山西省吕梁市2024届中考数学全真模拟试题含解析

山西省吕梁市名校2024年中考数学全真模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知二次函数y=3(x-1)2+k的图象上有三点A(0,yi),B(2,y2),C(-6,y3),则yi、y2>y3的大小

关系为()

A.yi>y2>y3B.y2>yi>y3C.ys>yi>y2D.y3>y2>yi

kk

2.如图，平行于x轴的直线与函数y=」(k]>0,x>0),y=」(k,>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点，

xx

点A在点B的右侧，C为X轴上的一个动点，若一ABC的面积为4,则k1-卜2的值为()

A.8B.-8C.4D.-4

3.若点(xi,yi),(X2,y2),(x3,y3)都是反比例函数y=-工图象上的点，并且yiV0Vy2〈y3,则下列各式中正

确的是()

A.X1<X2<X3B.X1<X3<X2C.X2<X1<X3D.X2〈X3Vxi

4.按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数()

①N2=90°；②N1=NAEC；③△A5Es/\ECF；@ZBAE=Z1.

5.2017年新设了雄安新区，周边经济受到刺激综合实力大幅跃升，其中某地区生产总值预计可增长到305.5亿元其中

305.5亿用科学记数法表示为()

A.305.5X104B.3.055X102C.3.O55xlO10D.3.055x10”

6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF,分别交AD,CD

于点G,H,则下列结论错误的是()

EA_EGEG_AGABBCFHCF

C.-----D.-----

BE~EFGH~GDAE~~CFEH-AD

)

8.如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么Z1等于（）

»»-X

A.120°B.105°C.60°D.45°

9.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边

长之比是2：1,若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（）

A.0.2B.0.25C.0.4D.0.5

10.如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，且BE:AB=2：3,ABEF的面积为4,则平行四边形ABCD的

面积为（）

A.30B.27C.14D.32

11.-2的绝对值是。

1

A.2B.-2C.±2D.-

2

12.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BELAC于点F,则下列结论中错误的是（）

A.AF=-CFB.ZDCF=ZDFC

2

c.图中与AAEF相似的三角形共有5个D.tanNCAD=&

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.口袋中装有4个小球，其中红球3个，黄球1个，从中随机摸出两球，都是红球的概率为

14.如图，A、D是。O上的两个点，BC是直径，若ND=40。，则NOAC=__度.

15.函数y=Jx-2的定义域是

1Y

16.化简代数式（x+l+—）十丁」，正确的结果为___.

x-12x—2

17.病的算术平方根是.

18.分解因式：a2b-8ab+16b=.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）已知抛物线了=以2+法+3的开口向上顶点为P

（1）若P点坐标为（4,-1）,求抛物线的解析式；

（2）若此抛物线经过（4,-1）,当一1WXW2时，求y的取值范围（用含a的代数式表示）

（3）若a=L且当OWX&时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6,求b的值

X—yxy

2。.（6分）先化简’再求代数式（京7行厂了十不的值,其中X=sin6。。，y=ta"

21.（6分）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上，且NECF=45。，CF的延长线交BA的

延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.

ZAHCZACG；（填“>”或或“="）线段

①^AGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值.

②请直接写出使小CGH是等腰三角形的m值.

22.（8分）现有一次函数和二次函数7=»/丫2+“*+1,其中川邦，若二次函数了=«1*2+〃了+1经过点（2,0）,

（3,1）,试分别求出两个函数的解析式.若一次函数y=mx+〃经过点（2,0）,且图象经过第一、三象限.二次函数

yu/wi+j/x+l经过点（a,ji）和（a+L以），且）1>",请求出a的取值范围.若二次函数了=»1/+〃了+1的顶点坐标

为A（h,fc）同时二次函数y=x2+x+l也经过A点，已知-IV/zVl,请求出机的取值范围.

