河南省焦作市2023-2024学年高三第三次模拟考试（暨青铜鸣大联考）数学试题试题及答案

焦作市普通高中2023-2024学年

高三第三次模拟考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A=3-e<xW。}，人卜|0<一一立2},则A5=（）

A.{x|-l<x<l}B,{x|-l<x<0}C.{x|-e<x<2}D,{x|-e<%<-1}

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式组化简集合B,再利用交集的定义求解即得.

X2-x>0

【详解】依题意，解不等式组〈，，得—1W尤<0或l<x<2,

X2-X-2<0

则5={%[-1<x<0或1<x<2},而A={x[—e<%<0},

所以AcB={x|—lWx<0}.

故选：B

2.已知i为虚数单位，复数z满足|z+l|=|z+i|=6,贝||z|的值为（）

A.1B.后C.&或2后D.1或④

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数代数形式的运算法则和复数模的概念列方程求解.

【详解】设2=。+历，则z+1=(a+1)+历，z+i=a+(Z?+l)i,

因为|z+l|=|z+i|=石，

（a+iy+b~=5fa=1fa=-2

所以＜2，=L，或1三

a2+（b+l）-=5历=1\b=-2

当。=/?=1时，忖=&；当a=/?=-2时，|z|=2女.

故选：C

3.为了备战学校举办的数学竞赛，某班推选小明、小红、小刚三位学生组成竞赛小组，并对他们三人前三

次月考的数学成绩（单位：分）进行分析，三次数学成绩如下表:

月份

学生

9月10月11月

小明135131133

小红132140136

小刚140130135

针对这三次月考的数学成绩，下列分析中正确的是（）

A.这个竞赛小组11月份月考数学成绩的平均分最低

B.小刚三次月考数学成绩的平均分最高

C.小明三次月考数学成绩的成绩最稳定

D.小红三次月考数学成绩的方差最大

【答案】C

【解析】

【分析】选项A,利用平均数的计算公式，直接计算3个月的平均分，即可判断出选项A的正误；选项

B,利用平均数的计算公式，直接计算3人的平均分，即可判断出选项B的正误；再利用方差的计算公

式，直接求出3人的方差，即可判断出CD的正误，从而求出结果.

135+132+140407

【详解】对于选项A,9月份月考数学成绩平均分为-------------

33

10月份月考数学成绩的平均分为131+1：。+130=401,

33

11月份月考数学成绩的平均分为133+1乎+135=故选项A错误；

33

对于选项B,三次月考数学成绩中，小明平均分-1-3-5-+--1-3-1--+-1--3-3=工399=133,

33

,,-八132+140+136408…

小红的平均分--------------=——=136,

33

.I-.I-r-rt-,/k140+130+135405.__叱…但〒=、口

小刚的平均分--------------------135,所以选项B专曰厌;

33

1Q

对于选项C,三次月考数学成绩中，小明的方差为§[(135-133)2+(131-133)2+(133-133)2]=1,

132

小红的方差为§[(132—136>+(140—136)2+(136-136)2]=y,

150

小刚的方差为§[(140-1359)2+(130-135)92+(135-135力9=可，所以小明最稳定，故选项c正确,

对于选项D,由选项C知，小刚的成绩波动性最大，方差最大，故选项D错误,

故选：C.

4.已知正数x,>满足2&+2y—盯=0,则当孙取得最小值时，x+2y=()

A.4+86B.2+4A/3C.3+68D.8+6也

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，利用基本不等式及取等号的条件，可得x=4,y=4也，即可求出结果.

【详解】由题意可得+y=平方得％了216小，

当且仅当瓜=>,即x=4,y=46时取得等号，

故孙取得最小值时，x+2y=4+8y/3.

故选：A.

5.已知直线y=x-l交曲线C:y2=4x于A,B两点(点A在点8的上方)，/为C的焦点，则

\AB\

\AF\-\BF\=('

A.2A/3B.272C.2D.72

【答案】D

【解析】

【分析】求出直线与抛物线交点的横坐标，利用抛物线定义求出|AE|,|BF|即可得解.

