,“为垂足，则O〃=G/=1,

因为=4,所以N。="D=3,又AEFD为等腰梯形，所以E0上AD,

又EOC|GO=。,所以ZDJ•平面EOG,............3分

又EGu平面EOG,所以ZD,EG；............6分

(2)

如图，以点O为坐标原点，以。瓦O2OG所在的直线分别为x轴，歹轴，z轴,

31

则/(0,-5,0),3(0,-5,2),片(3,0,0),尸(3,1,0),

设平面ABE,平面BEF的法向量分别为加=(x/,z),〃=(a,6,c),

—,■—11

BE-m=(3,—,-2)\x,y,z)=3x+-y-2z=0

—,,—*33

AE-m=(3,—,0)•(x,y,z)=3x+ay=0

令x=l,得加二(1,一2,1)，9分

——-*11

BE-n-(3,--2)-(a,h,c)=3a+-h-2c=0

EFn-(0,1,0)・(a,4c)=b=0

令a=2，得7=(2,0,3)，...........12分

m-n55

cos<m,n>=——―=l]—=.—14分

|w||n|J6Jl3V78,

故平面ABE与平面BEF夹角的余弦值包电.

15分

78

18.【解析】

(1)由题意得g(x)=lnx+l+’,x〉0,.，/、11X—1

则g(x七一TF

x

故函数g(x)的单调增区间为(L+8),单调减区间为(0,1)..4分

(2)设直线/：y=:(x-l)与函数/*)=(x+l)lnx相切于点(X。J。)，

Inx(iH------1~1=左c,1c

贝“°x0,得21nx()-殉+—=0,

A

(x0+1)Inx0=k(x。-1)°

令Zz(x)=21nx-x+L则I*)=一40,故,(x)在(0,+℃)上单调递减,

x°x2

从而/z(x)=O至多一根，

又人(1)=0,故与=1,^=lnx0+—+1=2.............10分

xo

(3)法一：由题意知，当xe(O,l)时，Inx—处二D<0恒成立，

x+1

2

令9(x)=Inx-——,xe(O,l),则.'(X)=%+2(1_⑴=。,

x+1x(x+l)2

①当上K2时，X2+2(1-^)X+1>X2+2X+1>0)则”(X)>0,e(x)在(0,1)上单调递增,

故(p(x)<0.

②当人>2时，令*'(x)=0得为=k-_l,x2=k-l+J(k-1)2-1，

由电>1且百巧=1得0<为<1，故当xe(X[,l)时，(p'(x)<0,e(x)在(0,1)上单调递减，

从而e(x)>0(1)=0，不符合题意；

综上所述：左的取值范围为(—8,2].......17分

法二：分离参数利用洛必达法则也可.

19•【解析】

2

(1)—+y2=1：......4分

2

（2）设加（%,坊）,。（项,必）,町：x=my-l,联立》2+21/=2，^（my-1）2+2y2-2=0>

2m

知+为