23.（8分）已知PA与。。相切于点A,B、C是。O上的两点

图①图②

（1）如图①，PB与。O相切于点B,AC是。O的直径若NBAC=25。；求NP的大小

（2）如图②，PB与。。相交于点D,且PD=DB,若NACB=90。，求NP的大小

24.（10分）如图所示,平面直角坐标系中，0为坐标原点，二次函数y^x2-bx+c（b>0）的图象与x轴交于A（-1,O）、

B两点,与y轴交于点C；

（1）求c与入的函数关系式;

（2）点。为抛物线顶点，作抛物线对称轴OE交x轴于点E,连接3c交。E于尸，若AE=Z>尸，求此二次函数解析

式;

（3）在（2）的条件下，点尸为第四象限抛物线上一点，过尸作OE的垂线交抛物线于点交OE于点。为第

三象限抛物线上一点，作QN_LED于N,连接“V,且NQMN+NQMP=180。，当QN:£归=15:16时，连接

PC,求tanNFCE的值.

25.（10分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于点D,O为AB上一点，经过点A,D的。O

分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.求证：BC是。O的切线；设AB=x,AF=y,试用含x,y的

代数式表示线段AD的长；若BE=8,sinB=W,求DG的长，

26.（12分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500

元.求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量

不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.

①求y关于x的函数关系式；

②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0<

m<100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条

件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.

27.（12分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年

在2015年的基础上增加投入资金1600万元.从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第

1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到

优先搬迁租房奖励？

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解题分析】

试题分析：根据二次函数的解析式y=3(x—l)2+k,可知函数的开口向上，对称轴为x=L根据函数图像的对称性，

可得这三点的函数值的大小为y3>y2>yi.

故选D

点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减

性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.

2、A

【解题分析】

【分析】设A(a,h),B(b,h),根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k-bh=k2.根据三角形的面积公式

得至US.ABC=|AByA=1(a-b)h=1(ah-bh)=|(k1-k2)=4,即可求出k1—k?=8.

【题目详解】AB//X轴，

二.A,B两点纵坐标相同，

设A(a,h),B(b,h),贝！)ah=ki，bh=k2,

S.ABc=|AB.yA=1(a-b)h=1(ah-bh)=|(k1-k2)=4,

kj—k,=8,

故选A.

【题目点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足

函数的解析式是解题的关键.

3、D

【解题分析】

先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据yi<0<y2<y3判断出三

点所在的象限，故可得出结论.

【题目详解】

解：•反比例函数y=-，中k=-lVO,

x

二此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，

Vyi<0<y2<y3,

・••点（xi,yi）在第四象限，（xz,y2）、（X3,ys）两点均在第二象限，

/.X2<X3<X1.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键.

4、C

【解题分析】

VZ1+Z1=Z2,Zl+Zl+Z2=180°,

/.Z1+Z1=Z2=9O°,故①正确；

VZ1+Z1=Z2,.•.N1RNAEC故②不正确；

VZ1+Z1=9O°,Zl+ZBAE=90°,

:.Z1=ZBAE,

又，：/B=/C,

故③，④正确；

故选C.

5、C

【解题分析】

解：305.5亿=3.055x1.故选C.

6、C

【解题分析】

试题解析：四边形ABCD是平行四边形，

:.ADBF,BEDC,AD=BC,

,EAEGEG_AGHFFC_CF

"BE~EF'GH~DG"EH~BC~AD'

故选C.

7、C

【解题分析】

逐一对选项进行分析即可得出答案.

【题目详解】

A中，利用三角形外角的性质可知N1>N2,故该选项错误；

B中，不能确定Nl,N2的大小关系，故该选项错误；

C中，因为同弧所对的圆周角相等，所以N1=N2,故该选项正确；

D中，两直线不平行，所以N1WN2,故该选项错误.

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查平行线的性质及圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键.

8、B

【解题分析】

解：如图，/2=90。-45。=45。，由三角形的外角性质得，/1=/2+60。=45。+60。=105。.故选B.

点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.

9、B

【解题分析】

设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,则针孔扎到小正方形（阴影

部分）的概率是0.1.