【详解】联立方程组,2”，消元得好―6x+l=0，

[y-=^x

设A（玉,3）,B（x2,y2）,解得石=3+2a,x,=3-242,

易知尸(1,0)过直线A3,根据抛物线的定义,

可得|A用=西+々=4+2夜，\BF\^々+々=4—2加,

\AB\\AF\+\BF\r-

所以--------------=--------------=72.

\AF\-\BF\\AF\-\BF\

故选：D.

6.记数列｛4｝的前〃项和为5“，设甲：｛%｝是公比不为1的等比数列；乙：存在一个非零常数心使

,是等比数列，则()

A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分不必要条件

C.甲是乙的必要不充分条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用等比数列前〃项和公式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】设数列的首项和公比分别为%,q(qwl),

n

a_1nCC

则$〃二%•「•，取”f，得口+1=/，显然数列｛义+1｝是等比数列;

q-lq—1tt

反之，取，此时数列｛存+为等比数列，而｛%｝不是等比数列,

=1,an=0,S〃+l=l,1｝

所以甲是乙的充分不必要条件.

故选：B

ABAB

7.在^ABC中，若sin—1~3cos—=2A/2,cos——i-3sin—=2,则cosC=（）

2222

187

AB.——C.一D.——

-1999

【答案】D

【解析】

【分析】根据平方关系、两角和的正弦公式、诱导公式及二倍角余弦公式可得结果.

【详解】将已知两式平方得,

2

sin^+6sm^cos^+9cos^=8,cos^+6cossin+9sin^=4,

22222222

.AB.BA

两式相加，得到1+6sm—cos——Fsin—cos—+9=12

222

因为0cA+8<兀=>0<〈工,£兀A+B

2222-―T~

A+B1C1

即sin=-=>cos—=

2323

痂「o2cl7

故cosC=2cos1=——.

29

故选：D.

8.在四棱锥尸―A3CD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA=PB=2PC=2PD,平面PCD，

平面A3CD,且该四棱锥的各个顶点均在球。的表面上，则球。的表面积为（）

A.1771B.1971C.2171D.23兀

【答案】C

【解析】

【分析】由面面垂直的性质得到3cl平面PCD,即可得到PCL5C,利用勾股定理求出尸3、PC,

再求出点P到底面A6CD的距离，依题意可得球心。在经过底面中心且与底面垂直的直线上，设。到底

面ABCD的距离为x,利用勾股定理求出x,即可得到外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可

得.

【详解】因为底面ABCD是边长为3的正方形，所以5CLCD,

又平面PCD,平面ABCD,平面PCD、平面ABCD=CD,BCu平面ABCD,

所以平面PC。，又PCu平面PC。，则PCL5C,

又BC=3,PB=2PC,PC2+BC2=BP2，解得尸5=2尸C=26（负值舍去），

所以PA=2PD=2j§"，

取。C的中点E,连接PE,则PEJLDC,

又平面PCD,平面ABCD,平面PCD、平面ABCD=CD,PEu平面PC。，

所以PE,平面ABCD,

显,即点P到底面ABCD的距离为也,

又PE=

22

p

A

O_____________

设ACc5r)=尸，则RC=gj32+32=孚，PF=[g=5

球心。在经过底面中心且与底面垂直的直线上，

设0到底面ABCD的距离为X(尤＞0),

由OC=OP可解得x=虫，故。。=变，即外接球的半径厂=。。=❷,

222

故球。的表面积为S-471r2=2171.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出PB、PC的长度，再确定外接球的球心在经过底面中心且

与底面垂直的直线上，利用勾股定理求出外接球的半径.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=gsin[2x+]]+gsin2x,则()

B.曲线y="尤)的对称轴为尤=2+W，kwZ

82

「兀兀]

C./⑴在上单调递增

_42_

D.Ax)x=—处取得极小值—J5

8

【答案】AB

【解析】

[分析]根据题意整理可得/(x)=母sin71二YZsin2x,结合正弦

2%+：对于A：整理可得了X--

2

jIjIjI

函数奇偶性分析判断；对于B：令2%+-=—+航运算求解即可；对于C：令/=2l+—，结合正弦函数

424

单调性分析判断；对于D：根据三角函数极值与最值之间的关系分析判断.

