24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时） 教学设计

24.2.2直线和圆的位置关系（第2课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用在直线和圆的位置关系的研究基础上，本节课聚焦直线与圆相切这种特殊位置关系．遵循几何问题的一般研究思路，从逆命题的角度出发，对直线与圆相切关系进行研究．研究分为判定和性质，圆的切线的研究为后续切线长以及三角形内切圆的研究提供可能．概念解析本节课主要研究切线的判定和性质：切线的判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．这条定理实质上就是“圆心到直线的距离等于半径时，直线和相切”．另外，切线还有的三种判定方法（①经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；②圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切；③和圆只有一个公共点的的直线是圆的切线）进行了总结．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．这条性质还有两条等价性质，同时，同样切线有五条性质（①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；③经过切点垂直于切线的直线必过圆心；④圆心到切线的距离等于圆的半径；⑤切线和圆只有一个公共点．）思想方法切线的判定定理的实质就是“圆心到直线的距离等于半径时，直线和相切”，体现转化思想以及数形结合的思想．知识类型圆的切线的判定和性质是关于原理与规则的知识．教学重点本节课的教学重点：切线的判定和性质．教学目标解析教学目标：1．能说出切线判断定理必须满足两个条件“经过半径外端”“垂直于这条半径”．体会判定定理与“圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切”之间的关系．2．能用适当的方法判定一条直线是圆的切线．3．会用三角尺过圆上一点画圆的切线．4．能利用切线的性质解决问题．目标解析：达成目标1，2和3的标志是：通过对直线与圆的相切的位置关系：“圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切”的探究，发现切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，清楚判定定理是由位置关系直接得到的，进行了改写而已；能根据题目信息选择恰当的方法论证一条直线是圆的切线；能以判定定理为依据，用三角尺过圆上一点画圆的切线．达成目标4的标志是：能根据题目信息，正确利用圆的切线的性质解决问题．教学问题诊断分析具备的基础通过上节课对直线与圆的位置关系的研究，已经知道切线的两种判定方法：圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切；和圆只有一个公共点的的直线是圆的切线；以及已知切线的性质：切线和圆只有一个公共点．会用直线与圆的位置关系判断出圆心与直线的距离（d）与半径（r）的大小（即利用位置关系判断数量关系），反之利用圆心与直线的距离（d）与半径（r）的大小判断出直线与圆的位置关系（即利用数量关系判断位置关系）．与本课目标的差距分析通过对直线与圆的相切的位置关系：“圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切”的探究，发现切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；能利用性质与判定的互逆关系，发现切线的性质定理．能利用判定定理和性质定理，选择适合的方法解决问题．存在的问题：1.通过对直线与圆的相切的位置关系：“圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切”的探究，发现切线的判定定理的过程对部分学生而言会存在困难．2.利用性质与判定的互逆关系，发现切线的性质定理的过程对一部分学生而言存在理解上的困难．应对策略：针对问题1，教师需要引导学生利用图形直观，积累足够的体验和认知，归纳．针对问题2，教师需要分解步骤，先说出逆命题，再去研究逆命题是真命题，从而得到定理，突破难点．教学难点本节课的教学难点：切线的判定和性质定理的发现过程．教学支持条件分析直线与圆相切是不可能通过看图形而得出结论的．所以需要通过数量关系来判定，要借助几何画板等动态几何软件，让学生通过亲身体验，感受“形缺数时难入微”，通过动态演示，让学生感受到量化是研究的重要方法．教学过程设计课前检测1.已知⊙O的面积为9π，若点O到直线l的距离为π，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定2.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）A．d=3B．d≤3C．d＜3D．d＞3设计意图：这两个课前检测题，主要检查学生对于直线与圆的位置关系的判定掌握的情况．如果基本上都能完成这两个问题，则可直接进入新课教学，否则需要进行回顾和复习．探究学习一教学目标1：能说出切线判断定理必须满足两个条件“经过半径外端”“垂直于这条半径”．体会判定定理与“圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切”之间的关系．教学目标2：能用适当的方法判定一条直线是圆的切线．【教学1】引入：上节课研究了直线和圆的位置关系，思考以下问题：直线和圆的位置关系有几种？如何刻画？直线和圆的位置关系的性质和判定方法分别是什么？有三种位置关系：直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d>r．“⟹”由位置关系确定数量关系，这个过程可以视作直线和圆的位置关系的性质；“⟸”由数量关系确定位置关系，这个过程可以视作直线和圆的位置关系的判定．用几何特征（点和圆的不同的位置关系）与代数特征（圆心与点的距离d和半径r的数量关系）去刻画所获得的研究对象的性质与判定方法．【教学2】切线的判定1．思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？师生互动设计：（1）圆心O到直线l的距离就是圆的半径；（2）由于圆心O到直线l的距离就是圆的半径，因此有d=r，所以直线l和就是⊙O的切线．追问：已知⊙O和圆上的一点A，如何过点A画出圆的切线？师生互动设计：已知⊙O和圆上的一点A，如何过点A画出圆的切线？2．切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．条件分析：“经过半径外端”与“垂直于这条半径”两个条件缺一不可．反例：4．切线判定定理的几何表述：∵OA是⊙O的半径，又∵l⊥OA于点A，∴直线l和就是⊙O的切线．生活实例：在生活中，有许多直线和圆相切的实例．例如，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的．【教学3】切线的判定方法整理探究学习二教学目标3：会用三角尺过圆上一点画圆的切线．教学目标4：能利用切线的性质解决问题．【教学4】切线的性质1．思考：将上面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？＊证明（反证法）：假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM<OA，这说明圆心O到直线的距离小于半径OA，于是直线l与⊙O相交，二这与直线l是⊙O的切线矛盾．因此假设不成立，所以半径OA与直线l垂直．2．实际上，我们有3．性质定理几何表述：∵直线l是⊙O的切线，又∵OA是⊙O的半径，∴l⊥OA于点A．【教学5】切线的性质整理典例精析【例题1】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了．而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE＝OD．证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA．∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB．又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．设计意图：（1）在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．通过此题指导学生，在切线的判定以及性质定理的使用过程中，根据题目需要，合理辅助线添加，解决问题．（2）此题是切线的判定定理以及性质定理的综合使用．【即时评价】1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45º，AT＝AB．求证：AT是⊙O的切线．2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点．l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论．设计意图：通过两个练习题的解决帮助学生理解切线的判定和性质，帮助教师及时检测自己的教学达成水平，如果存在问题，需要及时作出调整．课堂小结回顾本节课的学习过程，对下列几个方面作总结归纳．1.切线的判定方法总结2.切线的性质总结3.切线的判定与性质的关系目标检测设计一、选择题1.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2.如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为(2，23)，直