备考2024年新高考数学一轮复习-解析几何

解析几何

一、单选题

1.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设f为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点8（3,0）,若|AF|=W刊，

则园=（）

A.2B.2A/2C.3D.3在

2.（2021年全国高考乙卷数学（文）试卷）设8是椭圆C：W+V=1的上顶点，点P在C上，则1PBi的最大值为

（）

5广广

A.-B.y/6C.v5D.2

3.（2021年全国高考甲卷数学（理）试卷）已知不鸟是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且

/百尸6=60。,|「耳|=3|尸闾，则C的离心率为（）

A.也B.叵C.币D.V13

22

22

4.（2021年全国高考甲卷数学（文）试卷）点（3,0）到双曲线亮-5=1的一条渐近线的距离为（）

、9「8一6一4

A.—B.—C.—D.一

5555

5.（2021年全国新高考n卷数学试卷）抛物线y2=2px（p〉0）的焦点到直线y=x+l的距离为拒，则〃=（）

A.1B.2C.272D.4

2

尤2v1

6.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆C：T+2=1（〃＞人＞0）的离心率为彳，4,4分别为。的左、

ab3

右顶点，8为C的上顶点.若阴.％=-1,则C的方程为（）

2

A.—+^=1B.—+^=1C.—+^=1D.—+y=l

181698322

22

22

7.（2023年新课标全国I卷数学真题）设椭圆Cl:^+y=l（a＞l）,C2:—+y=l的离心率分别为q,e?.若e产出e、,

a4

则〃二（）

A.曹B.41C.V3D.76

8.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设片，鸟为椭圆C:[+y2=i的两个焦点，点尸在C上，若班;・1=€）,

则附H*=（）

A.1B.2C.4D.5

9.（2023年新课标全国H卷数学真题）已知椭圆C:二+丁=1的左、右焦点分别为《，F2,直线y=x+〃?与C交

3

于A,5两点，若△耳A3面积是△6AB面积的2倍，贝”加=（）.

A.2B.克C.一克D.二

3333

10.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知双曲线£-4=1（〃>0力>0）的离心率为百，其中一条渐近线与圆

ab

（x-2）2+（y-3）2=l交于A,B两点，贝||AB|=（）

A.-B.避C.也D.迪

5555

22

11.（2021年全国新高考I卷数学试卷）已知耳，F?是椭圆C：5+》=1的两个焦点，点M在C上，则|陛「悭居|

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

22

12.（2021年全国高考乙卷数学（理）试卷）设3是椭圆C：3+[=l（a>b>0）的上顶点，若C上的任意一点尸都

ab

满足|抬区26,则C的离心率的取值范围是（）

A.性』]B.即U]。，用

D.

13.（2023年新课标全国I卷数学真题）过点（0,-2）与圆V+V一4%_i=o相切的两条直线的夹角为a，贝|sina=（）

A.1B.姮C.巫D.逅

444

2

14.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆C:5+方=1（。>6>0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关

a

于y轴对称.若直线AP，A。的斜率之积为:，则C的离心率为（）

A-TB-T7[

15.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）己知椭圆=1,为两个焦点，。为原点，尸为椭圆上一点,

3

COSAFXPF2=~,贝||PO|=（）

A.2B.叵c.3D.叵

5252

16.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设48为双曲线--1=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点

的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（TT）

17.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数％，满足无2+y2-4x-2y-4=0,则大-丁的最大值是（）

A.1+孚B.4C.1+372D.7

二、多选题

18.（2021年全国新高考H卷数学试卷）已知直线/:办+勿-/=0与圆C:V+1?=产，点A（a,b）,则下列说法正

确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

19.（2021年全国新高考I卷数学试卷）已知点P在圆（尤-5『+（y_5）2=16上，点4（4,0）、B（0,2）,则（）

A.点P到直线A3的距离小于10

B.点P到直线A3的距离大于2

C.当NP54最小时，「固=30

D.当NP8A最大时，|阳=3及

20.（2022年新高考全国I卷数学真题）已知。为坐标原点，点A（l,l）在抛物线C:无2=2Q5>0）上，过点8（0,-1）

的直线交C于P,。两点，则（）

A.C的准线为y=-LB.直线AB与C相切

C.\OP\-\O（^>|OA|2D.\BP\\BQ\>\BA\1

21.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为耳，鸟，以C的实轴为直径的圆记为。，过耳作

3

。的切线与。交于M,N两点，且cosNKNK=g,则C的离心率为（）

A.如B.-C.叵D.姮

2222

22.（2022年新高考全国II卷数学真题）已知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2px（〃>0）焦点尸的直线与C交于A,

B两点,其中A在第一象限，点”5,0）,若lAPHAMI,则（）

A.直线A3的斜率为2痣B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.AOAM+Z.OBM

23.（2023年新课标全国II卷数学真题）设。为坐标原点，直线y=-若（x-1）过抛物线C：V=2px（p>0）的焦点，

且与C交于M,N两点,/为C的准线，则（）.

