2024年新高考数学一轮复习-导数恒成立与有解问题（学生版）

专题18导数恒成立与有解问题

一、【知识梳理】

【方法技巧】

1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(D分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)恒成立0432f(x)max；

aS广(X)恒成立OaW广(x)min；

a^f{x)能成立=己2广(x)min；

aWF(X)能成立f{x)max.

2.根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题,此类问题关键是对

参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只

需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.

3.含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：

⑴必3X2^N,/*(Xl)>g(X2)=F(X)min>g(x)min.

⑵XfXlGM,弋X2WN,/(^1)>^(^2)min><g(^)max.

(3月矛1£忆3X2GN,_f(xi)>g(E)Q_f(x)max>g(x)min.

⑷三荀£忆YXzRN,f(^1)>g(X2)max>^(A)max.

4.在解决不等式恒(能)成立,求参数的取值范围这一类问题时,最常用的方法是分离参数法,

转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“也'型的代数式，就设法求其最值.“也'型

的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.

洛必达法则

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件

(1)lim_f(x)=O及limg(x)=0；

x--ax-*-a

⑵在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且H(x)W0；

一

(3)lim/〉那么lim:;=lim,}=A.

Lag(A)x-ag^X)x-ag(㈤

法则2若函数Ax)和g(x)满足下列条件

(1)lim/*(分=8及limg{x}=00.

x-axfa

⑵在点a的某去心邻域内，Ax)与g(x)可导且g，(x)N0；

/\f'(x)F”/f'(x)

(3)lim/)、=/，那么lim：/(［A)=lini

x-ag(A)x-a双切x-ag(切

二、【题型归类】

【题型一】分离参数法求参数范围

【典例1］已知函数广(x)=/+a^—x.

⑴当d=l时，讨论Ax)的单调性；

(2)当x20时，求a的取值范围.

【典例2］已知函数F(x)=l+lnx.

X

(1)若函数F(x)在区间(a,a+J上存在极值，求正实数a的取值范围；

(2)如果当时，不等式F(x)—七》。恒成立，求实数次的取值范围.

X十1

【典例3］已知函数f{x)=(才一2)/—?&^+乃才(@£1?).

(1)当a=0时，求曲线尸广(x)在点(0,F(0))处的切线方程;

(2)当x22时，_f(x)20恒成立，求己的取值范围.

【题型二】分类讨论法求参数范围

【典例1】已知函数/'(x)=lnx—ax,aGR.

(1)求函数Ax)的单调区间；

⑵若不等式/'(*)+@<0在xG(l,+8)上恒成立，求a的取值范围.

【典例2】已知函数/1(x)=(x+a—l)e*,g{x)+ax,其中a为常数.

⑴当a=2时，求函数f(x)在点(0,丹0))处的切线方程；

(2)若对任意的xd[0,+8),不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【典例3】已知函数f(x)=ae*T—lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线尸/"(x)在点(1,/1(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若/求a的取值范围.

【题型三】等价转化求参数范围

【典例1】已知函数=e，T—ax+lnx(adR).

⑴若函数/"(x)在x=l处的切线与直线3x~y=0平行，求a的值；

(2)若不等式/1(x)\lnx—a+1对一切xG[1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【典例2】已知函数『(x)=—a_/+lnx(aGR).

⑴讨论f(x)的单调性；

⑵若存在XG(1,+8),fg-a,求a的取值范围.

【典例3】已知函数f(x)—(a+2)x+alnx.

⑴当a〉2时，求函数F(x)的单调区间；

(2)若存在xG[l,+8),使f(x)〈a成立，求实数a的取值范围.

【题型四】双变量的恒(能)成立问题

【典例1】设/'(x)=：+xlnx,g{x)=x—x—Z.

(1)如果存在荀，x2e[0,2],使得g(xj-g(就》〃成立，求满足上述条件的最大整数助

⑵如果对于任意的s,te1,2,都有f(s)》g(t)成立，求实数a的取值范围.

【典例2】已知函数/U)=公二曰(xdR),a为正实数.

e

⑴求函数广(x)的单调区间；

(2)若\/荀，^2e[0,4],不等式|F(M—广(加|<1恒成立，求实数a的取值范围.

【典例3】设f{x)=xex,g(x)=^x+x.