【题目详解】

解：设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,

因为面积比是相似比的平方，

所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,

则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是!=025；

4

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率尸（A）=—.

n

10、A

【解题分析】

•.•四边形ABCD是平行四边形,

AAB//CD,AB=CD,AD//BC,

/.△BEF^ACDF,△BEF^AAED,

VBE：AB=2：3,AE=AB+BE,

Z.BE：CD=2：3,BE：AE=2：5,

q4Q4

.°ABEF_寸°ABEF__L

,**SABEF=4,

••SACDF=9,SAAED=25,

S四边形ABFD=SAAED-SABEF=25-4=21,

；・S平行四边形ABCD=SACDF+S四边形ABFD=9+21=30,

故选A.

【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积等于相似比的平方

是解题的关键.

11、A

【解题分析】

根据绝对值的性质进行解答即可

【题目详解】

解：-1的绝对值是：L

故选：A.

【题目点拨】

此题考查绝对值，难度不大

12、D

【解题分析】

由4£=工人。=!3。，又AD〃BC,所以4g=巨=工，故A正确，不符合题意；过D作DM〃BE交AC于N,

22BCFC2

得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=

-BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；

2

根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；

由ABAEs^ADC,得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan/CAD的值，故D错误，符合题意.

【题目详解】

X：：AD//BC,

:.LAEFsACBF,

.AEAF1

"BC~

'：AE=-AD=-BC,

22

AF1

故A正确，不符合题意；

B.过。作交AC于N,

'：DE//BM,BE//DM,

二四边形BMDE是平行四边形，

:.BM=DE=-BC,

2

：.BM=CM,

：.CN=NF,

•.•3EJ_AC于点F,DM//BE,

：.DN±CF,

：.DF=DC,

：.ZDCF=ZDFC,故B正确，不符合题意；

C.图中与△AE尸相似的三角形有△ACZ>,^BAF,XCBF,△CAB,△ABE共有5个，故C正确，不符合题意;

a

D.设AD=Q45=①由△有b__2_

ab

VtanZCAD=—=-=^,故D错误，符合题意.

ADa2

故选：D.

【题目点拨】

考查相似三角形的判定，矩形的性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

【解题分析】

先画出树状图，用随意摸出两个球是红球的结果个数除以所有可能的结果个数即可.

【题目详解】

•.•从中随意摸出两个球的所有可能的结果个数是12,

随意摸出两个球是红球的结果个数是6,

二从中随意摸出两个球的概率

122

故答案为：—•

2

【题目点拨】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

14、50

【解题分析】

根据5c是直径得出NB=NZ>=40。，ZBAC=9Q°,再根据半径相等所对应的角相等求出NBAO,在直角三角形BAC

中即可求出/OAC

【题目详解】

；BC是直径，ZD=40°,

.\ZB=ZD=40o,ZBAC=90°.

VOA=OB,

/.ZBAO=ZB=40°,

AZOAC=ZBAC-ZBAO=90°-40°=50°.

故答案为：50

【题目点拨】

本题考查了圆的基本概念、角的概念及其计算等腰三角形以及三角形的基本概念，熟悉掌握概念是解题的关键

15、x>2

【解题分析】

根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,可知：x-l>0,解得x的范围.

【题目详解】

根据题意得：x-l>0,

解得：x>l.

故答案为：x>2.

【题目点拨】

此题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式有意义的条件.

16、2x

【解题分析】

根据分式的运算法则计算即可求解.

【题目详解】

,1X

(X+1H--------)x-r-----------

x—12九一2

(x+l)(x-l)11x

x-1x-l

x22(1)

x-lX

=2x.

故答案为2x.

【题目点拨】

本题考查了分式的混合运算，熟知分式的混合运算顺序及运算法则是解答本题的关键.

17、272

【解题分析】

764=8,(2夜)2=8,

AV64的算术平方根是2夜.

故答案为：2夜.

18、b(a-4)1

【解题分析】

先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解.

【题目详解】

解：a*b-8ab+16b=b(ax-8a+16)=b(a-4)L

【题目点拨】

本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练运用公式法分解因式是本题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1,

19、(1)y=-x-2x+3,(2)l-4a<y<4+5a；(3)b=2或一10.