Q

A.p=2B.\MN\^~

C.以MN为直径的圆与/相切D.OMN为等腰三角形

三、填空题

24.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点A（l,75）在抛物线C：尸=2px上，则A到C的准线的距离为.

25.（2021年全国新高考I卷数学试卷）已知0为坐标原点，抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为歹，尸为C上一

点，尸尸与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQLOP,若|FQ|=6,则C的准线方程为.

22

26.（2021年全国高考乙卷数学（文）试卷）双曲线土—工=1的右焦点到直线x+2y-8=。的距离为.

45

T2V2

27.（2021年全国高考甲卷数学（文）试卷）已知片,与为椭圆C：二+乙=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标

164

原点对称的两点，且归。|=|耳阊，则四边形小。8的面积为.

28.(2021年全国高考乙卷数学(理)试卷)已知双曲线C:《-y2=l(7〃>o)的一条渐近线为氐+W^y=(),则。

m

的焦距为.

22

29.(2021年全国新高考H卷数学试卷)若双曲线，-当=1的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程.

ab

30.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

31.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)若双曲线/-三=1(〃?>0)的渐近线与圆炉+/一分+3=0相切，则刃=

m

32.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)设点M在直线2x+y-l=。上，点(3,0)和(0,1)均在M±.,则〃的

方程为.

22

33.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)记双曲线C:，-2=1(。>0乃>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2尤

ab

与C无公共点”的e的一个值______________.

34.(2022年新高考全国H卷数学真题)设点4(-2,3),8(0,0,若直线关于>="对称的直线与圆

(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则。的取值范围是.

35.(2023年新课标全国II卷数学真题)已知直线/：*-⑺+1=0与C:(%-l)2+y2=4^A,8两点，写出满足

Q

“ABC面积为的机的一个值______.

36.(2021年全国新高考H卷数学试卷)已知函数/■(》)=产-[,网<0,赴>0，函数A')的图象在点AW，"%))和

点312，/(%))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于"，N两点，则卷^取值范围是.

22

37.(2022年新高考全国I卷数学真题)已知椭圆C:「+^=l(a>6>0),C的上顶点为A,两个焦点为月，招，

ab

离心率为g.过耳且垂直于AK的直线与C交于。，E两点，|。£|=6,则VADE的周长是.

38.(2022年新高考全国I卷数学真题)写出与圆/+>2=1和(x-3>+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程

22

39.(2022年新高考全国n卷数学真题)己知直线/与椭圆5+3=1在第一象限交于A,B两点、,/与无轴，y轴分

63

别交于N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2^,贝门的方程为.

40.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知双曲线口《-二=1(.>0,6>。)的左、右焦点分别为片,8•点A在C上，

ab

—.——2一

点3在y轴上，FiA±FiB,F2A=-jF2B,则C的离心率为.

四、解答题

41.(2021年全国高考乙卷数学(文)试卷)已知抛物线C:^=2p尤(p>0)的焦点尸到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足尸。=9。尸，求直线斜率的最大值.

22_

42.(2021年全国新高考II卷数学试卷)已知椭圆C的方程为二+1=l(a>b>0),右焦点为尸(形,0),且离心率

ab

为叁

3

(1)求椭圆。的方程；

(2)设N是椭圆。上的两点，直线"N与曲线12+y2=b2(x>0)相切,证明：M,N,厂三点共线的充要条件

是|MN|=6.

43.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)己知椭圆C:与+二=1(。>6>0)的离心率是更，点人(-2,0)在C上.

ab3

⑴求C的方程；

⑵过点(-2,3)的直线交C于尸,。两点，直线ARAQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段的中点为定点.

44.(2021年全国新高考I卷数学试卷)在平面直角坐标系xOy中，己知点居(-717,0),F2(^,0))|Mf]|-|W^|=2,

点M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线尤=g上，过T的两条直线分别交C于A、8两点和P,。两点，>|7X|-|7B|=|7F|.|T(2|,求直线

AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

45.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)己知直线》-2丁+1=0与抛物线C：V=2px(p>0)交于A,B两点，且

\AB\=4后.