【详解】由题意可得：/(x)=；cos2x+gsin2x=fsin(2x+：

对于选项A：因为/'[x—5)=("sin(2x—：+

也故A正确;

"Tsin2%为奇函数,

JTJT解得X.+与，始Z,

对于选项B：令2%H—=—I-ku,keZ,

42

所以曲线>=/(尤)的对称轴为x=[+W，

%£Z,故B正确;

82

JT

对于选项C：令，=2%H—,

4

兀兀,_7t3兀5兀

因为工£则，=2%+:£-

“5444

B3兀57171兀

而"丁山，在上单调递减,所以函数知在上单调递减，故C错误;

对于选项D：因为/([£)=55也与=V2

2

了⑴在x=2处取得极小值一变，故D错误.

82

故选：AB.

10.设A,B,。均为随机事件，且0<P(A)<l,0<P(B)<l,0<P(C)<l,则下列结论中一定成

立的是()

A.P(B)=P(B\A)+P(B\A)

B.P£：?=P(5|A)P(C|A3)

「⑷

C若B=A,则尸(3|A)=粤冬

P(A)

D.若P(3|A)=P(3|Z),则P(AB)=P(A)P(5)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据事件之间的关系可得P(3)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A),结合概率的性质即可判断A；

利用条件概率公式化简P(A)尸(叫A)P(C|AB)即可判断B；根据事件的包含关系，结合条件概率公式即可

判断C；根据对立事件与条件概率公式即可判断D.

【详解】对于A,因为P(3)=P(5]A)P(A)+P(3|Z)P(Z),

且O<P(Z)<1,O<P(A)<1,所以尸(5)<P(3]A)+P(B|Z),故A错误；

n,八P(A5)P(ABC)

对于B,P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(A)-喂―-J=P(ABC),故B正确；

P(A)尸(AB)

对于C,当BgA时，P(AB)=P(B),此时尸故C正确；

一尸(A)

—P(AB)P(AB)

对于D,因为P(5|A)=P(B|X),由条件概率公式可得=

P(A)P(A)

即P(AB)[1-P(A)]=P(A)P(AB)=P(A)[P(B)-P(AB)],

所以P(AB)=P(A)P(B),故D正确.

故选：BCD.

—,x<0

er

]nx

11.已知函数｛—,0<x<4,则下列说法正确的是()

27(x-4),x>4

A.函数/(x)在(4左,4左+e)(%wN*)上单调递增

B.函数/(x)在(4左+e,4左+4)(左wN*)上单调递减

C.若方程/(x)=a(x<D有两个实数根A，/，则

D.当方程/(%)=属(0<x<8)的实数根最多时，方的最小值为国2

8

【答案】ABD

【解析】

【分析】先利用导数分析函数在(0,4］上的单调性,再结合函数的已知性质，分析函数在(4左,4左+4］,左eN*

的单调性，可判断AB的真假；对C：分石<%和%>%两种情况讨论，可判断C的真假；借助函数单调

性的结论，分析方程/(%)=属(0<%<8)解的个数，判断D的真假.

【详解】当xe(0,4］时，/(%)=1/(%+4),

即/(x+4)=2/(x),故/(％+4)=2/8)，

又当xe(0,4］时，((乃=匕/，

x

由r(x+4)=0得2r0)=0,解得x=e,

故/⑺在(0,e)上单调递增，在(e,4］上单调递减.

故/⑺，％«4,8］在(4,4+6)上单调递增，在(4+e,8］上单调递减，

同理得Ax)在(4左,4左+e)(左eN*)上单调递增，在(4左+e,4k+4乂丘N*)上单调递减，故A,B正确;

若方程/(x)=a(x<D有两个实数根与，X?,由图象可知：

力|。工72］-

XInV

则当％<0时为=。，当xe(0,l)时，—=«,

ex

不妨设占<0<々<1,则号=电二a=R3=a,

12

一ex2e

又(2］=上三，当％<0时，上三〉0恒成立.