-4

【解题分析】

(1)将P(4,-1)代入，可求出解析式

(2)将(4,-1)代入求得：b=-4a-l,再代入对称轴直线x=-3b中，可判断x=-b二>2,且开口向上，所以y

2a2a

随x的增大而减小，再把x=-Lx=2代入即可求得.

b

(3)观察图象可得，当OWxWl时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6,这些点可能为x=0,x=l,x=—-三种情

2

b

况，再根据对称轴x=-彳在不同位置进行讨论即可.

【题目详解】

解：(1)由此抛物线顶点为P(4,-1),

所以y=a(x-4)2-l=ax2—8ax+16a—1,即16a—1=3,解得a=L,b=-8a=-2

4

1,

2

所以抛物线解析式为：y=-x-2x+3;

(2)由此抛物线经过点C(4,-1),

所以一l=16a+4b+3,即b=—4a—1.

因为抛物线y=of—(4。+1)%+3的开口向上，则有a>0

其对称轴为直线工="口，而尤=与°=2+二->2

2a2a2a

所以当一1qW2时，y随着x的增大而减小

当x=-1时，y=a+(4a+l)+3=4+5a

当x=2时，y=4a-2(4a+l)+3=l-4a

所以当一lgxg2时，1—4agyW4+5a；

(3)当a=l时，抛物线的解析式为y=x?+bx+3

b

...抛物线的对称轴为直线%=--

,b一

由抛物线图象可知，仅当x=0,x=l或x=——时，抛物线上的点可能离x轴最远

2

分别代入可得，当x=0时，y=3

当x=l时，y=b+4

bh2

当x=--时,y=+3

24

b

①当一5VO,即b>0时，3<y<b+4,

由b+4=6解得b=2

b

②当0£一4时，即一2WbW0时，△=b2-12<0,抛物线与X轴无公共点

2

由b+4=6解得b=2（舍去）；

③当—£>1,即bV—2时，b+4<y<3,

由b+4=—6解得b=-10

综上，b=2或一10

【题目点拨】

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及最值问题，关键是对称轴在不同的范围内，抛物线上的

点到x轴距离的最大值的点不同.

20、-273

【解题分析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再计算x和y的值并代入进行计算即可

【题目详解】

工八x~y%x-2y

原式=7——4——7―F---

(x-y\%(%-2方)y

_____1]%-2y

x-2y)y，

x-2yx-yx-2y

(x-y)(x-2y)(x-y)(x-2y)Jy'

_x-2y-x+yx-2y

(x-y)(x-2y)y'

_-yx-2y

(x-y)(x-2y)y'

1

%一y

x=sin60°=^-,y=tan30°=—

2-3

236

【题目点拨】

考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

21、(1)=；(2)结论：AC1=AG»AH.理由见解析；(3)①△4GH的面积不变.②机的值为|或2或8-40..

【解题分析】

(1)证明NDAC=NAHC+NACH=43。，ZACH+ZACG=43°,即可推出NAHC=NACG；

(2)结论：AC2=AG»AH.只要证明^AHC^AACG即可解决问题；

(3)①AAGH的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可；

②分三种情形分别求解即可解决问题.

【题目详解】

(1)I•四边形A3C。是正方形，

：.AB=CB=CD=DA=4,ZD=ZDAB=90°ZDAC=ZBAC=43°,

-'-AC=,42+42=40,

■:ZDAC=ZAHC+ZACH=43°,ZACH+ZACG=43°,

，NAHC=NACG.

故答案为=.

(2)结论：AC1=AG*AH.

理由：VZAHC^ZACG,ZCAH=ZCAG^133°,

：.AAHC^-AACG,

.AHAC

••一9

ACAG

J.AC^^AG»AH.

(3)①△AGH的面积不变.

理由：VSAAGH=-*AH*AG=~AC2=—x(4五)2=1.

222

.•.△AG”的面积为1.

②如图1中，当GC=GH时,易证AAHG之△5GC,

CtB

可得AG=5C=4,AH=BG=8,

'：BC//AH,

.BCBE1

"AH-AE-15

28

：.AE=-AB=-.

33

如图2中，当S=HG时，

T

■:BC//AH,

BEBC

AE-AH-1

：.AE=BE=2.