⑴求〃；

(2)设C的焦点为尸，M,N为C上两点，MF-NF=0,求面积的最小值.

46.(2021年全国高考甲卷数学(文)试卷)抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,

。两点，且已知点M(2,0),且r/与/相切.

(1)求C,M的方程；

(2)设是C上的三个点，直线44,4A均与“相切.判断直线&A与：M的位置关系，并说明理由.

47.(2021年全国高考乙卷数学(理)试卷)已知抛物线C：f=2py(p>0)的焦点为尸，且歹与圆尤2+(y+4)2=l

上点的距离的最小值为4.

(1)求P；

(2)若点尸在M上，PAPB是C的两条切线，是切点，求，面积的最大值.

48.(2023年新课标全国I卷数学真题)在直角坐标系xQy中，点P到x轴的距离等于点?到点的距离，记动

点尸的轨迹为W.

⑴求W的方程;

(2)已知矩形A3CD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3K.

22

49.(2022年新高考全国I卷数学真题)已知点42,1)在双曲线C:=--'=1(。>1)上，直线/交C于尸，。两点,

(2d—1

直线AP,A。的斜率之和为0.

(1)求/的斜率;

(2)若tanNPAQ=20,求△PAQ的面积.

50.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过4(0,-2),《|,-1

两点.

(1)求E的方程;

⑵设过点尸。,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A8交于点7,点H满足=m.证

明：直线HN过定点.

51.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为R点。(p,0),过尸的直线交C

于M,N两点.当直线垂直于x轴时，|MV|=3.

⑴求C的方程；

(2)设直线地,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，

求直线的方程.

22

52.(2022年新高考全国H卷数学真题)已知双曲线C:=-与=1(°>0,"0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为

ab

y=±A/3X.

⑴求C的方程；

⑵过尸的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点伍,%)在C上，且石>龙过P且

斜率为一行的直线与过。且斜率为右的直线交于点胚从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在AB上；@PQ//AB.③|M4|=|MB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

53.(2023年新课标全国H卷数学真题)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2班,0),离心率为君.

(1)求C的方程；

⑵记C的左、右顶点分别为A-4,过点(T,0)的直线与C的左支交于N两点，M在第二象限，直线凡4与N4

交于点P.证明:点P在定直线上.

专题9.9解析几何

一、单选题

1.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)设f为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点3(3,0),若|/用=忸刊，

则|镭|=()

A.2B.2A/2C.3D.3在

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，—^\AF\=\BF\=2,

即点A到准线x=-l的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，4(1,2),

所以|A同=43-1)2+(0_2『=20.

故选：B

2.(2021年全国高考乙卷数学(文)试卷)设2是椭圆C:]+y2=l的上顶点，点尸在C上，则「邳的最大值为

()

A.-B.y/6C.y/5D.2

【答案】A

【分析】设点尸(X。，几)，由依题意可知，5(0,1),[+¥=1，再根据两点间的距离公式得到「砰，然后消元，即

可利用二次函数的性质求出最大值.

【详解】设点夕(演，儿)，因为3(。/)，三+犷=1，所以

=50_y；)+(%—l)2=-4y；_2%+6=-41%+；1+]，

而-14%41,所以当先=一；时，|P却的最大值为1

故选：A.

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即

可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴

的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，

而不是全体实数上求最值..

3.(2021年全国高考甲卷数学(理)试卷)已知与，工是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且

/甲线=60。,|「耳|=3|桃I，则C的离心率为（）

A.立B.巫C.币D.V13

22

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|正耳|.|尸耳|,结合余弦定理可得答案.

【详解】因为归耳|=3|尸阊,由双曲线的定义可得|尸耳卜|尸周=2|尸闾=2a,

所以|尸闾=a,1M=3a；

因为4户工=60。,由余弦定理可得4c?=9/+/一2x3a-a-cos60°，

整理可得4c2=7/,所以e2=t=Z,即6=走.

a242

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立名。间的等量关系是求解的关键.

22

4.（2021年全国高考甲卷数学（文）试卷）点（3,0）到双曲线2-3=1的一条渐近线的距离为（）

169

9864

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】A

【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

22

【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：土-匕=0,即3%±4y=0,

169

9+09

结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3x+4y=0的距离：d=-j===-.

故选：A.

