24.1.1 圆的概念 教学设计

24.1.1圆的概念教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用从本章开始几何图形的研究由直线图形进入到特殊的曲线图形.圆是常见的几何图形之一，本章将在小学的基础上系统的研究圆的概念和性质.本节课主要是研究圆的定义及其相关概念，这是后续研究圆的性质的基础.通过观察生活中有关圆的形象的物体和多种方法画圆的动手操作，并用自己的语言来尝试归纳圆的概念，帮助学生理解圆的描述性定义和集合性定义；通过证明矩形的四个顶点在同一个圆上，进一步让学生体会圆的定义.类比三角形研究的一般套路，研究圆的概念与相关概念，帮助学生建立系统的圆的知识，同时为后续进一步学习圆的性质奠定基础．概念解析本节课的主要概念是圆．圆的定义为到定点的距离等于定长的点的集合，这样的定义为点与圆的位置关系的定量刻画提供方法．思想方法从实际问题中抽象出圆的概念，体现认识事物的一般方法：从具体到抽象．介绍圆的相关概念时，采用类比的思想，把圆与三角形知识进行联系，掌握研究问题的方法.知识类型圆的定义、弦、弧的概念都属于概念性知识.教学重点本节课的教学重点：圆的定义和相关概念．教学目标解析教学目标：1．经历圆的概念的形成过程，理解圆的两种定义:描述性定义与集合定义;2．理解圆、弧、弦的概念，了解等圆、等弧的概念;3．能利用圆的定义证明几个点共圆．目标解析：达成目标1的标志是：理解确定一个圆需要两个要素：圆心和半径.会用集合的观点描述圆，并说出它的两层含义．达成目标2的标志是：能够从图形中识别“弦、直径”、“弧、优弧、劣弧”、“半圆、等圆、等弧”等概念并会用符号表示弦和弧．达成目标3的标志是：进一步理解圆的集合定义，会证明几个点在同一个圆上．教学问题诊断分析具备的基础学生在学习本章之前，已学习了平行线、三角形、四边形等大量的图形知识，了解研究几何图形的一般套路，会用推理等方式研究图形的性质，积累了大量的认识图形的经验，为圆的概念和有关性质的学习奠定了良好的基础．与本课目标的差距分析理解圆的两种定义，会用集合定义证明某些点共圆.理解弦和弧的概念，了解它们的区别和联系，会用符号表示弦和弧.存在的问题：用集合定义曲线学生平时接触较少，把几何图形等价于点的集合还需要从两方面加以说明比较抽象，对初学者来说会存在困难.关于直径是最长弦的说理，由于是证明不等量关系，而平时几乎证明的都是等量关系，也缺乏经验，对于思路形成存在一定的困难.应对策略：通过动手实践帮助学生理解集合的思想.用棉线画圆得出圆上的点都满足到圆心的距离相等,说明几何图形上的所有点满足某种条件；通过寻找平面内到定点的距离等于2cm的点，归纳这些点的共同特征，得出距离等于2（即距离相等）的点都在圆上，说明满足这种条件的点都在几何图形上，因此几何图形可以看成满足这种条件的点的集合；和学生一起回顾证明线段的不等关系的定理有哪一些？直径可以如何转化，帮助学生寻找直径是最长弦的证明思路.教学难点本节课的教学难点：理解圆的集合定义教学支持条件分析通过平面内距离等于2cm的点的动态生成，理解圆的集合性定义；可利用动态几何软件，利用测量等功能帮助理解圆的概念.可用常用统计软件统计显示测评结果，根据测评结果，对没有达标的部分内容比如证明几个点共圆、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学过程设计课前检测1.画一个半径为2cm的圆.该圆的直径为_________,周长为__________,面积为_________;2.请在图中画出到AB，AC距离相等的点满足这样条件的点有_____个，发现它们的位置在__________________;角平分线的集合定义是_____________________________________.3.