2021-2022学年河北省武强中学高一上学期期中数学试题

20212022学年河北省武强中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先根据不等式的解法，以及基本不等式，分别化简两集合，再由并集和补集的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；即，所以；又，所以．故选：A.2．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当时，，即，故充分；当时，，即，解得或，故不必要，故选：A3．命题“，”的否定形式是（

）A．， B．，或C．，或 D．，或【答案】C【分析】根据特称命题的否定直接求解即可.【详解】命题“，”的否定形式是，或.故选：C.4．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】A.若，满足，而，故错误；B.若，满足，而，故错误；，满足，而，故错误；，由不等式的基本性质得，故正确.故选：D5．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依次判断每个函数的单调区间和奇偶性得到答案.【详解】在上单调递增，A错误；在上单调递增，B错误；是非奇非偶函数，C错误；是偶函数，且在上单调递减，D正确.故选：D.6．已知实数，且，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】构造，利用均值不等式即得解【详解】，当且仅当，即，时等号成立故选：B【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题7．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（

）A．5730 B．11460 C．17190 D．22920【答案】B【解析】根据由题意可知再经过2个半衰期可消耗到0.125克.【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B.【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.8．函数的图象如图，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据图象可得的定义域及函数过点，可求出的值，进而得出的解析式，然后解绝对值不等式即可.【详解】由图可知，的定义域的定义域为，且经过点，而，解得，所以.所以，解得.所以，所以不等式，得，即，等价于，解得，综上，所求不等式的解集为.故选：D.9．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】D【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故①错误；而，故，故②正确；由“类”的定义可得，任意，设除以4的余数为，则，故，所以，故，故③正确若整数a，b属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为的倍数，故a，b除以4的余数相同，故a，b属于同一“类”，故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确；故选:二、多选题10．下列函数中，满足的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】根据定义，依次验证各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，故满足；对于B选项，，故满足；对于C选项，，故满足；对于D选项，，故不满足.综上，ABC选项满足.故选：ABC.【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，是基础题.11．下列幂函数中满足条件的函数是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.【详解】由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线.对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；对于D，在第一象限，函数的图象是一条凹形曲线，故当时，，故选：BD.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.12．若函数，分别为上的奇函数，偶函数，且满足，则有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】结合函数奇偶性的性质，可得，联立方程组可求出，的解析式，求出，根据的单调性可得结果.【详解】∵函数，分别为上的奇函数、偶函数，则，，又∵，…①∴，∴，…②由①②得，，故A正确，B错误；∴，且为增函数，∴，故D正确，故选：AD.【点睛】本题考查的知识点函数奇偶性的性质，其中根据已知条件构造出第二个方程，是解答本题的关键，属于中档题.三、填空题13．已知函数，若，则______．【答案】【解析】利用解析式可求得和，由此构造方程求得结果.【详解】，，，解得：.故答案为：.14．函数的最大值为_________．【答案】【分析】设，结合求出的取值范围，进而求出的取值范围，即可求出函数的最大值.【详解】设，因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值，即，所以，即的取值范围是，所以函数的最大值为，故答案为：.15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．年月日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额综合所得收入额基本减除费用专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（）速算扣除数李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，，，，专项附加扣除是元，依法确定其他扣除是元，则他全年应缴纳的综合所得个税是_________元．【答案】【分析】先根据题意求出专项扣除总额，再根据应纳税所得额公式求出应纳税所得额，再根据个税税额公式求出个税税额即可.【详解】由题意得，专项扣除总额为：元，应纳税所得额为：元，个税税额为：元，故答案为：.16．已知，，当最小时，恒成立，则的取值集合是___________.【答案】或【分析】由，结合基本不等式可得最小时为1，进而得，利用二次函数得最大值，进而得，从而得解.【详解】可化为当且仅当时，等号成立，此时，，即.因为，所以即或.故答案为：或.四、解答题17．在①一次函数的图象过，两点，②关于的不等式的解集为，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知___________，求关于的不等式的解集.【答案】选择见解析；解集为.【解析】先根据所选择的条件求出的值，然后代入并求解二次不等式即可得到答案.【详解】解：若选①，由题得解得将代入所求不等式整理得：，解得或，故原不等式的解集为：.若选②，因为不等式的解集为，所以解得将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为：.若选③，若，解得，不符合条件；若，解得，则代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为：.【点睛】本题主要考查根据集合的运算及包含关系求参数的值，考查一元二次不等式的解法，较简单.解答时，根据所选择的条件确定出参数的取值是解答的关键.18．定义在R上的函数(a∈R)．(1)若为偶函数且>，求实数m的取值范围；(2)若不是偶函数且在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围．【答案】(1)(0，+)；(2)．【分析】(1)利用偶函数定义求得a，再讨论函数f(x)的单调性，并利用它求解；(2)利用二次函数不单调的充要条件，结合不是偶函数的条件解得.【详解】(1)因为为偶函数，所以=恒成立，即恒成立，所以，所以=，其图像是开口向上的抛物线且关于y轴对称，因为>，所以，所以m>0．所以实数m的取值范围是(0，+)．(2)依题意，所以或，所以实数a的取值范围是．【点睛】解含有抽象法则“f”的偶函数不等式，利用偶函数性质变形不等式，再利用单调性去法则求解.19．设函数．(1)判断函数在区间和上的单调性，并证明；(2)若，求函数在上的最大值；(3)若，且，使得成立，求实数t的取值范围．【答案】(1)在区间单调递减，在上单调递增，证明见解析；(2)(3)或【分析】（1）按照单调性的定义判断证明即可；（2）先利用单调性，再结合端点值比较求出最大值；（3）由条件得，先求出，再解不等式即可.【详解】(1)函数在区间单调递减，在上单调递增，证明如下：设，，当时，，，当时，，，故在区间单调递减，在上单调递增.(2)若，由（1）知，函数在区间单调递减，在上单调递增，又，故函数在上的最大值为.(3)，使得成立，即，由（2）知，故，解得或.20．已知，，关于的方程的实数根都大于.（1）若是真命题，求的取值范围：（2）若和一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）对于方程因式分解为，可求得，，可得，求解即可；（2）根据恒成立问题先参变分离可得，求得的范围，再由和一真一假即可得解.【详解】（1）由，即，得，.若是真命题，则解得.故的取值范围是.（2）若是真命题，则，即.因为，所以，所以.因为和一真一假，所以或.解得或，故的取值范围为或.21．“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度（单位：米）与生长年限（单位：年）满足关系，树木栽种时的高度为米；1年后，树木的高度达到米.（1）求的解析式；（2）问从种植起，第几年树木生长最快？【答案】（1）；（2）第3年与第4年.【解析】（1）由已知得，即，解方程即可求的值，即可求解.（2）树木第年的增长量为：整理之后利用基本不等式求最大值即可.【详解】（1）由已知得，即，所以，解得，，所以，.（2）令，.问题化为，当时，求函数的最大值.而.当且仅当，即，上式取等号，但，，故种植之日起，第3年与第4年树木生长最快.【点睛】关键点点睛：求第几年树木生长最快关键是构造函数表示第年的增长量的增长量，经过变形可以利用基本不等式求最值，即可求出取得最值时的值，本题也可以采用换元法令，则通分后分子分母同时除以，再利用基本不等式求最值.22．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．（1）求函数图象的对称中心；（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.【解析】（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，然后利用得出与，代入上式求解；（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．即，整理得，于是，解得．所以的对称中心为；（2）函数在上为增函数；（3）由已知，值域为值域的子集．由（2）知在上单增，所以的值域为．于是原问题转化为在上的值域．①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称