5.（2021年全国新高考II卷数学试卷）抛物线）/=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离为0,贝1］。=（）

A.1B.2C.272D.4

【答案】B

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得〃的值.

【详解】抛物线的焦点坐标为oj,

K-o+1

其至直线一>+的是巨离：,2_____

UX1=0a=

7T+T

解得：P=2（p=-6舍去）.

故选：B.

尤22

6.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆c：3+2v=l（a>b>0）的离心率为1：，AM分别为C的左、

ab3

右顶点，8为C的上顶点.若刚•%=-1，则C的方程为（）

【答案】B

【分析】根据离心率及3=解得关于。2,/的等量关系式，即可得解.

【详解】解：因为离心率=L解得上=1，b2=^-a2,

a\a23a-99

A，4分别为C的左右顶点，则A（-a，0），4（a，。），

2为上顶点,所以8（0,6）.

所以刚=（一区—b）,BA,=（a,-b）,因为砌•%=-1

Q

所以将万2=1"代入，解得/=9万=8,

故椭圆的方程为:+1=1.

9o

故选：B.

22

7.（2023年新课标全国I卷数学真题）设椭圆C]:「+V=1（“>1）,C。：二+丫？=1的离心率分别为外勺.若&

a4

则〃二（）

A.子B.V2C.6D.76

【答案】A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由％=石6，得e；=3e：,因此上1=3义=1,而。>1,所以“=汉1.

4a3

故选：A

8.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设片,月为椭圆C:[+y2=i的两个焦点，点尸在C上，若明•1=（）,

则忙与H%|=（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△月耳玛的面积，即可解出；

方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出.

【详解】方法一：因为尸耳•尸区=0,所以/时8=90,

从而=〃tan45=1=?归/讣|「用，所以|「/讣|尸阊=2.

故选：B.

方法二：

因为P%尸4=0,所以N%K=90,由椭圆方程可知，c2=5-l=4nc=2,

所以归耳「+|尸仔=忸用『=42=16,又归耳|+忸囚=2°=26,平方得:

商|2+|尸球+2附归耳=16+2|尸制「玛|=20,所以忸耳卜|尸耳|=2.

故选：B.

9.（2023年新课标全国II卷数学真题）己知椭圆。：!+y=1的左、右焦点分别为《，B,直线'=*+"与C交

于A,2两点，若△£人?面积是面积的2倍，则机=（）.

A.2B.克C.一也D.二

3333

【答案】C

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用A＞0,求出机范围，再根据三角形面积比得到关于根的方程，解出

即可.

y=x+m

【详解】将直线,=%+根与椭圆联立If,消去丁可得4f+6mx+3加

—3=0,

——+y=1

13'

因为直线与椭圆相交于48点，则A=36M-4X4（3/-3）＞0,解得-2V根＜2,

设K到AB的距离4,写到距离d2,易知川-也,0）,6（&,0）,

则h/2+^；

V2V2

|-A/2+m|

if）+川=2,解得加=一变或_3&（舍去），

F2AB1*

sIv2+m|Iv2+m|3

五

故选：C.

22

10.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知双曲线,-a=1（。＞0,。＞0）的离心率为正，其中一条渐近线与圆

（%-2）2+（〉_3）2=1交于48两点，贝。|AB|=（）

【答案】D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由0=括，则;=日费=1+2=5,

aaa

b

解得9=2,

a

所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x,

则圆心（2,3）到渐近线的距离d=整：2-3|=且，

V？TT5

所以弦长|AB|=2介_/=27J=?.

故选：D

22

11.（2021年全国新高考I卷数学试卷）已知耳，Fz是椭圆C：誉+》=1的两个焦点，点M在C上，贝

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到|町|+阳用=2。=6,借助基本不等式阿胤.惘瑞归］网（四）即可得到答

案.

【详解】由题，"=9,62=4,则阐+版［勿=6,

所以|朋7讣|姐归［幽业园］=9（当且仅当I吗|=|M闾=3时，等号成立）.

I2,

故选：C.

【点睛】

22

12.（2021年全国高考乙卷数学（理）试卷）设B是椭圆C:=+二=l（a>b>0）的上顶点，若C上的任意一点P都

ab

满足|刊?区2），则C的离心率的取值范围是（）

A.［£1］B.即仁।闿D-H.

【答案】C

【分析】设户（如九），由8（0,6）,根据两点间的距离公式表示出\PB\,分类讨论求出归却的最大值，再构建齐次

不等式，解出即可.