在△ABC中AB=BC=3则AC长度的范围是______________;4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,请写出所有相等的线段.设计意图：第1题回顾直径半径等圆的相关概念，第2题通过回顾角平分线的集合定义帮助学生理解圆的集合性定义；第3题回顾三角形三边关系为证明直径是最长弦作铺垫,为新课的学习做好知识上的准备.第4题回顾矩形的性质为例1证明四点共圆作铺垫.情境引入创设情境，引入新课【问题1】同学们欣赏了这些图片，它们有什么共同特点？师生互动设计：教师提问，小学我们学习了圆的有关知识，你还能列举生活中的圆吗？要求学生回答.设计意图：通过各种例子让学生感受到圆无处不在，是大家熟悉的常见的几何图形，产生一种亲切感.研究学习1运用类比，研究概念【问题2】到目前为止，我们已经研究了哪几类几何图形？师生互动设计：学生回答，教师加以概括（比如等腰三角形，等边三角形等概括为三角形）.【问题3】我们是如何研究三角形的？学习了哪些知识.师生互动设计：学生回顾三角形有关知识，教师整理得到研究三角形的一般套路:三角形的概念，要素，相关要素，几何量之间的相互关系.追问1：按照这一研究套路，我们先研究圆的什么知识呢？师生互动设计：学生回答：圆的定义追问2：三角形是由平面内三条线段首尾顺次连结而成的图形，圆又是满足怎样条件的几何图形呢？请你用工具包内的工具，用尽可能多的方法画圆.师生互动设计：学生动手操作，讨论如何用更多的方法画圆.教师巡视，如果有个别小组有困难予以指导.一个学生展示圆规画圆的方法，其余同学补充不同方法.(教师事先给每个小组准备好一个工具包，里面包括笔，橡皮筋，棉线，圆规，纸，图钉.)追问3：棉线画圆时需要注意什么？为什么点要固定，棉线要有一定长度？追问4：“棉线改为皮筋能画圆吗？它们之间的区别是什么？师生互动设计：学生通过表述或者实际操作来说明不能画圆的原因.教师揭示用圆规画圆与用棉线画圆相同的本质，棉线固定的一端就是圆规固定的一端；棉线的长度就是圆规两针尖的距离.设计意图：追问3帮助学生理解确定一个圆需要圆心和半径两个要素.追问4帮助学生理解定长的概念，教师的本质揭示为描述性定义作铺垫.追问5：结合刚才的画圆的过程，你能用自己的语言概括一下圆的定义吗？师生互动设计：学生概括圆的概念，相互补充完善.教师指出三角形，平行四边形都可以用符号来表示，圆也有符号表示，统一圆的表示方法和读法.设计意图：根据圆的形成过程，帮助学生理解圆的描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它一个固定的端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆,并用符号表示圆.追问6：棉线的一端固定不动，另一端在平面上运动，得到了曲线——圆，组成圆的这些点有什么共同特点呢？设计意图：帮助学生理解圆上的每一个点到圆心的距离都相等，为圆的定义做铺垫.研究学习2【问题4】请同学们在平面上找出到O点的距离等于2cm的点.追问1：满足这一条件的点有多少个？这些点有什么共同特征？师生互动设计：教师通过多媒体动画展示点不断增多最后形成一个圆.追问2：平面内有无数个点到点O的距离等于2cm,会有点落在圆内吗？为什么？圆外呢？师生互动设计：教师归纳前面活动的结论：我们发现到圆心的距离等于2cm的点形成了一个圆，前面又得到圆上所有的点到圆心的距离等于2cm.追问3：以前学习中垂线时，有类似的结论：中垂线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的中垂线上.由此得到中垂线的集合定义：“线段的中垂线可以看作是到线段两个端点的距离相等的点的集合.类似的，你能说说圆的集合定义吗？