如图3中，当CG=CH时，易证NEQ5=NDC尸=22・3・

C¥.B

D

图3

G

在5C上取一点M,使得

・•・ZBME=N5£M=43。，

■:ZBME=ZMCE+ZMEC,

：.ZMCE=ZMEC=22.3°f

：.CM=EM,设贝!|CM=EM正处

:.m+亚m=4,

・••根=4(5/2-1)，

・・・・A£=4-4（72-1）=8-4页，

Q

综上所述，满足条件的机的值为§或2或8-4行.

【题目点拨】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题.

131

22、(1)y=x-2,j=-—x2+—+1；(2)a<—；(3)m<-2或》z>l.

【解题分析】

（1）直接将点代入函数解析式，用待定系数法即可求解函数解析式;

（2）点（2,1）代入一次函数解析式，得到n=-2m,利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x=l,由一次函数

经过一、三象限可得m>L确定二次函数开口向上，此时当yi>y2,只需让a到对称轴的距离比a+1到对称轴的距

离大即可求a的范围.

（3）将八（％■<）分别代入两个二次函数解析式'再结合对称抽得h=-^’将得到的三个关系联立即可得到

h=———,再由题中已知TVh<l,利用h的范围求出m的范围.

m+1

【题目详解】

（1）将点（2,1）,（3,1）,代入一次函数〃中,

0=2m+n

l=3m+n

m=l

解得

n=-2

・・・一次函数的解析式是y=x-2,

再将点(2,1),(3,1),代入二次函数7=加F+内+1,

0=4根+2〃+1

〈

l=9m+3n+l

1

m二—

2

解得

二二次函数的解析式是y=—g1f9+g3+i.

(2)•.•一次函数经过点(2,1),

:・n=-2m,

•.,二次函数的对称轴是x=一-—,

2m

・••对称轴为x=L

又;一次函数7=加工+〃图象经过第一、三象限，

Vji>j2,

/•1-a>l+〃-19

■1

a<—.

2

(3)•.,y=m：2+〃x+i的顶点坐标为白(居k),

,ln

••k^~irih4~〃入+19日.h9

2m

又•・•二次函数y=x2+x+i也经过A点，

2

^.k=h+h+l9

:.mh2+nh+l=h2+h^-l,

m+1

又-l<h<l9

:・mV-2或m>l.

【题目点拨】

本题考点：点与函数的关系；二次函数的对称轴与函数值关系；待定系数法求函数解析式；不等式的解法；数形结合

思想是解决二次函数问题的有效方法.

23、(1)ZP=50°；(2)ZP=45°.

【解题分析】

(1)连接OB,根据切线长定理得到PA=PB,ZPAO=ZPBO=90°,根据三角形内角和定理计算即可；

(2)连接AB、AD,根据圆周角定理得到NADB=90。，根据切线的性质得到AB,PA,根据等腰直角三角形的性质解

答.

【题目详解】

解：⑴如图①，连接OB.

VPA,PB与。O相切于A、B点，

/.PA=PB,

:.NPAO=ZPBO=90°

.,.ZPAB=ZPBA,

；/BAC=25。，

.,.ZPBA=ZPAB=90°—ZBAC=65°

.,.ZP=180°-ZPAB-ZPBA=50°；

(2)如图②，连接AB、AD,

VZACB=90°,

；.AB是的直径，ZADB=90-

,/PD=DB,

.\PA=AB,

；PA与。O相切于A点

；.AB_LPA,

图①图②

【题目点拨】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

,1

24、(1)c——1—Z?；(2)y—x~—2x—3；(3)—

-2

【解题分析】

(1)把A(-1,0)代入y=x2-bx+c,即可得到结论；

(2)由(1)得，y=x2-bx-l-b,求得EO=2,AE=^+1=BE,于是得至UOB=EO+BE=2+2+i=b+i,当x=0时，得

2222

到丫=-b1,根据等腰直角三角形的性质得到D-b-2),将D(1■，-b-2)代入y=x2-bx-Lb解方程即可得到结论;

(3)连接QM,DM,根据平行线的判定得到QN〃MH,根据平行线的性质得到NNMH=NQNM,根据已知条件得

到NQMN=NMQN,设QN=MN=t,求得Q(1-t,t2-4),得至！JDN=t?-4-(-4)=t2,同理，设MH=s,NH=t2-s2,

根据勾股定理得到NH=1,根据三角函数的定义得到NNMH=NMDH推出/NMD=90。；根据三角函数的定义列方程

535

得到ti=—,t2=—(舍去)，求得MN=—,根据三角函数的定义即可得到结论.