UA,Jere”

所以函数丁=之在(—8,0)上单调递增，则々=d，2=号=。，

ex2e

x1

若玉〉Z，则」}=一，故C错误；

x2a

由/(%)=所知》=0时有1个根,

由函数的单调性，做函数在［0,8］上的草图如下:

若直线y=乐与y=/(x)(0(尤<4)的图象有两个交点,

则4人2/(4)=吧，即62里2,又/⑻=2/(4),

48

则当力=电2时,直线y=云过点(4,/(4))和点(8,/(8)),

8

此时直线丁=区与y=/(x)(0vx«8)有4个交点，即方程/(幻=区有4个根，根的个数最多.所以方程

/(%)=乐在［0,8］的根就有5个.

〃要是再小一点，方程/(%)=所在［0,8］根就只有3个.

故b的最小值为又一，故D正确.

8

故选：ABD

【点睛】难点点睛：该题当xe(O,4］时，函数的解析式是知道的，所以函数的单调性也好分析，但当

xe(4上必+4］时，函数解析式不明确，分析函数的单调性就有点困难.此时可利用=2/(%—4)n

/'(x)=2/'(x-4),所以函数在(必，必+4］和在(0,4］的单调性有一致性，从而分析函数在

(4左,4左+4］的单调性.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知向量a=(—1,、行)，B=(加,2石)，若(a+20)，a,则实数.

【答案】8

【解析】

【分析】利用向量垂直可得数量积为零，结合坐标运算可得答案.

【详解】由题意知(a+2b)-<7=G~+2a4b—0-

因为42=1+3=4,所以—2，即—根+2如*岔=—2,解得ni=8.

故答案为:8

91

13.若二项式(l-x)9的展开式中/的系数为为，则X—=.

y%

【答案】-1

【解析】

【分析】利用二项式定理得到/的系数，利用组合数的性质探索小的系数的关系，可得答案.

【详解】由二项式定理：(1-%)9=C°+C*(-%)+C；(-%)2++C；(—4

所以a*=(—1)'C，所以为+a9d=0，

11c

即一H-----=°,其中。9=-1，

aka9-k

所以2—=一+—+

攵=1"8J

故答案为：-1.

14.己知双曲线。：二1(。〉0)的左焦点为耳，。为坐标原点，D(a,^3a\,线段。。的垂直平

a3a',

2

分线与。交于AB两点，且与。的一条渐近线交于第二象限的点若|。£|二§,贝LAB片的周长为

【答案】G+l##l+百

【解析】

兀]

【分析】根据题意分析可知N。。g=§，进而可得。=3,结合双曲线的定义分析可知.延耳的周长为

2\AF2\,联立方程求点A的纵坐标，结合几何性质分析求解.

【详解】记C的右焦点为工，

由题意可知：双曲线C的一条渐近线为>=氐，可知点。在C的渐近线上，

且c=A/片+3a2-2a,即=闾，

且tan/DO&=5^DOF2e(0,7i),则

可知。。约和一。OE均为等边三角形,

贝“QE|=|0D|=2a=Z,即。=,，

33

所以双曲线C的方程为9必—3V=1.

不妨设A在3上方，

则.ABFX的周长为|M|+忸周+|AB|=|AFj—2a+忸闾+2a+|AB|=2|隹|,

又因为AE,的直线方程为X=-Gy+鼻，与双曲线方程联立得d,3,

3〔9代-3丁=1

整理得8y2—4gy+l=0,解得》人二叶4，

且NA*哈可知皿=2%=今L所以-A町的周长为6+1.

故答案为：、为+1.

【点睛】方法点睛：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，结合起来，结合直线与

双曲线的交点分析求解.

