24.1.4 圆周角（第2课时） 教学设计VIP

24.1.4圆周角（第2课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用圆周角定理的两个推论和圆内接四边形性质都是在圆周角性质定理基础上，更深一层地研究圆的性质；圆周角定理的两个推论对于完善学生对于圆周角的性质的认识是非常重要的。圆周角定理及其推论在圆的有关证明、作图、计算中有着广泛的应用，在研究圆与其他平面图形的关系中有着重要的作用.概念解析圆周角的两个推论和圆内接四边形性质是圆的重点内容之一，表达的是一条弦同侧的两个圆周角的大小关系和一条弦异侧的两个圆周角的数量关系。在此基础上将问题特殊化，直径所对的圆周角的大小和圆内接四边形内角之间的关系，这种研究几何要素之间相互关系的方法对学生今后学习几何内容有借鉴意义.思想方法在研究过程中，应用到分类思想，研究同一条弦所对的两个圆周角数量关系时,让学生通过画图,将问题分成两类来研究.在研究直径所对的圆周角的过程中,体现由一般到特殊的研究方法.知识类型圆内接四边形的概念是概念性知识，圆周角的两个推论和圆内接四边形性质属于原理与规则的知识.教学重点本节课的教学重点是圆周角的两个推论和圆内接四边形性质．教学目标解析教学目标：1．能说出圆内接多边形和多边形的外接圆的定义．知道二者之间的相对关系．．2．会利用圆周角定理及其推论进行与圆有关的证明和计算．3．能利用圆内接四边形的性质证明角相等或互补．目标解析：达成目标1的标志是能通过具体实例和图形正确表示圆内接多边形;达成目标2的标志是会利用圆周角定理及其推论进行与圆有关的证明、角度和线段计算;达成目标3的标志是能利用圆内接四边形的性质证明角相等或互补和角度计算;教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习了圆心角的性质及其推论，具备了一定的探索与圆有关的角的性质的学习经验，并已经学习过了圆周角的性质定理，具备了学习与圆周角相关知识的必要基础。与本课目标的差距分析学生学习了圆周角的性质定理，学生对于图形的认知往往局限于单一固定的图形，对于图形动态变化的图形学生可能存在认知上的困难，在观察同弧所对多个圆周角的关系以及研究圆内接四边形时，学生缺少将四边形的边角与圆的知识进行有机结合的能力.存在的问题：针对圆内相对复杂的图形，学生没有利用圆周角的性质定理推论的意识，无法找到相等角；研究圆内接四边形时，学生不会把四边形的内角与圆中的角联系起来思考．应对策略：从回顾已学的内容出发，让学生利用圆周角性质定理进行角度计算过程中，自然地引入第多个圆周角，引导发现同弧所对的两个圆周角的关系。也可以同圆心角的性质定理进行类比研究；同时利用几何画板的动画功能让学生发现，一条弦所对的两个圆周角存在两种关系，顶点在弦的同侧时，两个圆周角相等，顶点在弦的异侧时，两个圆周角互补，同时引出圆内接四边形的概念.教学难点本节课的教学难点是：会利用圆周角的推论与圆内接四边形性质进行证明与计算．教学支持条件分析探索圆周角的推论与圆内接四边形性质时，为了将抽象问题直观化，可以利用几何画板的动画功能，让学生通过一个圆周角的顶点在圆上旋转，发现与另一个圆周角之间的关系，让两上知识的产生非常自然；再利用动画功能，将圆周角所对的弦特殊化（经过圆心），让学生观察发现此时圆周角的特殊性。教学过程设计课前检测1．如图所示，AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝CD，∠AOB=108º,∠COD=____º.2．如图，已知点A，B，C在⊙O上，若∠C＝39º，则∠AOB＝______.3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于()A．60°B．70°C．120°D．140°设计意图：第1题主要检测主要考察学生对圆心角性质定理掌握程度，为圆周角的推理类比教学做准备；第2题考察学生对圆周角的性质定理掌握程度.第3题需要添加辅助线，考察学生对圆周角性质定理的灵活运用情况.新知探究问题1:如图，已知∠AOB＝100º，求∠C的度数.若点D是圆上异于A,B,C的任意一点，求∠ADB的度数.师生活动设计：学生画图思考，求∠C和∠ADB的度数.教师通过巡视，把学生不同的解答结果在视频展台上进行讨论.求∠ADB的度数时，会发现学生画出三种不同的图.图1图2图3追问：发现求∠ADB过程中，大家有三种不同的结论？哪一种更加准确？师生活动设计：同一条弦所对的两个圆周角有两种不同情况，分类方法是两个圆周角的顶点在弦的同侧和弦的异侧。本节课我们一起研究一条弦所对两个圆周角之间的关系（板书课题）设计意图：通过习题，复习已学过的圆周角的性质定理，同时以一个不确定的问题，给学生制造一种思想冲突，自然地引入新课学习.合作学习问题2首先我们一起来研究第一种情况：一条弦所对的两个圆周角的顶点在弦的同侧时，这两个圆周角的大小关系．如右图，∠C和∠D之间的大小关系？追问：如图，∠C和∠D所对的弧是哪一条弧？师生活动设计：通过计算，学生自然发现∠C＝∠D，再利用几何画板动画功能和角度计算功能？拖动点Ｄ在优弧上运动，让学生观察两个角的度数变化.追问：哪一位同学把你发现的结论陈述.师生活动设计：师生一起总结：同弧所对的圆周角相等.追问：如果∠C和∠D所对的是两段不同的弧，但两段弧相等，等量关系还成立吗？上面的结论如何表达更加完善?师生活动设计：师生一起总结：同弧或等弧所对的圆周角相等.追问：请一个同学结论图形证明这个结论师生活动设计：学生口答完成总结圆周角的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.设计意图：通过具体数据计算、观察动画演示得到圆周角的推论，并进行推理论证，使学生经历一个完整的几何推理形成的过程.引导学生发现，主动得出结论，以激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性．教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系．问题3圆内最特殊的弦是什么？请同学们观察一下当圆周角所对的弦是一条直径，请同学们猜想一下圆周角的度数？师生活动设计：教师用几何画弧拖动B点，使弦AB经过圆心Ｏ,学生观察∠D和∠C的度数为90º.追问：请同学们把这个结论用一句简洁的语言表达出来．