353

【题目详解】

(1)把A(-1,0)代入y=x2-bx+c,

•,.l+b+c=0,

c=-1—b；

(2)由(1)得，y=x2-bx-l-b,

•••点D为抛物线顶点，

AEO=-,AE=-+1=BE,

22

:.OB=EO+BE=-+-+l=b+l,

22

当x=0时，y=-b-l,

・•・CO=b+l=BO,

・・・/OBC=45。，

・•・/FB=90°-45°=45°="BF,

・・・EF=BE=AE=DF,

:.DE=AB=b+2,

.•.D、,-b—2)

将口”,一1)-2］代入y=x?-bx-l-b得,=,

解得：瓦=2,b2=-2(舍去)，

二次函数解析式为：y=x2—2x—3；

(3)连接QM,DM,

•/QN±ED,MP±ED,

:.NQNH=^MHD=90°,AQN//MH,

/NMH=NQNM,

'：NQMN+/QMP=180。，

/QMN+NQMN+/NMH=180°,

；NQMN+NMQN+NNMH=180°,

/QMN=NMQN,设QN=MN=t,则Q(l—t,t?—4),

ADN=t2-4-(^)=t2,同理，

设MN=s,则HD=s2,r.NH=t?—s?,

在RtAMNH中，NH2=MN2-MH\

••.(t2-s2)2=t2-s2,

•••t2-s2=1，

.,.NH=1,

NH1

tan/NMH=-----=-,

MHt

^<NMH=^<MDH,

^NMH+^MNH=90°,

^MDH+^MNH=90°,

：・^NMD=90°；

,."QN:DH=15:16,

DH=—t,DN=—t+1,

1515

sin^NMH=sin^MDN,

.NHMNan~=-—

•・诟r俞，即t£+1，

15

53

解得：％t2=-1（舍去）,

JJ

MN=-,

3

VNH2=MN2-MH2,

4

AMH=-=PH,

3

47

/.PK=PH+KH=-+1=-,

33

西v7120

当*=，时，y=-

问:沙

.,.CK=3--=2,

99

tan/KPC=2=!，

Z3

■:4KC=40c=90°,

.••”GC=/OBC=45。，

••.KG=CK=Z,CG=-V2,PG=l_l=li

993991

过P作PT_LBC于T,

•••PT=GT=,PG=：3=CG,

:.CT=2PT,

PTPT1

tan/PCF=-=2-L=_L

CT2PT2'

【题目点拨】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的作出辅助线构造直

角三角形是解题的关键.

25、（1）证明见解析；（2）AD=而；（3）DG="，.

【解题分析】

（1）连接OD,由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进

而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；

（2）连接DF,由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形

ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；

（3）连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得

到EF与BC平行，得到sinZAEF=sinB,进而求出DG的长即可.

【题目详解】

（D如图，连接OD,

VAD为/BAC的角平分线，

ZBAD=ZCAD,

VOA=OD,

.\ZODA=ZOAD,

.,.ZODA=ZCAD,

；.OD〃AC,

VZC=90°,

.,.ZODC=90°,

/.OD1BC,

；.BC为圆O的切线；

⑵连接DF,由⑴知BC为圆O的切线，

ZFDC=ZDAF,

.\ZCDA=ZCFD,

.\ZAFD=ZADB,

V/BAD=NDAF,

/.△ABD^AADF,

:.AB_AD，即AD2=AB«AF=xy,

AD-AF

贝！1AD=^xy；

4,OD5

⑶连接EF,在RtABOD中，sinB=——=一,

OB13

r5

设圆的半径为r,可得-,

r+813

解得：r=5,

.\AE=10,AB=18,

VAE是直径，

.\ZAFE=ZC=90o,

AEF/ZBC,

Z.ZAEF=ZB,

AF15

：・sinNAEF=-----——，