⑴令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值；

⑵若任意xi,^2—L+8),且矛1>如有力"(xi)—f(x2)]>g(xj—gG)恒成立，求实

数力的取值范围.

【题型五】洛必达法则

【典例1】已知函数f(x)=(x+1)ln(x+l).若对任意x〉0都有F(x)>ax成立，求实数a

的取值范围.

【典例2】已知函数f(x)=x(e“-1)-ax(aeR).

(1)若f(x)在x=-1处有极值，求a的值.

(2)当x>0时，f(x)》O,求实数a的取值范围.

三、【培优训练】

【训练一】已知x=*3为函数f(x)=x"lnx的极值点.

(1)求a的值;

(2)设函数g(x)二，若对VxP(O'+8),皿GR,使得广⑸-久加川，求发的取值范

围.

【训练二】已知函数f(x)=e"一工

(1)若曲线y=f(x)在点(0,H0))处切线的斜率为1,求『(x)的单调区间;

(2)若不等式/1(x)》e"lnx—ax"对xG(0,e］恒成立，求a的取值范围.

1——O

【训练三】设函数F(x)=—LV+ax—lnx(a£R).

⑴当a=l时，求函数Ax)的极值；

(2)若对任意(4,5)及任意为，［1,2］,恒有‘/力+ln2>|f(若—f(xj|成立,求实

数R的取值范围.

1p

【训练四】设函数F(x)=-一-7,g(x)=a(x?—D—Inx(aGR,e为自然对数的底数).

xe

(1)证明:当x〉l时,广(入)>0；

⑵讨论g(x)的单调性；

(3)若不等式_f(x)〈g(x)对(1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【训练五】f{x)=xe",g(x)=^x+x.

(1)令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值；

⑵若任意X1,苞£[-1,+8),且荀>如有力"(X1)—F(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求实

数力的取值范围.

【训练六】F(x)=xe",g(x)+x.

⑴令b(x)=f(x)+g(x),求F{x}的最小值；

(2)若任意xi,—+°°),且为〉xz,有血f(xi)—f(x2)]>g(xi)一雇范)恒成立，求实

数0的取值范围.

四、【强化测试】

【解答题】

1,已知函数/1(x)=(x+l)ln(x+l).若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值

范围.

2.设函数_f(x)xlnx—(2a—l)x+a—l(a£R).若对任意的[1,+°°),F(x)20

恒成立，求实数a的取值范围.

3.已知aER,f(x)=alnx+x—4x,g(x)=(a—2)x,若存在照£e，使得f(x。Wg(Ab)

成立，求实数a的取值范围.

4.已知函数广(x)=万一E+l)x+血nx+如f'(x)为函数f(x)的导函数.

⑴讨论Ax)的单调性;

(2)若xf(x)—f(x)》O恒成立，求加的取值范围.

5.已知函数/'(x)=x(底"一1).

(1)当0=1时，求函数f(x)的图象在(1,f(l))处的切线方程;

(2)当x〉0时，Z(jr)^x-2x,求实数勿的取值范围.

6.设函数/1(x)=x°—(a+2)x+alnx(aeR).

(1)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)21恒成立，求a的取值范围.

7.设函数_f(x)=lnx+-(a为常数).

x

(1)讨论函数/'(x)的单调性；

(2)不等式f(x)21在xd(0,1］上恒成立，求实数a的取值范围.

8.已知函数F(x)=xlnx(x〉0).

(1)求函数『(x)的极值;

(2)若存在xe(0,+8),使得f(x)W・成立，求实数0的最小值.

2

9.已知函数_f(x)=£+(a+l)x—Inx,g{x)=x+x+2a+l.

⑴若F(x)在(1,+8)上单调递增，求实数a的取值范围；

⑵当x£[l,e]时，『(><g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

10.已知函数F(x)=lnx,g(x)=x—1.

(1)求函数y=f^的图象在x=l处的切线方程；

⑵若不等式Ax)Wag(x)对任意的x£(l,+8)均成立，求实数乃的取值范围.

Inx

11.已知函数广(x)=ax—e”(a£R),g(x)=--.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)3^e(0,+8),使不等式f(x)Wg(x)—e'成立，求a的取值范围.

12.设函数F(x)=lnx—ax(a〉O).

(1)判断/"(x)的单调性；

(2)当f(x)〈O在(0,+8)