设计意图：从动手画圆与动手描点这两个活动，理解圆上的点都具备这个条件与满足这个条件的点都在圆上这两层含义，类比中垂线的集合定义得到圆的集合定义.研究学习3【问题5】根据几何图形研究的一般方法，前面研究了定义和表示方法，小学研究了圆心和半径这两个要素，接下来我们要研究相关要素.圆是点的集合，圆上任取两点我们可以研究什么呢？师生互动设计：师生共同回顾几何图形研究问题的一般方法，通过比较自然生成弧、弦等概念.设计意图：帮助学生形成几何图形学习的知识体系，促进知识系统化，自然生成弧、弦等概念，减少记忆负担.追问1：直径与弦有怎样的关系？师生互动设计：学生思考并回答，学生可能会回答直径最长，直径经过圆心等结论，教师揭示本质：直径与弦是特殊与一般的关系，直径是特殊的弦.追问2：直径为什么是最长弦呢？你会证明吗？师生互动设计：若学生没有思路，教师可以提示，证明线段的不等量关系有哪些定理？三角形的任意两边之和大于第三边；斜边大于直角边（可利用圆的定义得到三个顶点到圆心的距离相等，利用角的关系证明该三角形是直角三角形），学生选择喜欢的方法证明这一结论.设计意图：通过这两个追问进一步理解直径的概念，帮助学生理解直径是特殊的弦，养成重视直观感知和逻辑推理有机结合的习惯.追问3：两点之间圆上部分有两条弧，端点字母都一样，如何表示加以区分呢？师生互动设计：学生尝试用自己的方法区分两条弧.教师给出半圆的概念，优弧、劣弧的概念和表示方法.追问4：同端点的弦与弧有什么区别与联系师生互动设计：学生思考并回答，教师利用表格进行梳理追问5：根据几何图形研究的一般方法，前面研究了圆的定义和表示方法，研究了研究对象圆、弦、弧等，接下来我们就要考虑这些要素之间的相互关系.首先我们先研究两个圆之间的关系.从数量关系来看满足什么条件时两圆全等呢？从位置关系来看，圆心相同的两个圆有怎样的特殊位置？师生互动设计：学生思考并回答，教师完善等圆的概念并补充等弧，同心圆等概念.设计意图：通过对比理解弦和弧的概念，通过与全等类比，加深学生对知识的理解.【测评1】判断下列说法是否正确(1)弦是直径.（）(2)直径是弦.（）(3)半圆是弧.（）(4)劣弧大于优弧.（）设计意图：检测目标2是否达成，考查弦，弧，直径，劣弧，优弧概念是否了解，若测评不合格，则回至相关概念并进行讲评,测评1过关后做测评2.【测评2】如图，AC是⊙O的直径，B是圆上的一点，连结AB，BO，BC，则图中的弧有___________,优弧有______________,弦有______________.设计意图：检测目标2是否达成．考查是否会表示弦和弧，若测评不合格，进行讲评，并做相应变式练习．典例精析典型例题，深化理解【问题6】矩形的四个顶点都在圆上吗？这个圆的圆心在哪里？【例题1】已知：矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.师生互动设计：学生思考回答，并写出已知，求证和证明过程.投影展示学生练习，教师规范其书写格式的同时帮助学生回顾矩形的性质.设计意图：进一步理解圆的集合定义.【测评3】在△ABC中，∠C=90°，求证：A,B,C三点在同一个圆上.设计意图：检测目标3是否达成．若测评不理想，则回至问题6的证明结论如何转化，如何证明线段相等．课堂小结1.圆的定义是什么？2.研究几何图形的一般套路是怎样的？3.弦与直径，弧与半圆概念的学习都运用了什么数学思想方法？4.如何证明多点共圆？目标检测设计一、选择题1．确定一个圆的条件为（）A．圆心B．半径C．圆心和半径D．以上都不对.2．如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于（）A．70°B．60°C．50°D．40°3．下列说法正确的是（）A．半圆是弧，弧也是半圆B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径C．弦是直径