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记_A5c的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知点尸为线段AC上的一点，且

2

AF=2CF,BF=2,asmA+csmC-bsinB=—asinC.

3

(1)求COSNAJBC的值；

(2)求一ABC面积的最大值.

【答案】(1)-

3

⑵述

4

【解析】

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理即可求得.

（2）由余弦定理、向量运算、三角形面积公式和基本不等式即可求出一A5C面积的最大值.

【小问1详解】

cibc2

因为-----=-----=-----=2R,asmA+csmC-bsmB=—asinC,

sinAsinBsinC3

则+=,化简得+。2=_ac,

2R2R2R32R3

由余弦定理得，cosZABC="+c，—6=_1.

；一彳

lac7lac3

【小问2详解】

在一ABC中，cosZABC=,ZABCG（0,7i）,

则sinZABC=71-cos2ZA5C=，

22/\12

由AF=2CF得，BF=BA+AF=BA+-AC=BA+-（BC-BA]=-BA+-BC,

33、>33

即_B尸=__BAH—BC,所以=f—JBA+--=—c2+—+2x—x—cicx—=4.

33^33J99333

14121124

由基本不等式，得一c9H—a?+2x—x—6zcx—=422x—x—etcH----etc,

993333327

即ac<",当且仅当c=2a,即西，°=亚时等号成立，

442

所以二ABC的面积S=」acsin/ABC<Lx0、述=迪，

22434

故当'=乎’"乎时’幺■面积的最大值为亨.

16.某老师在课堂测验上设置了五道相互独立的判断题，得分规则是：五道判断题中，全部判断正确得5

分，有一道判断错误得3分，有两道判断错误得1分，有三道及以上判断错误得。分.假定随机判断时，每

道题判断正确和判断错误的概率均为g.

（1）若考生甲所有题目都随机判断，求此考生得分的分布列；

（2）若考生乙能够正确判断其中两道题目，其余题目随机判断，求此考生得分的数学期望.

【答案】（1）分布列见解析

-7

【解析】

【分析】(1)先明确考生甲得分X可能的取值，再求出对应的概率，可得X的分布列.

(2)明确考生乙得分F的取值可能，求出对应的概率，利用期望的计算公式求期望.

【小问1详解】

设此考生得分为X,X为离散型随机变量，X的可能取值为0，1,3,5.

1

且：P(X=5)=

32

P(X=3)=C；x15

32

P(X=l)=Cf

p(X=0)=l----

1632322

尸(-[J0|

p(y=3)=C；xgxI

P(Y=5)=

33117

故此考生得分的数学期望E(y)=0+—xl+—x3+—x5=一

8888

17.如图，在五棱锥P—A5cDE中，/力，平面ABCDE,ABIICD,DE!IBC,AB=AE=e，

DE=2,5c=4,CD=2A/2.

（1）证明：CDLPE-,

（2）若点尸与直线CD上一点。的最小距离为3,求平面PBE与平面PC。夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）延长交OE的延长线于点尸，根据平行四边形的判定结合平面几何关系可得

再根据勾股定理结合线面垂直的判定与性质证明即可；

（2）当取最小值时，根据线面垂直的判定可得CD,平面PAQ,以A为坐标原点，AB,AE,

"所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，再分别求解平面PBE与平面尸C。的法向量

求解即可.

【小问1详解】

证明：如图，延长B4交OE的延长线于点产，

因为A6〃CD,DE//BC,所以四边形为平行四边形.

因为BF=CD=26.，所以AB=AF=AE=也，

所以BELEF.

易知则石尸=。石=2,

故人石2+4尸2=石尸2,所以AELB/L

XAB//CD,所以CDLAE.

又R4J_平面ABCDE,CDu平面ABCDE,所以B4LCD.

又上〜AE=A,PA,AEu平面A4E，

所以CD,平面Q4E，又PEu平面Q4E，所以CDLPE.

【小问2详解】

当PQ取最小值时，PQ±CD,由(1)知B4LCD,

因为PAPQ=P,PA,PQu平面PAQ,所以CD,平面PAQ.