师生活动设计：一起总结圆周角推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；追问：你能结合图形证明吗？师生活动设计：AB是直径追问：上面这个结论反过来讲成立？师生活动设计：学生总结：90º的圆周角所对弦是直径．追问：请同学们完整地表达我们的探究结论师生活动设计：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对弦是直径．设计意图：利用几何画板动画功能，将圆内的弦由一般到特殊变化，请学生观察其所对圆周角的变化情况，从而得到结论．巩固练习例1如图,ʘO的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交ʘO于D，求BC,AD,BD的长.解：如图，连结OD∵AB是直径∴∠ACB＝∠ADB=90º∴∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝∠DCB∴∠AOD＝∠DOB∴AD＝DB∵∴AD＝DB=设计意图：通过例题研究，让学生把圆周角性质定理和圆周角的两个推论综合应用来解决问题，提升知识应用能力.深入探究问题4：我们一起来研究第一种情况：一条弦所对的两个圆周角的顶点在弦的异侧时，这两个圆周角的数量关系．如图，猜想∠C和∠D之间的数量关系？师生活动设计：学生猜想∠C+∠D＝180º，即∠C和∠D互补.追问：请同学们结合图证明一下你的猜想.师生活动设计：∵∠C所对的弧为，∠D所对的弧为又∵和所对的圆心角的和是周角总结：如图四边形ADBC的四个顶点都在ʘO上，我们把四边形ADBC叫做ʘO内接四边形，ʘO是四边形ADBC的外接圆.追问：四边形的内角性质是什么？师生活动设计：四边形的内角和为360º.追问：圆内接四边形的内角有什么性质？师生活动设计：师生一起总结：圆内接四边形的对角互补.追问：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，用类比的方法给这个多边形下一个定义师生活动设计：总结：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.追问：请结合下图，写出圆内接四边形的性质的几何语言：师生活动设计：几何语言：∵四边形ABCD内接于ʘO∴设计意图：承接新课引入，继续研究同弦所对的两个圆周角的第二种情况，引导学生经历从结论猜想——证明结论——形成定理的过程，从整节课来说非常完整有结构，同时得出两个概念.知识应用练习1如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四个内角分成8个角，这些角哪些相等？为什么？师生活动设计：引导学生找出四对相等角，并说出是哪一段弧所对的圆周角，说明出理由.练习2如图，四边形ABCD内接于ʘO,E为CD的延长线上的一线，若∠B=110º,求∠ADE的度数.师生活动设计：引导学生完整地解答问题∵四边形ABCD内接于ʘO∴∠B+∠ADC=180º∵∠ADE+∠ADC=180º∴∠B=∠ADE=110º追问：同学们通过这个题目，你又发现了什么重要的结论？师生活动设计：一起总结：圆内接四边形外角等于内对角.追问：请同学结合图形写出这个结论的几何语言.师生活动设计：几何语言：∵四边形ABCD内接于ʘO∴∠B=∠ADE练习3求证：圆内接平行四边形是矩形.师生活动设计：引导学生画图，写已知、求证，请进行证明.已知：内接于ʘO，求证：是矩形。证明：∵内接于ʘO∴∠A+∠C=180º,且∠A=∠C∴∠A=90º∴是矩形追问：同学们可以得到什么重要结论？师生活动设计：一起总结：圆内接平行四边形是矩形.设计意图：引导学生应用圆周角的推论在圆内找相等的角，同时通过练习得到两个重要的结论．测评1：（1）如图，直径AB⊥CD，和∠ACB相等的角一共有几个（）A.1个B.2个C.3个D.4个（2）若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立()A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1（3）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝85°，则∠C＝________.（4）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠D＝________，∠B＝________；测评2：（1）如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝________；若∠B＝75°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；（2）如图，直径AB⊥CD，若∠BCD＝20°，，则∠CDA＝________，∠BAD＝________；（3）如图，若的度数为110°，则∠OBC＝________，D是圆上除B，C之外的任一点，∠BDC＝________.师生活动设计：学生完成测评1，教师巡视，完成后讲评分析，针对完成不理想的同学，再完成测评2设计意图：通过测评1了解学生对本节重点知识掌握情况，如果完成不理解，通过讲评后，再用测评2进行二次测评分析．课堂小结问题5（1）本节课我们探究了哪些重要结论？（2）我们又学习了哪个新的概念？（3）探究问题过程中，用到了什么数学思想方法？师生活动设计：师生一起总结：一个概念五个结论一个概念：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.五个结论：①同弧或等弧所对的圆周角相等.②直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对弦是直径．③圆内接四边形的对角互补.④圆内接四边形外角等于内对角.⑤圆内接平行四边形是矩形.设计意图：通过问题，引导学生回顾学习过程，优化知识结构．目标检测设计1．使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中合格的是（）2．如图，BD为圆O直径，弦AC、BD相交于点E，下列结论一定成立的是()A．∠BAO＝∠CB.∠B＝∠DC.∠OAE＝∠CD.∠BAO＝∠D3．如图，AB是半圆直径，∠BAC=20º，D是弧AC的中点，则∠DAC的度数是（