【详解】设尸（如儿）,由8（0,6）,因为4+4=1-a2=b2+c2r所以

ab

22

|P3「二片+（%叫2=/“—条］+（%—+|?+«+/;,

因为一M—b,即时，lp|2=4b2,即\PB\=2b,符合题意，由〃之/可得/2cz,

当二CzIBImax।।mux

即0<e《g

2

当-£>-6,即廿<°2时，|PB|2=4+/+凡即与+/+/«4/，化简得，（c2-b2Y<0,显然该不等式不

c21lmaxc2c2'）

成立.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是如何求出归目的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单

调性从而确定最值.

13.（2023年新课标全国1卷数学真题）过点（0,-2）与圆尤2+尸-以-1=0相切的两条直线的夹角为&,则a11。=（）

A.1B.姮C.叵D.叵

444

【答案】B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余

弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得上2+求+1=0,利用韦达定理结合夹角公式运算

求解.

【详解】方法一：因为扉+。-4=1=0,BP（X-2）2+/=5,可得圆心C（2,0）,半径『=

过点P（0,-2）作圆C的切线，切点为4,3,

因为|PC|=,22+（-2）2=2应,贝"尸川=J|PCf一产=6,

可得sinZAPC=^=哈cos-C=金邛,

则sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x叵

cosNAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即/APB为钝角,

所以sina=sin（兀-/APB）=sinZAPS=—

法二：圆尤2+/一以-1=0的圆心C（2,0）,半径厂=君,

过点尸（0,-2）作圆C的切线，切点为A,3,连接A3,

可得1Pq=百十（-2）2=20，贝!11R4|=IEB|=y/\PC\2-r=后，

因为1PAi2+\PBf-2|PA|-\PB\COSZAPB=|C4|2+|CB|2-2|C4|-|CB|cosZACB

且NACB=7i-NAPB,则3+3-6COSZAPB=5+5-10COS（K-ZAPB）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPS,解得cos/APB=--<0,

4

即ZAPB为钝角,贝!Jcosa=cos（n-ZAPS）=-cosZAPB=,

且a为锐角，所以sina=Jl-cos2a=；

4

方法三：圆干+…一二。的圆心C（2,0）,半径一石，

若切线斜率不存在，则切线方程为>=。，则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为'=履-2,即履-y-2=0,

则।厂~~&,整理得K+8%+l=0,且A=64—4=6。>0

“2+1

设两切线斜率分别为左，占，则左+幺=-8,k1k广1,

所以tan（z=F；^=而，即包吧=厉，可得cosa=?得,

1+匕左，cosa415

[T|||.22•2sinct1

贝!Jsina+cosa=sina-\---------=1,

15

且则sin<z>0,解得sine=乎.

故选：B.

22

14.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆C:=+2=l（a>6>0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关

ab

于y轴对称.若直线AP,4。的斜率之积为:，则C的离心率为（）

A.在B.变C.1D.-

2223

【答案】A

2-122

【分析】设则。（-和乂），根据斜率公式结合题意可得？2=7,再根据马+冬=1，将K用巧表

-%]+a4ab

示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】［方法一］:设而不求

设P（M，M），则。（-%，%）

贝岫如此。［得：加（2=17年城=1

-x^+a14

22叩2f2)

吟+方=1，得城

所以"1，即Q=L

——2~—=T/

一玉+444

所以椭圆C的离心率e，＞「M=@,

故选A.

aVa2

［方法二］:第三定义

设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知：kPB=-kAQ

k

故AP,kAQ=kpA-~kAQ=--,

由椭圆第三定义得：kPA-kAQ=-^

a

故

a24

所以椭圆C的离心率可=厂=争故选A

22

15.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）己知椭圆土+乙=1,用工为两个焦点，。为原点，尸为椭圆上一点,

96

3

cosZF.PF^-,贝力尸0=（）

A.-B.叵C.-D.运

5252

【答案】B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PK鸟的面积，即可得到点P的坐标，从而得出10Pl的值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出|P用|P用尸图2+|P用2,再结合中线的向量公式以及数量积即可求出;

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出|P片「+|P用2,即可根据中线定理求出.

【详解】方法一：设瑞=2，,0<d<］,所以S咫&=Itan,丁"=Htan0,

cos2sin201-tan203々刀乙曰八1

由cosZFPF=cos26=------------=--------=—,角星得：tan6=_,

X2cos2sin21+tan2^522,

22222

由椭圆方程可知,a=9,b=6,c=a-b=3f

所以，=