又AQu平面PAQ,所以CDJ_AQ,从而A,E,。三点共线，即线段AE,CD的延长线交于点。.

连接BD,PQ.

由(1)知A,E分别是BF，。歹的中点，所以BD〃AE,所以皮>1A3.

又ABIIDQ,所以四边形A3。。是矩形，

所以AQ=3£>=《BC?-CLP=2近，又尸。?=PA2+AQ2=9，故八4=1.

以A为坐标原点，AB,AE,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),尸(0,0,1),3(后,0,0),£(0,72,0),C(3V2,272,0),£>(0,20,0),

所以8P=(—0,0,1),BE=(-AV2,0),DP=(-72,-272,1),DC=(20,0,0).

设平面PBE的法向量为m=(x,y,z),

m.BP=0,—yf2x+z=0,

则即＜

m•BE=0,+yf2y-0.

令x=l,得y=l,Z=V2,则平面PM的一个法向量为根=(1』,拒).

设平面PCD的法向量为n=(Y,/,/),

n-DP=0,-y/2x,-2y/2y'+z'=0,

则即《

nDC=0,20=0.

令y'=l,得x'=0，z-2桓,则平面PC。的一个法向量为"=(0,1,2四).

设平面PBE与平面PCD的夹角为0,

m-nI55

贝I]cos6)=|cos(m,n)|=

|m||7i|2x36

故平面PBE与平面PCD夹角的余弦值为1.

6

18.已知椭圆C：/%?+y2=的长轴为4,直线/与圆O:x2+V=i相切于点p,与。相交于

4（孙yj,B（X2,%）两点，且%>0，4>0,%>%•

(1)记C的离心率为e,证明：|AB|=e(x+/);

(2)若)轴右侧的点。在。上，且PQ〃x轴，QM,QN是圆。的两条切线，切点分别为N(M

I明

在N上方)，求的值.

\AM\+\BN\

【答案】(1)证明见解析

(2)73

【解析】

【分析】(1)先求得椭圆方程以及椭圆的离心率，设出直线A5的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系

数关系，由此证得结论成立.

(2)先求得直线肱V的方程，判断出“A,B,M,N四点的纵坐标满足同一个一元二次方程”，进而

得到“AM〃aV〃x轴”，从而求得正确答案.

【小问1详解】

证明：因为椭圆C:a2x2+y2=l(a2<1)的长轴为4,

所以椭圆C的方程为三+9=1,e=昱.

4-2

设则片+y：=l,当%片0时，因为

所以直线A3的斜率为

直线AB的方程为丁=一2(%-%0)+%)，即/兀+%丁=1，

联立椭圆C与直线A3的方程得j4-

再根据石+y；=1整理得(1+3%：)/_8/x+4焉=0,

,,8x04x：

A>0,则%+%2=,02>X1X2="一

1-T3AQ1+JXQ

4x0j3-3x；=4鬲=电在+

(1+3宕)Jl-片1+3%2

xx

当>0=。时，i~i-1»易得|48|=0=(xj+x2)-

综上所述，|AB|=《-（X]+X2）=e（xi+.）.

【小问2详解】

由（1）中P（x0,%）,得点Q的纵坐标为为,横坐标xQ=2』-云=2%,故。（2%,y0）.

设“（x”,％），N（XNQN），

由（1）得圆。在M,N两点的切线方程分别为x“x+=1,xNx+yNy^l.

因为。在直线QM,QN上，所以25毛+=1，2即/+W％=1，

因此直线MN的方程是2x0x+y（）y=1.

x_+2_]

A,5两点坐标满足方程｛T+'V'整理得（1+3君卜2一2%y+i—4芯=0；

x（）x+%y=i,

冗？+丫2—]

M,N两点坐标满足方程《'，整理得（1+3片）y2—2%,+1_4君=0.

2x0x+y0y=\,

故A,B,M,N四点的纵坐标满足同一个一元二次方程，

又因为点A在点5上方，点M在点N上方，

故A,M两点